2020-2021学年四川省巴中市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

展开

这是一份2020-2021学年四川省巴中市高一（下）期末考试数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A=x|x>1，B=x|0A.0,2B.1,2C.0,+∞D.1,+∞

2. 若直线l1：2x+y=0与直线l2：x+my+1=0互相平行，则实数m=（）
A.−12B.12C.−2D.2

3. 设a，b，c为实数且a>b，则下列不等式一定成立的是（）
A.1a>1bB.a2>b2C.ac2>bc2D.2021a−b>1

4. 若三点A1,−2，B2,−3，C3,t共线，则实数t=（）
A.−4B.−5C.4D.5

5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a6=a2+5，则S17=（）
A.5B.17C.85D.170

6. 在菱形ABCD中，AB=BD=2，若点E为BC中点，则AD→⋅AE→=（）
A.2B.4C.2+23D.6

7. 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列有关正弦定理及其变形错误的是（）
A.a:b:c=sinA:sinB:sinCB.a=b⇔sin2A=sin2B
C.asinA=b+csinB+sinCD.a=b⇔sinA=sinB

8. 已知fx是奇函数，当x≥0时，fx=e2x−1（其中e为自然对数的底数），则fln12=（）
A.1B.−1C.3D.−3

9. 已知实数x，y满足不等式组x−3y+3≤0,2x−y+1≥0,x+2y−7≤0. 则z=x−2y的最大值为（）
A.−5B.−2C.−1D.4

10. 若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为2，则斜边所在直线的斜率为（）
A.−13或3B.−3或13C.−4或14D.−43或34

11. 声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数y=Asinωt，已知函数fx=2cs2x+φ−π≤φ≤π的图象向右平移π3个单位后，与纯音的数学模型函数y=2sin2x图像重合，若函数fx在−a,a是减函数，则a的最大值是( )
A. π12B.π6 C.π3D.π2

12. 已知正数a，c满足lga+lgc=lga+c，有以下四个结论：
①1a+1c=1；②ac的最小值为2；
③ac+1ac的最小值为2； ④a+2c+ac的最小值为5+26.
其中所有正确结论的编号为( )
A.①③④B.②④C.①③D.①④
二、填空题

已知fx是以4为周期的偶函数，且当x∈0,2时， fx=1−x，则f−21=________．

已知向量a→=(cs75∘, sin75∘)，b→=(cs15∘, sin15∘)，则|a→−b→|=________.

2021年5月27日，以“绿色秦巴，开放互赢”为主题的第三届秦巴山区绿色农林产业投资贸易洽谈会在四川省巴中市开幕，会场设在刚刚竣工的川东北最大的综合体育场——巴中市体育中心，即民间所说的“兴文鸟巢”能被邀请到现场观礼是无比的荣耀．如图，在坡度为15∘的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60∘和30∘，且第一排和最后一排的距离为116米，则旗杆的高度为________米．

已知△ABC的三个内角为A，B，C，且sinA，sinB，sinC成等差数列，则cs2B+sinB的最大值为________，最小值为________．
三、解答题

设公差不为0的等差数列an满足：a3=6，且a1,a2,a4成等比数列，记数列an的前n项和为Sn．
(1)求an及Sn；

(2)令bn=1Sn，求数列bn的前n项和Tn．

已知关于x的不等式ax2+4ax−3<0．
(1)若不等式的解集为{x|x<−3，或x>−1}，求a的值；

(2)若不等式的解集是R，求a的取值范围．

已知数列an满足a1=3，an+1=2an−n+1，令bn=an−n．
(1)证明：数列bn是等比数列；

(2)求数列an的前n项和Sn．

已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, −π2<φ<π2)的部分图象如图所示．

(1)求函数fx的解析式；

(2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若fA=3,b=2，且△ABC的面积为332，求a．

