2020-2021学年四川省眉山市高一（下）5月期中测试数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年四川省眉山市高一（下）5月期中测试数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列几何体中为棱柱的是( )
A.B.C.D.

2. 已知向量a→=1,m，b→=3,−2，且a→−b→⊥b→，则实数m=( )
A.−8B.−6C.−5D.8

3. 如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45∘，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )

A.2+2B.2+1C.22+1D.22+2

4. 已知锐角α满足csα=35，则sinα−π6的值为( )
A.43+310B.43−310C.33−410D.33+410

5. 已知向量a→=1,2，b→=0,−2，c→=−1,λ，若(2a→−b→)//c→，则λ的值为( )
A.3B.13C.−13D.−3

6. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E,F 分别为 AB,BC 的中点，异面直线 AB1 与 C1F 所成角的余弦值为 m, 则( )

A.直线 A1E 与直线 C1F 异面, 且 m=105
B.直线 A1E 与直线 C1F 共面，且 m=105
C.直线 A1E 与直线 C1F 异面，且 m=155
D.直线 A1E 与直线 C1F 共面, 且 m=155

7. (1+tan18∘)(1+tan27∘)的值为( )
A.−1 B.1C.2 D.−2

8. 已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若asinA+C2=bsinA，2S=3AB→⋅AC→，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形B.正三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形

9. 已知m，n是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（ ）
A.若α⊥β ，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定垂直
B.若m⊥α ，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面
C.若m⊥α，n//α ，则直线m与n一定垂直
D.若m⊂α ，n⊂β，α//β，则直线m与n一定平行

10. 已知△ABC中，点M为线段AC上靠近C的三等分点，点N是线段BC的中点，点P是直线AN与BM的交点，则CP→=（ ）
A.35CA→+25CB→B.15CA→+25CB→
C.13CA→+23CB→D.25CA→+15CB→

11. 已知三角形ABC中， AB=BC=AC=3，P是平面ABC外一点，且PA=2，若三棱锥P−ABC的体积为332，则三棱锥P−ABC的外接球的体积为（ ）
A.32π3B.1122π3C.287π3D.36π

12. 下列各命题中，正确的命题是（ ）
①sin55∘+sin25∘=2sin40∘cs15∘；②1+cs20∘2sin20∘−2sin10∘tan80∘=32；
③函数fx=sinx−2csx取得最大值时x=θ，则csθ=255；④cs3α=4cs3α−3csα．
A.②③④B.①③④C.①②③D.①②④
二、填空题

某几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图为面积为1的等腰直角三角形，则此几何体的表面积为________.

三、解答题

化简求值：
(1)sin20∘cs10∘+cs20∘cs80∘；

(2)1+sin20∘−1−cs20∘2．

如图，已知矩形ABCD中，|AB→|=6，|AD→|=4，若点M，N满足BM→=3MC→，DN→=2NC→．

(1)求AM→⋅NM→；

(2)求AM→与NM→夹角余弦值．

如图，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F分别为边AB，AD的中点．现将△ADE沿DE折起，得四棱锥A−BCDE．

(1)求证：EF//平面ABC；

(2)若平面ADE⊥平面BCDE，求四面体FDCE的体积．

在三角形ABC中，AB=14，BC=7，∠ACB=π2，D是线段AC上一点，且AD→=13DC→，E为线段AB中点，设BA→=a→，BC→=b→，且CF→=37a→−67b→．

(1)求证：B，D，F三点共线；

(2)求CF→⋅BF→的值．

已知函数fx=cs2x−3，gx=2acsx−4a．
(1)求函数ℎx=3sin2x+fx的最大值及此时x的取值集合；

(2)当x∈0,π2时， fx>gx恒成立，求a的取值范围．

如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=3，CD=1， BC=2，E，F分别为腰AD，BC的中点，将四边形CDEF沿EF折起，使平面EFC′D′⊥平面ABFE，如图2，H，M分别为线段EF，AB的中点．

