2020-2021学年云南省昆明市高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年云南省昆明市高二（上）12月月考数学（理）试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题“若ab>0，则a>0”，则它的否命题是( )
A.若ab>0，则a≤0B.若ab>0，则a0)的左右焦点为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是________.
三、解答题

已知函数f(x)=−x2+ax−b．
(1)若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率；

(2)若a，b都是从区间[0, 4]上任取的一个数，求f(1)>0成立的概率．

已知抛物线y2=mx过点−1,1，且与直线l:x=ny−1相交于A，B两点，O为坐标原点．
(1)求OA→⋅OB→的值；

(2)若△OAB的面积等于54，求直线l的方程．

2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某市从2020年2月1日算第一天起，每日新增的新型冠状病毒肺炎人数y（人）的近5天的具体数据，如表：
已知2月份前半个月处于疫情爆发期，且新增病例数与天数具有相关关系．
(1)求线性回归方程y=bx+a；

(2)预测哪天该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人？
参考公式：回归直线方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯ ，x¯，y¯为样本平均值．

某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．

1根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数；

2求y关于x的函数关系式；

3结合频率分布直方图估计利润y不少于4000元的概率．

若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y−1=0相交于P，Q两点，且OP→⋅OQ→=0（O为坐标原点）．
(1)求证：1a2+1b2等于定值；