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2acsC−bcsC=ccsB．
(1)求角C；

(2)若a+b=2，求c的取值范围．

设数列an的前n项和为Sn，已知Sn=2n+2．
(1)求数列an的通项公式；

(2)若数列bn满足anbn=lg2an，求数列bn的前n项和Tn．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省巴中市高一（下）期末考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：由A=x|x>1，B=x|0得A∪B=x|x>0．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
直线的一般式方程与直线的平行关系
【解析】
无
【解答】
解：直线l1：2x+y=0的斜率为−2，
由l1//l2知：直线l2的斜率−1m=−2，
所以m=12.
故选B．
3.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
无
【解答】
解：对于A，若a>b>0，则1a<1b；
或取a=2，b=1，满足a>b，
但12<1，即此时1a<1b，所以A错误；
对于B，反例：a=1，b=−5，满足a>b，
但不满足a2>b2，所以B错误：
对于C，当c=0时，ac2=bc2=0，所以C错误；
对于D，由a>b知a−b>0，
所以2021a−b>1，故D正确．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
三点共线
【解析】
无
【解答】
解：AB→=1,−1，AC→=2,t+2，
由A，B，C三点共线，得AB→//AC→，
于是1×t+2−2×−1=0，
解得t=−4．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的性质
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
无
【解答】
解：由a5+a6=a2+5得2a2+7d=a2+5，
即a2+7d=a9=5，
∴ S17=17a9=85．
故选C．
6.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
考查平面向量基本运算一一线性运算与数量积，考查数形结合思想，化归转化思想和运算求解能力．
【解答】
解：由E为BC中点知AE→=AB→+12BC→，
由菱形的性质知AD→=BC→，故AE→=AB→+12AD→.
由AB=BD=AD=2知∠DAB=60∘，
所以AD→⋅AE→=AD→⋅AB→+12AD→=2×2×12+12×22=4．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
考查正弦定理与等比定理，考查化归转化思想、特殊与一般的思想及推理论证能力．
【解答】
解：在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=k(k>0)，
则a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，
故a:b:c=sinA:sinB:sinC ，故A正确；
当A=30∘，B=60∘时，sin2A=sin2B ，此时 a≠b ，故B错误；
根据等比定理易得C正确；
a=b⇔ksinA=ksinB故选B．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
函数奇偶性的性质
【解析】
考查函数的奇偶性及应用，指数与对数的运算性质，对数恒等式，考查化归转化思想与推理论证能力与运算求解能力．
【解答】
解：由fx是奇函数得f−x=−fx，
又x≥0时，fx=e2x−1，
所以fln12=f−ln2=−fln2=−e2ln2−1=−eln4−1=−3.
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
考查线性规划，数形结合思想方法，运算求解能力．
【解答】
解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
由图可知：当目标函数z=x−2y经过点3,2时取得最大值，
所以zmax=3−2×2=−1．
故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正切公式
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设已知斜率的直线的倾斜角为α，则由题意得tanα=2，易知45∘<α<90∘．
因为斜边与直角边的夹角为45∘，所以斜边的倾斜角为α−45∘或α+45∘，
所以tanα−45∘=tanα−11+tanα=2−11+2=13，
tanα+45∘=tanα+11−tanα=2+11−2=−3，
所以斜边所在直线的斜率为−3或13.
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=2cs(2x+φ)(−π≤φ≤π)向右平移π3单位后为
f(x)=2cs2x−2π3+φ与y=2sin2x重合，
则可知−2π3+φ=−π2，即φ=π6.
f(x)=2cs2x+π6的单调减区间为2kπ≤2x+π6≤2kπ+π(k∈Z)，
则x∈[kπ−π12,kπ+5π12]，
f(x)在[−a,a]是减函数，则可知a的最大值为π12．
故选A．
12.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
本题考查对数的运算性质，平均值不等式及应用，考查函数方程思想与化归转化思想及推理论证能力与运算求解能力．
【解答】
解：由lga+lgc=lga+c，得lgac=lga+c，即ac=a+c，所以1a+1c=1，故①正确；
由ac=a+c≥2ac，得ac≥2⇒ac≥4，当且仅当a=c=2时取等号，故ac的最小值为4，故②错误；
令m=ac，则由②知m≥4，于是易知当m≥4时gm=m+1m单调递增，
所以gmmin=4+14=174，即ac+1ac的最小值为174，当且仅当a=c=2时取等号，故③错误；
由a+2c+ac=2a+3c=2a+3c1a+1c
=5+3ca+2ac≥5+23ca⋅3ac=5+26，
