2021届上海市崇明区高三上学期第一次高考模拟数学试卷及答案

高三上学期第一次高考模拟数学试卷

一、单项选择题

1.假设 ,那么以下不等式恒成立的是〔   〕           

A.                                B.                                C.                                D. 

2.正方体上点 、 、 、 是其所在棱的中点，那么直线 与 异面的图形是〔    〕           

A.                                B. 
C.                        D. 

3.设 为等比数列，那么“对于任意的 〞是“ 为递增数列〞的〔    〕           

A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件

4.设函数 的定义域是 ，对于以下四个命题：
〔1〕假设 是奇函数，那么 也是奇函数；(2) 假设 是周期函数，那么 也是周期函数；(3) 假设 是单调递减函数，那么 也是单调递减函数；(4) 假设函数 存在反函数 ，且函数 有零点，那么函数 也有零点．其中正确的命题共有〔   〕           

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

二、填空题

5.设集合 ，集合 ，那么 ________.   

6.不等式 的解集是________．   

7.复数 满足 〔 是虚数单位〕，那么 ________   

8.设函数 的反函数为 ，那么 ________   

9.点 到直线 的距离是________   

10.计算： ________   

11.假设关于 、 的方程组 无解，那么实数 ________   

12.用 组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________.   

13.假设 的展开式中有一项为 ，那么 ________．   

14.设 为坐标原点，直线 与双曲线 〔 ， 〕的两条渐近线分别交于 、 两点，假设△ 的面积为1，那么双曲线 的焦距的最小值为________   

15.函数 ，对任意 ，都有 〔 为常数〕，且当 时， ，那么 ________   

16.点 为圆 的弦 的中点，点 的坐标为 ，且 ，那么 的最大值为________   

三、解答题

17.如图， 平面 ， 与平面 所成角为 ，且

〔1〕求三棱锥 的体积；   

〔2〕设 为 的中点，求异面直线 与 所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕   

18.函数 .   

〔1〕求函数 的最小正周期；   

〔2〕在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，假设锐角 满足 ， ， ，求 的面积.   

19.研究说明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数 与听课时间 〔单位：分钟〕之间的变化曲线如下列图，当 时，曲线是二次函数图像的一局部；当 时，曲线是函数 图像的一局部，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态〞. 

〔1〕求函数 的解析式；   

〔2〕在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态〞的时间有多长？〔精确到1分钟〕   

20.椭圆 的左右顶点分别为 、 ， 为直线 上的动点，直线 与椭圆 的另一交点为 ，直线 与椭圆 的另一交点为 .   

〔1〕假设点 的坐标为 ，求点 的坐标；   

〔2〕假设点 的坐标为 ，求以 为直径的圆的方程；   

〔3〕求证：直线 过定点.   

21.对于数列 ，假设从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，那么称 为 数列.   

〔1〕假设数列1，2， ，8是 数列，求实数 的取值范围；   

〔2〕设数列 ， ， ， ， 是首项为 、公差为 的等差数列，假设该数列是 数列，求 的取值范围；   

〔3〕设无穷数列 是首项为 、公比为 的等比数列，有穷数列 、 是从 中取出局部项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为 、 ，求证：当 且 时，数列 不是 数列.   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】∵ ， 

∴设 ，

代入可知 均不正确，

对于D，根据幂函数的性质即可判断正确，

故答案为：D。

 
【分析】利用条件结合不等式根本性质和幂函数的性质，从而找出不等式恒成立的选项。

2.【解析】【解答】A. 如图：

因为点 、 、 、 是其所在棱的中点，那么 又 ，所以 ，所以直线 与 不是异面直线；

B. 如图：

因为点 、 、 、 是其所在棱的中点，那么  平面 ，又 平面 ， 所以 平面 ，PQ与 相交，所以直线 与 是异面直线；

C. 如图：

因为点 、 、 、 是其所在棱的中点， ，所以 ，又 ，所以 ，所以直线 与 相交，不是异面直线；

D. 如图：

因为点 、 、 、 是其所在棱的中点，那么 ，又 ，所以 ，所以P，Q，R，S四点共面，所以直线 与 不是异面直线；

故答案为：B

 
【分析】利用正方体的结构特征结合中点的性质，从而结合异面直线的判断方法，从而找出直线 与 异面的图形。

3.【解析】【解答】解：对于任意的 ，即 .

