2021届北京市海淀区高三数学模拟试卷（一）及答案

这是一份2021届北京市海淀区高三数学模拟试卷（一）及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 北京市海淀区高三数学模拟试卷〔一〕一、单项选择题1.集合 ， ，假设 ，那么实数a的值可以为〔  〕            A. 2                                           B. 1                                           C. 0                                           D. -22.以下函数值中，在区间 上不是单调函数的是〔  〕            A.                              B.                              C.                              D. 3.等差数列 的前 项和为 .假设 ，且 ，那么 〔    〕            A. 1                                           B.                                            C.                                            D. 34.不等式 成立的一个充分不必要条件是〔    〕            A.                                B.                                C.                                D. 5.如图，角 以 为始边，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐标为 ，那么 的值为〔  〕  A.                                        B.                                        C.                                        D. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔     〕  A.                                       B.                                       C.                                       D. 7.在四边形 中， ，设 .假设 ，那么 〔  〕            A.                                            B.                                            C. 1                                           D. 28.函数 .假设存在实数 ，使得 成立，那么实数 的取值范围是〔  〕            A.                           B.                           C.                           D. 9.一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，假设是白球那么取出来，假设是黑球那么放回盒中，直到把白球全部取出，那么在此过程中恰有两次取到黑球的概率为            A.
B.
C.
D.10.设集合 是集合 的子集，对于 ，定义 ，给出以下三个结论：①存在 的两个不同子集 ，使得任意 都满足 且 ；②任取 的两个不同子集 ，对任意 都有 ；③任取 的两个不同子集 ，对任意 都有 ；其中，所有正确结论的序号是〔  〕            A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③二、填空题11.向量 ，且 ，那么 ________    12.函数 的零点个数是________    13.如图，网格纸上小正方形的边长为 .从 四点中任取两个点作为向量 的始点和终点，那么 的最大值为________  14.数列 的通项公式为 ，假设存在 ，使得 对任意 都成立，那么 的取值范围为________    15.函数 ，其中 ， 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当 时， 面积的最小值为________；②假设存在 是等腰直角三角形，那么 的最小值为________.    三、解答题16.在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的 存在，求 的最小值；假设 不存在，说明理由.  设数列 为等差数列， 是数列 的前 项和，且  ▲    ，  .记 ， 为数列 的前 项和，是否存在实数 ，使得对任意的 都有 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， ， 为线段 的中点， 为线段 上的一点.  〔1〕证明：平面 平面 .    〔2〕假设 ，二面角 的余弦值为 ，求 与平面 所成角的正弦值.    18.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位 〔单位：米〕的频率分布直方图如下.将河流水位在 ， ， ， ， ， ， 各段内的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位变化互不影响.  〔1〕求未来4年中，至少有2年该河流水位 的概率〔结果用分数表示〕.    〔2〕该河流对沿河 工厂的影响如下：当 时，不会造成影响；当 时，损失50000元；当 时，损失300000元.为减少损失， 工厂制定了三种应对方案.  方案一：不采取措施；方案二：防御不超过30米的水位，需要工程费用8000元；方案三：防御34米的最高水位，需要工程费用20000元.试问哪种方案更好，请说明理由.19.椭圆 的中心在原点， 是它的一个焦点，直线 ，过点 与椭圆 交于 ， 两点，当直线 轴时， .    〔1〕求椭圆 的标准方程；    〔2〕设椭圆的左顶点为 ， 、 的延长线分别交直线 于 ， 两点，证明：以 为直径的圆过定点。    20.函数 .    〔1〕判断函数 在区间 上的单调性，并说明理由；    〔2〕求证： .    21.集合 ，且 中的元素个数 大于等于5.假设集合 中存在四个不同的元素 ，使得 ，那么称集合 是“关联的〞，并称集合 是集合 的“关联子集〞；假设集合 不存在“关联子集〞，那么称集合 是“独立的〞.    〔1〕分别判断集合 和集合 是“关联的〞还是“独立的〞？假设是“关联的〞，写出其所有的关联子集；    〔2〕集合 是“关联的〞，且任取集合 ，总存在 的关联子集 ，使得 .假设 ，求证： 是等差数列；    〔3〕集合 是“独立的〞，求证：存在 ，使得 .   