当且仅当2a=3c，即a=1+62,c=1+63时取等号，故④正确．
故选D．
二、填空题
【答案】
0
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的周期性
【解析】
本题考查函数的奇偶性与周期性及应用，考查化归转化思想、数形结合思想与运算求解能力．本题也可借助图象数形结合求解．
【解答】
解：f−21=f21=f4×5+1=f1=1−1=0．
故答案为：0．
【答案】
1
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
由题意求出a→−b→的坐标，由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式，求出a→−b→的自身的数量积的值，即求出a→−b→的模．
【解答】
解：由题意得，a→−b→=(cs75∘−cs15∘, sin75∘−sin15∘)，
∴ (a→−b→)⋅(a→−b→)
=(cs75∘−cs15∘)2+(sin75∘−sin15∘)2
=2−2cs60∘=1，
∴ |a→−b→|=1.
故答案为：1.
【答案】
33
【考点】
正弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，设CD=x，在Rt△DCE中， DE=DCsin60∘=xsin60∘；
在△AED中，AE=116，∠DAE=30∘+15∘=45∘，
∠AED=180∘−15∘−60∘=105∘，∠ADE=180∘−45∘−105∘=30∘，
由正弦定理得DEsin∠DAE=AEsin∠ADE，即xsin60∘sin45∘=116sin30∘，所以x=33．
故旗杆的高度为33米．
故答案为：33．
【答案】
98,3−12
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
等差中项
余弦定理
正弦定理
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理得2b=a+c，
由余弦定理及二元不等式得：
csB=a2+c2−b22ac=a+c2−2ac−b22ac=(2b)2−2ac−b22ac
=3b22ac−1≥3b22(a+c2)2−1=3b22(2b2)2−1=12，
当且仅当a=c时取等号．
又B∈0,π，故B∈(0,π3]，sinB∈(0,32]．
令fB=cs2B+sinB=1−2sin2B+sinB=−2sinB−142+98，
由sinB∈(0,32]知：
当sinB=14时，fBmax=98；
当sinB=32时，fBmin=3−12，
故cs2B+sinB的最大值为98，最小值为3−12．
故答案为：98；3−12．
三、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列an的公差为d，
由题意知：d≠0，
则a1+2d=6,a1+d2=a1a1+3d,
解得a1=2,d=2或a1=6,d=0,（舍去）
∴ an=2+2n−1=2n,
∴ Sn=2n+nn−12⋅2=nn+1.
(2)由(1)得bn=1Sn=1nn+1=1n−1n+1，
故Tn=b1+b2+⋯+bn
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1，
∴ Tn=nn+1.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
等比中项
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设等差数列an的公差为d，
由题意知：d≠0，
则a1+2d=6,a1+d2=a1a1+3d,
解得a1=2,d=2或a1=6,d=0,（舍去）
∴ an=2+2n−1=2n,
∴ Sn=2n+nn−12⋅2=nn+1.
(2)由(1)得bn=1Sn=1nn+1=1n−1n+1，
故Tn=b1+b2+⋯+bn
=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1，
∴ Tn=nn+1.
【答案】
解：(1)当a=0时，不等式化为−3<0，解集为R，不合题意，舍去；
当a≠0时，
∵ 一元二次不等式的解集为{x|x<−3,或x>−1}，
∴ −3，−1是相应方程ax2+4ax−3=0的两根，且a<0，
∴ −3+−1=−4,−3×−1=−3a,a<0,
解得：a=−1．
综上可知： a=−1．
(2)当a=0时，不等式化为−3<0在R上恒成立，符合题意；
若a≠0，则由关于x的一元二次不等式ax2+4ax−3<0的解集为R得：
a<0,4a2−4×a×−3<0,
解得−34综上，a的取值范围是(−34,0]．
【考点】
一元二次不等式的解法
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=0时，不等式化为−3<0，解集为R，不合题意，舍去；
当a≠0时，
∵ 一元二次不等式的解集为{x|x<−3,或x>−1}，
∴ −3，−1是相应方程ax2+4ax−3=0的两根，且a<0，
∴ −3+−1=−4,−3×−1=−3a,a<0,
解得：a=−1．
综上可知： a=−1．
(2)当a=0时，不等式化为−3<0在R上恒成立，符合题意；
若a≠0，则由关于x的一元二次不等式ax2+4ax−3<0的解集为R得：
a<0,4a2−4×a×−3<0,
解得−34综上，a的取值范围是(−34,0]．
【答案】
解：(1)由an+1=2an−n+1变形得：
an+1−n+1=2an−n，
∴ bn+1=2bn，
又a1=3，故b1=a1−1=3−1=2≠0，
∴ 数列bn是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)得bn=2×2n−1=2n，
即an−n=2n，∴ an=2n+n，
∴ Sn=21+1+22+2+⋯+2n+n
=21+22+⋯+2n+1+2+⋯+n
=21−2n1−2+n1+n2
=2n+1+n2+n2−2．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由an+1=2an−n+1变形得：
an+1−n+1=2an−n，
∴ bn+1=2bn，
又a1=3，故b1=a1−1=3−1=2≠0，
∴ 数列bn是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由(1)得bn=2×2n−1=2n，