∴ ， ，任意的 ，

∴ ，或 .

∴“ 为递增数列〞，反之也成立.

∴“对于任意的 〞是“ 为递增数列〞的充要条件.

故答案为：C.

 
【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“对于任意的 〞是“ 为递增数列〞的充要条件。

4.【解析】【解答】(1)假设 是奇函数，那么 ，
∴ 也是奇函数，正确；(2) 假设 是周期函数，那么 ， 也是周期函数，正确；(3)假设 是单调递减函数，根据“同增异减〞的原那么，可得 也是单调递增函数，故(3)不正确；(4) 假设函数 存在反函数 ，且函数 有零点，即 的图象与 的图象有交点，而 的图象与 的图象关于直线 对称，但是这些交点可能只是关于直线 对称，函数 不一定有零点，

比方函数 ，满足题意，但是函数 没有零点，即(4)不正确；故答案为：B.

 
【分析】利用条件结合奇函数的定义判断出函数 的奇偶性；利用周期函数的定义结合条件判断出函数 是周期函数；利用条件结合减函数的定义，从而判断出函数 的单调性；利用反函数的定义求出函数 的反函数，再利用函数零点的定义，从而推出函数 不一定有零点，从而找出正确命题的个数。

二、填空题

5.【解析】【解答】 集合 ，集合 ，因此， ，

故答案为：{3}。

 
【分析】利用条件结合交集的运算法那么，从而求出集合A和集合B的交集。

6.【解析】【解答】解：方程化为〔x﹣1〕〔x+2〕＜0， 

即 或 ，解得：﹣2＜x＜1，

那么不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}．

故答案为：{x|﹣2＜x＜1}

【分析】由方程化为x﹣1与x+2的乘积为负数，得到x﹣1与x+2异号，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．

7.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，

故答案为：2+i。

 
【分析】利用复数的混合运算法那么求出复数z的共轭复数，再利用复数与共轭复数的关系，从而求出复数z。

8.【解析】【解答】由题意，函数 ，令 ，即 ，解得 ，即 ，故答案为： 。

【分析】利用反函数的定义，求出函数 的反函数，再利用代入法求出的值。

9.【解析】【解答】由点到直线的距离公式得 ，

故答案为： 。

 
【分析】利用点到直线的距离公式，从而求出点 到直线 的距离。

10.【解析】【解答】解： ，

故答案为： 。

 
【分析】利用等差数列前n项和公式结合函数求极限的方法，从而求出极限值。

11.【解析】【解答】由题意关于 、 的方程组 无解，即直线 和直线 平行，故 ，所以 ，

此时直线 即 ，确实与 平行，故满足题意，所以实数 ，

故答案为：-2。

 
【分析】利用关于 、 的方程组 无解，推出两直线平行，再利用两直线平行斜率相等，从而求出实数a的值。

12.【解析】【解答】由题,百位不能为0,且个位为奇数.当百位为 其中一个时,奇数的个数为 个，当百位为 其中一个时, 奇数的个数为 ，故共有 个奇数，

故答案为：48。

 
【分析】利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理结合条件，再利用排列的方法，从而求出奇数的个数。

13.【解析】【解答】因为 展开式的第 项为 ，

令 ，解得 ，那么 ，

故答案为：60。

 
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式结合条件 的展开式中有一项为 ， 从而结合组合数公式求出m的值。

14.【解析】【解答】双曲线的渐近线为 ，所以 ，

因为 的面积为1，所以 ，即 ，

因为 ，所以 ，

当且仅当 时等号成立，

即双曲线的焦距的最小值为 ，

故答案为： 。

 【分析】利用双曲线标准方程确定焦点位置，进而求出双曲线的渐近线的方程，再利用直线 与双曲线 〔 ， 〕的两条渐近线分别交于 、 两点， 分别联立两直线方程求出交点D,E的坐标，再利用三角形面积公式求出ab的值，再利用双曲线中a,bc三者的关系式，从而结合均值不等式求最值的方法，从而求出双曲线 的焦距的最小值。

