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2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）7月月考数学（文）数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）7月月考数学（文）数学试卷人教A版，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A.2B.2C.3D.3
2. 已知a，b为实数，则“a3A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3. 曲线fx=x3−x在点−1,f−1处的切线方程为( )
A.2x+y+2=0B.2x+y−2=0C.2x−y+2=0D.2x−y−2=0
4. 若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A.[−8, +∞)B.(−8, +∞)C.(−∞, −8)D.(−∞, −8]
5. 阿基米德（公元前287年—212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A.x−2y−1=0B.2x+y−2=0C.x+2y−1=0D.2x−y−2=0
6. 已知k∈R，设函数fx=x2−2kx+2k,x≤1，x−k−1ex+e3,x>1，若关于x的不等式fx≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（ ）
A.0,e2B.2,e2C.0,4D.0,3
二、填空题
已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则b的值为________.
三、解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[−1, 2]，不等式f(x)
流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若|r|∈0.75,1，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3,0.75)，则x，y相关性一般；若|r|∈0,0.25，则x，y相关性较弱．）
参考数据：30≈5.477
参考公式：b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，
相关系数r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）7月月考数学（文）数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=bax，
即为y=x，即ba=1，
则b2=a2
则双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=2.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增即可得出．
【解答】
解：由于函数y=x3，y=2x在R上单调递增，
∴ “a3∴ “a3故选C．
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=3x2−1,
当x=−1时，f′(x)=3−1=2.
f(−1)=(−1)3−(−1)=0.
故f(x)在(−1，f(−1))处的切线方程为
y=2(x+1)，即2x−y+2=0.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导数，问题转化为m≥−2x2在(2, +∞)恒成立，求出m的范围即可．
【解答】
解：f′(x)=2x+mx，
若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)上是增函数，
则2x+mx≥0在(2, +∞)上恒成立，
即m≥−2x2在(2, +∞)上恒成立，
由y=−2x2在(2, +∞)的最大值是−8，
故m≥−8，
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
斜率的计算公式
【解析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线方程的求法.
【解答】
解：由题意得，F(1,0)，准线为x=−1，
由特征①③及已知得，P点坐标为(−1,4)，
则kPF=4−0−1−1=−2，
由特征②③得kAB=12，
又F(1,0)，
所以直线AB的方程为y=12x−12，
即x−2y−1=0.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．
【解答】
解：当x=1时，f1=1−2k+2k=1>0恒成立；
当x<1时，fx=x2−2kx+2k≥0⇔2k≥x2x−1恒成立；
令gx=x2x−1
=−x21−x
=−1−x−121−x
=−1−x2−21−x+11−x
=−1−x+11−x−2
≤−21−x⋅11−x−2=0，
∴2k≥gxmax=0，∴k≥0．
当x>1时，f(x)≥0等价转化为x−1+e3−x≥k恒成立，
设ℎx=x−1+e3−xx≥1，
∴k≤ℎxmin，
∴ℎ′x=1−e3−x，
令ℎ′x=0，∴x=3．
∴ℎx在1,3单减，3,+∞单增，
∴ℎxmin=ℎ(3)=3−1+1=3，
∴k≤3．
综上：k的取值范围为0,3．
故选D．
二、填空题
【答案】
2或6
【考点】
双曲线的定义
余弦定理
双曲线的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设双曲线的焦距为2c.
①如图，当直线AB与双曲线右支相交于两点时,
设|AF2|=m，则|AF1|=|AF2|+2=m+2.
由△ABF1为等边三角形，有|BF1|=|AB|=m+2，可得|BF2|=2 .
又由双曲线的性质知|BF1|−|BF2|=|AB|−|BF2|=m=2，故|BF2|=|AF2|，
所以AB⊥F1F2，可得2c=23，有c=3,b=2.
②如图，当直线AB与双曲线两支相交于两点时,
设|BF2|=n，则|BF1|=|BF2|+2=n+2.
由△ABF1为等边三角形，有 |AF1|=|AB|=n+2，可得|AF2|=2n+2.
又由双曲线的性质知，|AF2|−|AF1|=(2n+2)−(n+2)=2，
可得n=2，则|AF1|=4,|AF2|=6.
在△AF1F2中，2c=42+62−48cs60∘=27，得c=7,b=6.
综上，b的值为2或6.
故答案为：2或6.