(1)求证：C′E⊥平面D′MH．

(2)若N为线段C′D′的中点，在直线BF上是否存在点Q，使得NQ//平面D′MH？若存在，求NQ与平面ABFE所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省眉山市高一（下）5月期中测试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
棱柱的结构特征
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A中几何体有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，是棱柱.
故选A．
2.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量的坐标运算
【解析】
根据题意，由向量的坐标计算公式可得a→−b→的关系，又由向量垂直与向量数量积的关系可得a→−b→⋅b→=−6−2m+2=0，解可得m的值，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→=1,m，b→=3,−2，
则a→−b→=−2,m+2.
若a→−b→⊥b→，
则a→−b→⋅b→=−6−2m+2=0，
解可得m=−5．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
平面图形的直观图
【解析】
原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+2，利用梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．
【解答】
解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，
其中上底AD=1，高AB=2A′B′=2，下底为BC=1+2，
1+1+22×2=2+2．
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由同角三角函数基本关系求出sinα，再由两角和差的正弦公式求出sinα−π6的值．
【解答】
解：∵α为锐角，csα=35，
∴sinα=1−cs2α=1−352=45，
∴sin(α−π6)
=sinαcsπ6−csαsinπ6
=45×32−35×12
=43−310．
故选B．
5.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，2a→=2,4，2a→−b→=2,6，
又2a→−b→//c→，c→=−1,λ，
则2λ+6=0，
解得λ=−3．
故选D．
6.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
连结EF，A1C1，C1D，DF，推导出EF//A1C1，从而直线A1E与直线C1F共面，由题意得AB1//C1D，得异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，由此能推导出直线A1E与直线C1F共面，且m=105．
【解答】
解：连结EF，A1C1,C1D，DF，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF // AC，
∴EF//A1C1，
∴直线A1E与直线C1F共面，
由题意得AB1//C1D，
∴异面直线AB1与C1F所成角为∠DC1F，
设AA1=2，则AB=AA1=2，则
DF=5，C1F=5，C1D=22，
由余弦定理得异面直线AB1与C1F所成角的余弦值：
m=cs∠DC1F=5+8−52×5×22=105．
综上：直线A1E与直线C1F共面，且m=105．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
本题主要考查两角和的正切公式的通用．
【解答】
解：(1+tan18∘)(1+tan27∘)
=1+tan18∘+tan27∘+tan18∘tan27∘
=1+tan(18∘+27∘)(1−tan18∘tan27∘)+tan18∘tan27∘
=1+1×(1−tan18∘tan27∘)+tan18∘tan27∘
=1+1−tan18∘tan27∘+tan18∘tan27∘
=2．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
三角形的形状判断
正弦定理
【解析】
利用正弦定理，三角形面积公式，平面向量数量积的运算求出B=π3，B=π3，即可得到△ABC为正三角形.
【解答】
解：由asinA+C2=bsinA可得asinπ2−B2=bsinA，
即acsB2=bsinA，
由正弦定理可得：sinAcsB2=sinBsinA，
∵ sinA≠0，
∴ csB2=sinB=2sinB2csB2，
∴ sinB2=12，
又B2∈0,π2，
∴ B2=π6，B=π3，
又2S=3AB→⋅AC→，
∴ bcsinA=3cbcsA，
∴ tanA=3，
又A∈0,π，
∴ B=π3，
∴ △ABC为正三角形.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】
对于A，直线m与n相交、平行或异面；对于B，由线面垂直、面面垂直的性质得直线m与n垂直；对于C，由线面垂直、线面平行的性质得直线m与n一定垂直；对于D，直线m与n平行或异面．
【解答】
解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，
对于A，若α⊥β ，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若m⊥α ，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得直线m与n垂直，故B错误；