15.【解析】【解答】因为对任意 ，都有 为常数，可得 ，

从而 ，即函数 的周期为4，所以 ，

又因为当 时， ，那么 ，即 ，

故答案为：2。

 
【分析】利用对任意 ，都有 为常数，可得 ，从而 ，从而结合周期函数的定义，从而推出函数的周期为4，再利用函数的周期性，从而结合条件当 时， ， 从而求出函数值。

16.【解析】【解答】设点 ，那么

，

因为 ，所以 ，

整理得 ，即为点 的轨迹方程为 ，

所以 ，故 的最大值为 ，

故答案为：2。

 
【分析】设点 ，再利用三角形法那么结合数量积的运算法那么，从而结合数量积的定义结合条件，从而求出的值，再利用向量的坐标表示结合数量积的坐标表示，从而整理求出点 的轨迹方程，再利用几何法求出的最大值。

三、解答题

17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合线面垂直的定义，证出线线垂直，即 ， 又 ， 再利用线线垂直证出线面垂直，即 平面 ， 因为 平面 ， 与平面 所成角为 ，故 , 再利用条件结合勾股定理，从而求出CD的长，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。
〔2〕利用条件得出以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 作平面 的垂线，建立空间直角坐标系， 从而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值，再结合反三角函数值求角的方法，从而求出异面直线 与 所成角的大小。

18.【解析】【分析】〔1〕利用二倍角的余弦公式结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数最小正周期公式，从而求出正弦型函数 的最小正周期。
〔2〕利用〔1〕中正弦型函数的解析式结合代入法和锐角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用正弦定理结合条件，从而求出a的值，再利用三角形内角和为180度结合诱导公式和两角和的正弦公式，从而求出角B的正弦值，再利用三角形面积公式，从而求出三角形 的面积 。

19.【解析】【分析】〔1〕利用实际问题的条件结合函数图象，从而求出分段函数的解析式。
〔2〕利用〔1〕求出的函数的解析式，从而结合条件结合代入法，从而求出在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态〞的时间。

20.【解析】【分析】利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 为直线 上的动点， 从而求出点P的坐标，再利用两点式求出直线PA的直线，再利用直线 与椭圆 的另一交点为 ， 联立二者方程求出交点C的坐标，再利用点 的坐标为 ，从而求出点P的坐标。
〔2〕利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 的坐标为 ，从而利用两点式求出直线PB的直线，再利用直线 PB与椭圆 的另一交点为 D ，联立二者方程求出交点D的坐标，再利用中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的直径，进而求出圆的半径，从而求出 以 为直径的圆的方程。
〔3〕利用椭圆的标准方程求出左、右顶点A,B的坐标，再利用点 为直线 上的动点， 设 ， 从而利用两点求斜率公式求出直线PA的斜率，再利用点斜式设出直线 的方程，再利用直线 与椭圆 的另一交点为 ， 联立二者方程求出交点C的坐标， 再利用两点求斜率公式求出直线PB的斜率，再利用点斜式设出直线 PB的方程，再利用直线 PB与椭圆 的另一交点为 D ，联立二者方程求出交点D的坐标，再利用椭圆的对称性知这样的定点在 轴上，设为 ，那么 三点共线， 再利用三点共线得出两向量共线，再利用共线向量的坐标表示，从而变形整理求出m的值，进而求出直线的定点，从而证出直线 过定点。

21.【解析】【分析】〔1〕利用数列 ，假设从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，那么称 为 数列，从而结合数列1，2， ，8是 数列，进而求出实数x的取值范围。
〔2〕利用数列 ， ， ， ， 是首项为 、公差为 的等差数列，从而求出等差数列前n项和公式结合数列 是 数列， 从而推出公差 ，再利用 对满足 的所有 都成立， 从而求出 ， 再利用交集的运算法那么求出公差d的取值范围。
〔3〕 假设 是 数列，结合P数列的定义，那么 ，因为 ，所以 ，又由 对所有 都成立，得 恒成立，再利用不等式恒成立问题求解方法结合 ， 从而求出等比数列公比的取值范围，假设 中的每一项都在 中，那么由这两数列是不同数列可知 ，假设 中的每一项都在 中，同理可得 ，假设 中至少有一项不在 中，且 中至少有一项不在 中，设 是将 中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项之和分别为 ，不妨设 中的最大项在 中，设为 ，那么 ，故总有 与 矛盾，从而结合反证法推出假设错误，进而推出原命题正确，从而证出当 且 时，数列 不是 数列。