即an−n=2n，∴ an=2n+n，
∴ Sn=21+1+22+2+⋯+2n+n
=21+22+⋯+2n+1+2+⋯+n
=21−2n1−2+n1+n2
=2n+1+n2+n2−2．
【答案】
解：(1)据图象可得3T4=5π12−−π3=3π4，故T=π.
由T=2πω=π得：ω=2.
由f5π12=2sin2×5π12+φ=2得：sin5π6+φ=1．
由−π2<φ<π2知，π3<5π6+φ<4π3，
∴ 5π6+φ=π2，解得φ=−π3，
∴ fx=2sin2x−π3.
(2)∵ fA=2sin2A−π3=3，
∴ sin2A−π3=32.
∵ A∈0,π，2A−π3∈−π3,5π3，
∴ 2A−π3=π3或2A−π3=2π3，
∴ A=π3或A=π2（舍去）.
由题意得△ABC的面积为12×2×c×sinπ3=332，解得c=3.
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=22+32−2×2×3csπ3=7，
解得：a=7.
由c=3,a=7,b=2，知c>a>b，C为最大角.
又csC=a2+b2−c22ab=72+22−322×7×2=127>0，
∴ 最大角C为锐角，此时三角形△ABC为锐角三角形，符合题意．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
余弦定理
三角形的面积公式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)据图象可得3T4=5π12−−π3=3π4，故T=π.
由T=2πω=π得：ω=2.
由f5π12=2sin2×5π12+φ=2得：sin5π6+φ=1．
由−π2<φ<π2知，π3<5π6+φ<4π3，
∴ 5π6+φ=π2，解得φ=−π3，
∴ fx=2sin2x−π3.
(2)∵ fA=2sin2A−π3=3，
∴ sin2A−π3=32.
∵ A∈0,π，2A−π3∈−π3,5π3，
∴ 2A−π3=π3或2A−π3=2π3，
∴ A=π3或A=π2（舍去）.
由题意得△ABC的面积为12×2×c×sinπ3=332，解得c=3.
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=22+32−2×2×3csπ3=7，
解得：a=7.
由c=3,a=7,b=2，知c>a>b，C为最大角.
又csC=a2+b2−c22ab=72+22−322×7×2=127>0，
∴ 最大角C为锐角，此时三角形△ABC为锐角三角形，符合题意．
【答案】
解：(1)由正弦定理，得2sinAcsC−sinBcsC=sinCcsB，
则2sinAcsC=sinBcsC+sinCcsB，
∴ 2sinAcsC=sinB+C=sinπ−A=sinA，
由A∈0,π知sinA>0，∴ csC=12，
又C∈0,π ，∴ C=π3．
(2)由a+b=2得b=2−a，且0由(1)知：C=π3，由余弦定理得：
c2=a2+b2−2abcsC
=a2+2−a2−a2−a
=3a2−6a+4=3a−12+1，
当0y=3a−12+1的值域为[1,4)，
当且仅当a=1时取等号，此时b=1，
∴ 1≤c2<4，
∴ c的取值范围为[1,2)．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
余弦定理
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由正弦定理，得2sinAcsC−sinBcsC=sinCcsB，
则2sinAcsC=sinBcsC+sinCcsB，
∴ 2sinAcsC=sinB+C=sinπ−A=sinA，
由A∈0,π知sinA>0，∴ csC=12，
又C∈0,π ，∴ C=π3．
(2)由a+b=2得b=2−a，且0由(1)知：C=π3，由余弦定理得：
c2=a2+b2−2abcsC
=a2+2−a2−a2−a
=3a2−6a+4=3a−12+1，
当0y=3a−12+1的值域为[1,4)，
当且仅当a=1时取等号，此时b=1，
∴ 1≤c2<4，
∴ c的取值范围为[1,2)．
【答案】
解：(1)由Sn=2n+2可得a1=S1=4，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+2−2n−1+2=2n−1，
而a1=4≠21−1，
∴ an=4,n=1,2n−1,n≥2.
(2)由anbn=lg2an及an=4,n=1,2n−1,n≥2得，
bn=lg2anan=12,n=1,n−12n−1,n≥2,
∴ Tn=12+12+222+323+⋯+n−12n−1，
12Tn=122+122+223+⋯+n−22n−1+n−12n ，
两式相减得：
12Tn=12+12−122+122+123+124+⋯+12n−1−n−12n
=14+12+122+123+124+⋯+12n−1+12n−n2n
=14+121−12n1−12−n2n
=14+1−12n−n2n=54−n+12n，
∴ Tn=52−2n+22n．
【考点】
数列递推式
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由Sn=2n+2可得a1=S1=4，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n+2−2n−1+2=2n−1，
而a1=4≠21−1，
∴ an=4,n=1,2n−1,n≥2.
(2)由anbn=lg2an及an=4,n=1,2n−1,n≥2得，
bn=lg2anan=12,n=1,n−12n−1,n≥2,
∴ Tn=12+12+222+323+⋯+n−12n−1，
12Tn=122+122+223+⋯+n−22n−1+n−12n ，
两式相减得：
12Tn=12+12−122+122+123+124+⋯+12n−1−n−12n
=14+12+122+123+124+⋯+12n−1+12n−n2n
=14+121−12n1−12−n2n
=14+1−12n−n2n=54−n+12n，
∴ Tn=52−2n+22n．

2020-2021学年四川省巴中市高一（下）期末考试数学试卷人教A版

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网