对于C，若m⊥α，n//α ，则由线面垂直、线面平行的性质得直线m与n一定垂直，故C正确；
对于D，若m⊂α ，n⊂β，α//β，则直线m与n平行或异面，故D错误．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
向量的几何表示
三点共线
【解析】
设AP→=xAB→+y=tA=t→ ，由点N是线段BC的中点可得x=y ，由点M为线段AC上靠近C的三等分点得到AC→=32AM→，即AP→=xAB→+3y2AM→ ，然后可得x+3y2=1 ，即可得到AP→的表达式，结合CP→=CB→+BP→再求解即可.
【解答】
解：设AP→=xAB→+yAC→=tAN→，
因为点N是线段BC的中点，
所以AN→=12AB→+12AC→，
此时AP→=xAB→+yAC→=t12AB→+12AC→ ，
则x=t2，y=t2，即x=y，①
因为点M为线段AC上靠近C的三等分点，所以AC→=32AM→，
此时AP→=xAB→+3y2AM→ ，
因为B，P，M三点共线，
所以x+3y2=1，②
联立①②，解得x=y=25，
所以AP→=25AB→+25AC→，
又AP→=AB→+BP→，③
而CP→=CB→+BP→，④
联立③④，解得CP→=15CA→+25CB→ .
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意，对该三棱锥进行分析，得到该三棱锥是直三棱锥，再求解其外接球的半径，代入面积公式中求解即可.
【解答】
解：已知三角形ABC中， AB=BC=AC=3，
可知△ABC为等边三角形，
所以S△ABC=12×3×3×sinπ3=934，
所以VP−ABC=13S△ABC ⋅ℎ=332，
解得ℎ=2，
所以三棱锥P−ABC为直三棱锥，
此时PA为该三棱锥的高，
其外接球的半径R=2，
所以V=43πR3=43π×23=32π3.
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
三角函数中的恒等变换应用
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
无
【解答】
解：①由sin55∘=sin40∘cs15∘+cs40∘sin15∘，sin25∘=sin40∘cs40∘−cs40∘sin15∘，
则sin55∘+sin15∘=sin40∘cs15∘+cs40∘sin15∘+sin40∘cs15∘−cs40∘sin15∘=2sin40∘cs15∘，故①正确；
②1+cs20∘2sin20∘−2sin10∘tan80∘=2cs210∘4sin10∘cs10∘−2cs80∘tan80∘=cs10∘−4sin80∘sin10∘2sin10∘
=cs10∘−4sin10∘cs10∘2sin10∘=cs10∘−2sin30∘−10∘2sin10∘=3sin10∘2sin10∘=32，故②正确；
③fx=sinx−2csx=555sinx−255csx=5sinx−φ，
其中sinφ=255，
当fx取得最大值时，fθ=5，
即sinθ−φ=1，θ−φ=π2+2kπ，k∈Z，
则csθ=csφ+π2+2kπ=−sinφ=−255，故③错误；
④cs3α=cs2αcsα−sin2αsinα=2cs2α−1csα−21−cs2αcsα=4cs3α−3csα，故④正确．
故选D．
二、填空题
【答案】
π+2π
【考点】
简单空间图形的三视图
圆锥的计算
【解析】
由三视图可知，该几何体为圆锥，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出l=2，l=2，代入表面积公式求解即可.
【解答】
解：由三视图可知，该几何体为圆锥，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∴ 12l2=1，
∴ l=2，
∴ 2r=2l=2，
∴ l=2，
∴ 该几何体的表面积为πr2+πrl=π+2π.
故答案为：π+2π.
三、解答题
【答案】
解：(1)sin20∘cs10∘+cs20∘cs80∘=sin20∘cs10∘+cs20∘cs(90∘−10∘)
=sin20∘cs10∘+cs20∘sin10∘=sin20∘+10∘=sin30∘=12.
(2)1+sin20∘−1−cs20∘2
=sin210∘+cs210∘+2sin10∘cs10∘−sin210∘
=sin10∘+cs10∘−sin10∘=cs10∘.
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角函数的恒等变换及化简求值
二倍角的余弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)sin20∘cs10∘+cs20∘cs80∘=sin20∘cs10∘+cs20∘cs(90∘−10∘)
=sin20∘cs10∘+cs20∘sin10∘=sin20∘+10∘=sin30∘=12.
(2)1+sin20∘−1−cs20∘2
=sin210∘+cs210∘+2sin10∘cs10∘−sin210∘
=sin10∘+cs10∘−sin10∘=cs10∘.
【答案】
解：(1)以A为原点建立平面直角坐标系，则C6,4，
由BM→=3MC→，DN→=2NC→，
则M6,3，N4,4，
那么AM→=6,3，NM→=2,−1，
则AM→⋅NM→=6×2+3×−1=9．
(2)由AM→=6,3，NM→=2,−1，
则|AM→|=62+32=35，|NM→|=22+−12=5，
则cs⟨AM→,NM→⟩=AM→⋅NM→|AM→|⋅|NM→|=935×5=35，
即AM→与NM→夹角的余弦值为35．
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量数量积的性质及其运算律