(2)当椭圆的离心率e∈[33,22]时，求椭圆长轴长的取值范围．

已知p：函数fx=lg0.5x2−ax−a在(−∞,−12]上单调递增．
(1)若p为真命题，求a的取值范围；

(2)若q：∃x∈0,+∞，9x−a⋅3x+2+4≤0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年云南省昆明市高二（上）12月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
四种命题的定义
【解析】
根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可否命题．
【解答】
解：根据否命题的定义可知：
命题“若ab>0，则a>0”的否命题是“若ab≤0，则a≤0.”
故选D．
2.
【答案】
D
【考点】
椭圆的标准方程
【解析】
将椭圆的方程变形为标准形式，利用长轴长是短轴长的两倍建立关于m的方程即可求出m的值．
【解答】
解：椭圆方程x2+my2=1可转化为x2+y21m=1.
∵ 椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，
∴ 1m=2，解得m=14.
故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．
【解答】
解：从600名学生中抽取容量为50的样本，
组距是60050=12.
又抽得第一个号码为003，
则3+12(k−1)≤300，
∴ k≤912+25，
∴ 从001到300应抽取的人数是25.
同理可得，从301到495应抽取的人数是42−25=17，
从496到600应抽取的人数是50−42=8，
即三个营区被抽中的人数依次为25，17，8．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
在线段AB上任取一点P，求出使得S△PAD≤2的AP长度，利用几何概型的求概率的公式即可得到结果．
【解答】
解：线段AB的长度为4，
在线段AB上任取一点P，
则S△PAD=12AD⋅AP=12×2×AP≤2，
所以AP≤2，即满足条件的最大长度为2，
∴ 在线段AB上任取一点P，
使得S△PAD≤2的概率为24=12．
故选A．
5.
【答案】
A
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，利用点差法得到y1−y2x1−x2=42=2，所以直线AB的斜率为2，又过点(1, 1)，再利用点斜式即可得到直线AB的方程．
【解答】
解：设Ax1,y1，x2,y2，
由题意，得y1+y2=2×1=2.
联立y12=4x1,y22=4x2,
得(y1+y2)(y1−y2)=4(x1−x2)，
∴ y1−y2x1−x2=42=2，
∴ 直线AB的斜率为2.
又∵ 直线AB过点(1, 1)，
∴ 直线AB的方程为：y−1=2(x−1)，
即2x−y−1=0.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
相关系数
【解析】
这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，所有样本点(xi,yi)(i=1，2，⋯，n）都在直线y=12x+1上．
【解答】
解：∵ 相关系数为1，
∴ 设直线方程为y=ax+1.
将2.2,2.1 代入得，2.2a+1=2.1，
解得a=12，
∴ 所有样本点(xi,yi)(i=1，2，⋯，n)都在直线y=12x+1上，
当y=7.625时，x=13.25．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的特性
双曲线的渐近线
【解析】
用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．
【解答】
解：设过点0,1与双曲线x2−y2=1仅有一个公共点的直线为y=kx+1，
根据题意：y=kx+1，x2−y2=1，
消去y整理得1−k2x2−2kx−2=0.
令Δ=(−2k)2−4×(1−k2)×(−2)=0，
解得：k=±2，
此时直线方程为：y=±2x+1.
又因为直线恒过点0,1且渐近线的斜率为±1，
所以过该点的直线与渐近线平行时也成立，
此时直线方程为：y=±x+1．
故过点0,1与双曲线x2−y2=1仅有一个公共点的直线有4条．
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
xii∈N∗的平均数为m，方差为n，则ax1+bi∈N+的平均数为am+b，方差为a2n．
【解答】
解：x¯=120(x1+x2+⋯+x20)=2，
则y¯=120[(2x1+m)+(2x2+m)+⋯(2x20+m)]
=2x¯+m
=4+m.
sx2=(x1−x¯)2+⋯+(x20−x¯)2=8，
则sy2=[(2x1+m)−(2x¯+m)]2+⋯+
[(2x20+m)−(2x¯+m)]2
=4×8=32，
即sy=42．
故选B．
9.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．
【解答】
解：∵ p是¬q的充分不必要条件，
根据等价命题得：q是¬p的充分不必要条件，
∴ ¬p是q的必要不充分条件.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
程序框图
【解析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．
【解答】
解：当S=1，i=1时，不满足输出条件，故进行循环，
执行完循环体后，S=3，i=2；
当S=3，i=2时，不满足输出条件，故进行循环，
执行完循环体后，S=7，i=3；
当S=7，i=3时，不满足输出条件，故进行循环，
执行完循环体后，S=15，i=4；
当S=15，i=4时，不满足输出条件，故进行循环，
执行完循环体后，S=31，i=5；
满足输出条件，故判断框中的条件为i2a−2c，
则3c>a，
∴ 离心率e>13．
当e=12时，△F1F2P是等边三角形，
与①中的三角形重复，故e≠12，
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，
在e>13且e≠12时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P，
这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形，
综上所述，离心率的取值范围是(13, 12)∪(12, 1).
故答案为：(13, 12)∪(12, 1).
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的，