三、解答题
【答案】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出f′(x)，因为函数在x=−23与x=1时都取得极值，所以得到f′(−23)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x)，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[−1, 2]恒成立求出函数的最大值值为f(2)，代入求出最大值，然后令f(2)【解答】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)f(2)=2+c．
解得c<−1或c>2．
【答案】
解：(1)由题意得x¯=4，y¯=17，
由公式求得b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=−3.2，
a=y¯−bx¯=17+3.2×4=29.8，
∴ y=−3.2x+29.8.
(2)r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2
=−3210×108=−16330
≈−0.97，
∵ r<0，
∴ 说明x,y负相关.
又|r|∈[0.75,1]，
∴ 说明x,y相关性很强.
【考点】
线性相关关系的判断
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得x¯=4，y¯=17，
由公式求得b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=−3.2，
a=y¯−bx¯=17+3.2×4=29.8，
∴ y=−3.2x+29.8.
(2)r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2
=−3210×108=−16330
≈−0.97，
∵ r<0，
∴ 说明x,y负相关.
又|r|∈[0.75,1]，
∴ 说明x,y相关性很强.年龄(x)
2
3
4
5
6
患病人数(y)
22
22
17
14
10
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
1. 双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）
A.2B.2C.3D.3
2. 已知a，b为实数，则“a3
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3. 曲线fx=x3−x在点−1,f−1处的切线方程为( )
A.2x+y+2=0B.2x+y−2=0C.2x−y+2=0D.2x−y−2=0
4. 若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)是增函数，则实数m的取值范围为（ ）
A.[−8, +∞)B.(−8, +∞)C.(−∞, −8)D.(−∞, −8]
5. 阿基米德（公元前287年—212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”．当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：
①P点必在抛物线的准线上；②△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；③PF⊥AB.若经过抛物线y2=4x焦点的一条弦为AB，阿基米德三角形为△PAB，且点P的纵坐标为4，则直线AB的方程为（ ）
A.x−2y−1=0B.2x+y−2=0C.x+2y−1=0D.2x−y−2=0
6. 已知k∈R，设函数fx=x2−2kx+2k,x≤1，x−k−1ex+e3,x>1，若关于x的不等式fx≥0在x∈R上恒成立，则k的取值范围为（ ）
A.0,e2B.2,e2C.0,4D.0,3
二、填空题
已知双曲线x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为等边三角形，则b的值为________.
三、解答题
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−23与x=1时都取得极值．
(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[−1, 2]，不等式f(x)
流行性感冒（简称流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一种传染性强、传播速度快的疾病．其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播．流感每年在世界各地均有传播，在我国北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季两个流行高峰．儿童相对免疫力低，在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染．某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计，得到如下数据：
(1)求y关于x的线性回归方程；
(2)计算变量x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强？（若|r|∈0.75,1，则x，y相关性很强；若|r|∈[0.3,0.75)，则x，y相关性一般；若|r|∈0,0.25，则x，y相关性较弱．）
参考数据：30≈5.477
参考公式：b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，
相关系数r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2.
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省遂宁市高二（下）7月月考数学（文）数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的离心率
【解析】
根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可．
【解答】
解：双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程是y=bax，
即为y=x，即ba=1，
则b2=a2
则双曲线的离心率为e=ca=a2+b2a2=2.
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
利用函数y＝x3，y＝2x在R上单调递增即可得出．
【解答】
解：由于函数y=x3，y=2x在R上单调递增，
∴ “a3
3.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f′(x)=3x2−1,
当x=−1时，f′(x)=3−1=2.
f(−1)=(−1)3−(−1)=0.
故f(x)在(−1，f(−1))处的切线方程为
y=2(x+1)，即2x−y+2=0.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
求出函数的导数，问题转化为m≥−2x2在(2, +∞)恒成立，求出m的范围即可．
【解答】
解：f′(x)=2x+mx，
若f(x)=x2+mlnx在(2, +∞)上是增函数，
则2x+mx≥0在(2, +∞)上恒成立，
即m≥−2x2在(2, +∞)上恒成立，
由y=−2x2在(2, +∞)的最大值是−8，
故m≥−8，
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
直线与抛物线结合的最值问题
抛物线的性质
斜率的计算公式
【解析】
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线方程的求法.