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)以A为原点建立平面直角坐标系，则C6,4，
由BM→=3MC→，DN→=2NC→，
则M6,3，N4,4，
那么AM→=6,3，NM→=2,−1，
则AM→⋅NM→=6×2+3×−1=9．
(2)由AM→=6,3，NM→=2,−1，
则|AM→|=62+32=35，|NM→|=22+−12=5，
则cs⟨AM→,NM→⟩=AM→⋅NM→|AM→|⋅|NM→|=935×5=35，
即AM→与NM→夹角的余弦值为35．
【答案】
(1)证明：取线段AC的中点M，连结MF、MB．
因为F，M为AD、AC的中点，
所以MF//CD，
且MF=12CD．
在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以BE//CD，
且BE=12CD．
所以MF//BE，
且MF=BE，
所以四边形BEFM为平行四边形，
故EF//BM．
又EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，
所以EF//平面ABC．
(2)解：在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，
所以△ADE，△CBE都是等腰直角三角形，
且AD=AE=EB=BC=2．
所以∠DEA=∠CEB=45∘，
且DE=EC=22．
又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180∘，
所以∠DEC=90∘，
即DE⊥CE．
又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE⊂平面BCDE，
所以CE⊥平面ADE，
即CE为三棱惟CEFD的高．
因为F为AD的中点，
所以S△EFD=12×12×AD×AE=14×2×2=1，
所以四面体FDCE的体积V=13×S△EFD×CE=13×1×22=223．
【考点】
直线与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：取线段AC的中点M，连结MF、MB．
因为F，M为AD、AC的中点，
所以MF//CD，
且MF=12CD．
在折叠前，四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
所以BE//CD，
且BE=12CD．
所以MF//BE，
且MF=BE，
所以四边形BEFM为平行四边形，
故EF//BM．
又EF⊄平面ABC，BM⊂平面ABC，
所以EF//平面ABC．
(2)解：在折叠前，四边形ABCD为矩形，AD=2，AB=4，E为AB的中点，
所以△ADE，△CBE都是等腰直角三角形，
且AD=AE=EB=BC=2．
所以∠DEA=∠CEB=45∘，
且DE=EC=22．
又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180∘，
所以∠DEC=90∘，
即DE⊥CE．
又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE⊂平面BCDE，
所以CE⊥平面ADE，
即CE为三棱惟CEFD的高．
因为F为AD的中点，
所以S△EFD=12×12×AD×AE=14×2×2=1，
所以四面体FDCE的体积V=13×S△EFD×CE=13×1×22=223．
【答案】
解：(1)由CF→=37a→−67b→，
则BF→=BC→+CF→=b→+37a→−67b→=37a→+17b→，
又AD→=13DC→，
则BD→−BA→=13BC→−BD→，
即43BD→=13BC→+BA→，
则BD→=14BC→+34BA→=34a→+14b→，
故BD→=47BF→，
即BD→//BF→，
由于两向量都过点B，
∴ B，D，F三点共线．
(2)|a→|=14，|b→|=7，a→⋅b→=49．
由CF→=37a→−67b→，BF→=37a→+17b→，
∴ CF→⋅BF→=37a→−67b→37a→+17b→
=949a→2−1549a→⋅b→−649b→2
=949×196−1549×49−649×49=15，
∴ CF→⋅BF→=15．
【考点】
向量在几何中的应用
三点共线
向量的共线定理
平面向量数量积的运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由CF→=37a→−67b→，
则BF→=BC→+CF→=b→+37a→−67b→=37a→+17b→，
又AD→=13DC→，
则BD→−BA→=13BC→−BD→，
即43BD→=13BC→+BA→，
则BD→=14BC→+34BA→=34a→+14b→，
故BD→=47BF→，
即BD→//BF→，
由于两向量都过点B，
∴ B，D，F三点共线．
(2)|a→|=14，|b→|=7，a→⋅b→=49．
由CF→=37a→−67b→，BF→=37a→+17b→，
∴ CF→⋅BF→=37a→−67b→37a→+17b→
=949a→2−1549a→⋅b→−649b→2
=949×196−1549×49−649×49=15，
∴ CF→⋅BF→=15．
【答案】
解：(1)∵函数fx=cs2x−3，
∴ℎx=3sin2x+cs2x−3=2sin2x+π6−3，
当2x+π6=2kπ+π2 ，k∈Z，
即x=kπ+π6，k∈Z时，sin2x+π3=1，
故ℎx的最大值是−1．此时x的取值集合为x|x=π6+k,k∈Z．
(2)∵x0,π2时，fx>gx恒成立，
∴x∈0,π2时，cs2x−3>2acsx−4a恒成立，
∴x∈[0,π2）时，2cs2x−2acsx+4a−4>0恒成立，
令t=csx∈0,1，r(t)=2t2−2at+4a−4，
当a2≤0，即a≤0时，r(t)min=r(0)=4a−4>0，
解得a>1，此时无解；
当01，此时无解；
当0