基本事件总数为N=5×5=25(个)，
函数有零点的条件为Δ=a2−4b≥0，即a2≥4b，
∵ 事件“a2≥4b”包含：(0, 0)，(1, 0)，(2, 0)，
(2, 1)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，(4, 0)，(4, 1)，
(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，
∴ 事件“a2≥4b”的概率为p=1225；
(2)∵ f(1)=−1+a−b>0，
∴ a−b>1，
则a，b都是从区间[0, 4]任取的一个数，有f(1)>0，
即满足条件：0≤a≤4，0≤b≤4，a−b>1，
转化为几何概率如图所示，
∴ 事件“f(1)>0”的概率为P=12×3×34×4=932.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
函数的零点
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为5×5个，函数有零点的条件为△=a2−4b≥0，即a2≥4b，列举出所有事件的结果数，得到概率．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a，b满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值．
【解答】
解：(1)由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的，
基本事件总数为N=5×5=25(个)，
函数有零点的条件为Δ=a2−4b≥0，即a2≥4b，
∵ 事件“a2≥4b”包含：(0, 0)，(1, 0)，(2, 0)，
(2, 1)，(3, 0)，(3, 1)，(3, 2)，(4, 0)，(4, 1)，
(4, 2)，(4, 3)，(4, 4)，
∴ 事件“a2≥4b”的概率为p=1225；
(2)∵ f(1)=−1+a−b>0，
∴ a−b>1，
则a，b都是从区间[0, 4]任取的一个数，有f(1)>0，
即满足条件：0≤a≤4，0≤b≤4，a−b>1，
转化为几何概率如图所示，
∴ 事件“f(1)>0”的概率为P=12×3×34×4=932.
【答案】
解：(1)把点−1,1代入抛物线方程y2=mx，
可得：m=−1.
设A−y12,y1，B−y22,y2，
联立x=ny−1，y2=−x，
得：y2+ny−1=0，
则Δ>0，
∴ y1+y2=−n，y1⋅y2=−1，
∴ OA→⋅OB→=−y12⋅−y22+y1⋅y2
=y1y2(y1y2+1)=0．
(2)∵ S△OAB=12⋅1⋅|y1−y2|
=12y1+y22−4y1y2
=12n2+4，
∴ 12n2+4=54，
解得：n=±32，
∴ 直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x−3y+2=0．
【考点】
平面向量数量积
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)把点−1,1代入抛物线方程y2=mx，
可得：m=−1.
设A−y12,y1，B−y22,y2，
联立x=ny−1，y2=−x，
得：y2+ny−1=0，
则Δ>0，
∴ y1+y2=−n，y1⋅y2=−1，
∴ OA→⋅OB→=−y12⋅−y22+y1⋅y2
=y1y2(y1y2+1)=0．
(2)∵ S△OAB=12⋅1⋅|y1−y2|
=12y1+y22−4y1y2
=12n2+4，
∴ 12n2+4=54，
解得：n=±32，
∴ 直线l的方程为：2x+3y+2=0或2x−3y+2=0．
【答案】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得， x¯=1+2+3+4+55=3，
y¯=2+4+8+13+185=9 ，
i=15xiyi=176，i=15xi2=55，
则 b=i=15xiyi−5x¯y¯i=15xi2−5x¯2
=176−5×3×955−5×32=4.1，
则a=y¯−bx¯=9−4.1×3=−3.3，
所以线性回归方程为y=4.1x−3.3.
(2)由(1)得，y=4.1x−3.3，
取x=9，得y=33.6，
取x=10，得y=37.7，
故预测2月10日该市新增的新型冠状病毒肺炎人数可以突破37人．
【答案】
解：1由频率分布直方图得:
需求量为[100,120)的频率=0.005×20=0.1,
需求量为[120,140)的频率=0.01×20=0.2,
需求量为[140,160)的频率=0.015×20=0.3,
需求量为[160,180)的频率=0.0125×20=0.25,
需求量为[180,200]的频率=0.0075×20=0.15.
则平均数x¯=110×0.1+130×0.2
+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.
2因为每售出1盒该产品获利润30元,未售出的产品,每盒亏损10元,
所以当100≤x≤160时,
y=30x−10×(160−x)=40x−1600，
当1601，设点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，由OP→⋅OQ→=0，得x1x2+y1y2=0，由此能够推导出1a2+1b2=2．
(II)由由、题高级条件能够推导出a2=2−e22(1−e2)=12+12(1−e2)，再由e∈[33，22]得a2∈[54,32]，由此能够推陈出新导出长轴长的取值范围．
【解答】
(1)证明：联立b2x2+a2y2=a2b2，x+y−1=0，
消去y得，(a2+b2)x2−2a2x+a2(1−b2)=0，
Δ=4a4−4(a2+b2)a2(1−b2)>0，a2+b2>1.
设点P(x1, y1)，Q(x2, y2)，
则x1+x2=2a2a2+b2，x1x2=a2(1−b2)a2+b2.
由OP→⋅OQ→=0得，x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(1−x1)(1−x2)=0，
化简得，2x1x2−(x1+x2)+1=0，
则2a2(1−b2)a2+b2−2a2a2+b2+1=0
即a2+b2=2a2b2，
故1a2+1b2=2.
(2)解：由e=ca，b2=a2−c2，a2+b2=2a2b2，
化简得a2=2−e22(1−e2)=12+12(1−e2).
由e∈[33,22]得，a2∈[54,32]，
即a∈[52,62]，
故椭圆的长轴长的取值范围是[5,6]．
【答案】
解：(1)由题意可知u=x2−ax−a在−∞，−12上单调递减，
则a2≥−12，即a≥−1．
且u=x2−ax−a>0在−∞，−12上恒成立，
所以−122−−12a−a>0，
解得a