【解答】
解：由题意得，F(1,0)，准线为x=−1，
由特征①③及已知得，P点坐标为(−1,4)，
则kPF=4−0−1−1=−2，
由特征②③得kAB=12，
又F(1,0)，
所以直线AB的方程为y=12x−12，
即x−2y−1=0.
故选A.
6.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．
【解答】
解：当x=1时，f1=1−2k+2k=1>0恒成立；
当x<1时，fx=x2−2kx+2k≥0⇔2k≥x2x−1恒成立；
令gx=x2x−1
=−x21−x
=−1−x−121−x
=−1−x2−21−x+11−x
=−1−x+11−x−2
≤−21−x⋅11−x−2=0，
∴2k≥gxmax=0，∴k≥0．
当x>1时，f(x)≥0等价转化为x−1+e3−x≥k恒成立，
设ℎx=x−1+e3−xx≥1，
∴k≤ℎxmin，
∴ℎ′x=1−e3−x，
令ℎ′x=0，∴x=3．
∴ℎx在1,3单减，3,+∞单增，
∴ℎxmin=ℎ(3)=3−1+1=3，
∴k≤3．
综上：k的取值范围为0,3．
故选D．
二、填空题
【答案】
2或6
【考点】
双曲线的定义
余弦定理
双曲线的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设双曲线的焦距为2c.
①如图，当直线AB与双曲线右支相交于两点时,
设|AF2|=m，则|AF1|=|AF2|+2=m+2.
由△ABF1为等边三角形，有|BF1|=|AB|=m+2，可得|BF2|=2 .
又由双曲线的性质知|BF1|−|BF2|=|AB|−|BF2|=m=2，故|BF2|=|AF2|，
所以AB⊥F1F2，可得2c=23，有c=3,b=2.
②如图，当直线AB与双曲线两支相交于两点时,
设|BF2|=n，则|BF1|=|BF2|+2=n+2.
由△ABF1为等边三角形，有 |AF1|=|AB|=n+2，可得|AF2|=2n+2.
又由双曲线的性质知，|AF2|−|AF1|=(2n+2)−(n+2)=2，
可得n=2，则|AF1|=4,|AF2|=6.
在△AF1F2中，2c=42+62−48cs60∘=27，得c=7,b=6.
综上，b的值为2或6.
故答案为：2或6.
三、解答题
【答案】
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)
解得c<−1或c>2．
【考点】
利用导数研究函数的最值
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求出f′(x)，因为函数在x=−23与x=1时都取得极值，所以得到f′(−23)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x)，然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[−1, 2]恒成立求出函数的最大值值为f(2)，代入求出最大值，然后令f(2)
解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c，
f′(x)=3x2+2ax+b，
由f′(−23)=129−43a+b=0，f′(1)=3+2a+b=0，
解得，a=−12，b=−2，
f′(x)=3x2−x−2=(3x+2)(x−1)，函数f(x)的单调区间如下表：
所以函数f(x)的递增区间是(−∞, −23)和(1, +∞)，递减区间是(−23, 1)．
(2)f(x)=x3−12x2−2x+c，x∈[−1,2]，
当x=−23时，f(x)=2227+c为极大值，而f(2)=2+c，
所以f(2)=2+c为最大值．
要使f(x)
解得c<−1或c>2．
【答案】
解：(1)由题意得x¯=4，y¯=17，
由公式求得b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=−3.2，
a=y¯−bx¯=17+3.2×4=29.8，
∴ y=−3.2x+29.8.
(2)r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2
=−3210×108=−16330
≈−0.97，
∵ r<0，
∴ 说明x,y负相关.
又|r|∈[0.75,1]，
∴ 说明x,y相关性很强.
【考点】
线性相关关系的判断
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得x¯=4，y¯=17，
由公式求得b=i=1n(xi−x¯)(yi−y¯)i=1n(xi−x¯)2=−3.2，
a=y¯−bx¯=17+3.2×4=29.8，
∴ y=−3.2x+29.8.
(2)r=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2i=1nyi−y¯2
=−3210×108=−16330
≈−0.97，
∵ r<0，
∴ 说明x,y负相关.
又|r|∈[0.75,1]，
∴ 说明x,y相关性很强.年龄(x)
2
3
4
5
6
患病人数(y)
22
22
17
14
10
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
x
(−∞, −23)
−23
(−23, 1)
1
(1, +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑
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