答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】 ，且 ， ， ∴a的值可以为-2．故答案为：D． 
【分析】 可以求出A={x|x≤-1},根据AU B=R即可得出a≤-1,从而得出a的值。2.【解析】【解答】由一次函数的性质可知， 在区间 上单调递增； 由二次函数的性质可知， 在区间 上单调递增；由幂函数的性质可知， 在区间 上单调递增；结合一次函数的性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增．故答案为：D． 
【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质进行判断可得答案。3.【解析】【解答】设等差数列 的公差为 ， ，即 ，那么 .故答案为：C 
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式，即可得出答案。4.【解析】【解答】不等式 ，那么 是 成立的一个充分不必要条件. 故答案为：A 
【分析】解出不等式，根据充分条件、必要条件的定义可得答案。5.【解析】【解答】角 以 为始边，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐标为 ，所以 那么 ； 故答案为：B． 
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 的值。6.【解析】【解答】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成， 圆锥的底面半径 ，高 ，所以该几何体的体积为：，故答案为：B． 
【分析】由三视图可知，该几何体由两个同底的圆锥拼接而成，利用圆锥的体积公式，即可求出该几何体的体积.7.【解析】【解答】如以下列图， 过 作 ，又 ．∴四边形 是平行四边形．， 又 ．，又 ，那么 ．故答案为：B． 
【分析】 如以下列图，过 作 ，又 ， 可得四边形 是平行四边形，根据可得又   ,可得， 即可得出结.8.【解析】【解答】∵ 且 ，  整理得 ，∴原问题转化为 与 的图象有交点， 画出 的图象如下：当 时， ，由图可知， ．故答案为：A．【分析】根据题意将存在实数 ，使得 成立转化为 有根，再根据方程变形可得，原问题转化为 有根，进而转化为 与 的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．9.【解析】【解答】要满足题意，共有三种取法：〔白黑黑白〕，〔黑白黑白〕〔黑黑白白〕， 其中〔白黑黑白〕的取法种数为 = ，〔黑黑白白〕的取法种数为 = ，〔黑白黑白〕的取法种数为 = ，综上共有 ，故答案为：A. 
【分析】依题意,取球次数为4次，即前3次有两次取得黑球，一次取得白球，第四次取得白球.因为先取黑球，再取白球时取球概率不变，但是先取白球再取黑球时取球概率发生改变，故前三次取球应分哪一次取得白球进行讨论.10.【解析】【解答】∵对于 ，定义 ， ∴对于①，例如集合 是正奇数集合， 是正偶数集合， ， ，故①正确；对于②，假设 ，那么 ，那么 且 ，或 且 ，或 且 ； ；假设 ，那么 ，那么 且 ； ；∴任取 的两个不同子集 ，对任意 都有 ；正确，故②正确；对于③，例如： ，当 时， ； ； ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故答案为：A． 
【分析】 对题目中给的新定义要充分理解，对于 ，定义 ， 可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题.二、填空题11.【解析】【解答】由向量 ，假设  ，可得 ． 故答案为：6． 
【分析】由可得 ，计算可求出t的值。12.【解析】【解答】由题意可知 的定义域为 ，令 ， 可得 ， 解得 〔舍去〕或 ，；所以函数 的零点个数为 个．故答案为：1． 
【分析】解方程，根据方程的根的个数，即可得出的零点个数。13.【解析】【解答】由题意可知：那么 ， 所以要使 取到最大值，即要求向量 在向量 上的投影最大，由图形可知：当向量 时，向量 在向量 上的投影最大，即 即 的最大值为3．故答案为：3． 
【分析】 向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值.14.【解析】【解答】数列 的通项公式为 ，假设存在 ，使得 对任意的 都成立， 那么 ， 设 ，那么 ，令 ，解得 ，所以函数的单调增区间为 ，函数的减区间为 ，所以函数在 时函数取最大值，由于 ，所以当 时函数最大值为 ．所以 的取值范围是 ．故答案为： ． 
【分析】 直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果.15.【解析】【解答】函数 ，其中 ， 是这两个函数图象的交点， 当 时， ． 所以函数的交点间的距离为一个周期 ，高为 ．所以： ．如以下列图：①当 时， 面积的最小值为 ；②假设存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，那么 ， 解得 的最小值为 ．故答案为： ， ． 
【分析】当 时， ， 根据函数图像可得出面积的最小值；假设存在 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，那么 ， 求解可得 的最小值。三、解答题16.【解析】【分析】 由题中条件求得数列 的通项公式，再结合选择的条件，利用等差数列的通项公式及裂项相消法求解即可.17.【解析】【分析】  (1)推导出AE⊥BC, PE⊥BC,从而BC⊥平面PAE,由此能求出平面PAE⊥平面BCP；
(2)推导出PA⊥AD, PA⊥AB,从而PA⊥平面ABCD, 以  为坐标原点，  的方向为  轴正方向，建立空间直角坐标系 ， 利用向量法能求出PD与平面BDF所成角的正弦值.18.【解析】【分析】 (1)根据频率分布直方图,先得到河流水位 的概率，再记“在未来4年中，至少有2年河流水位  为事件A,即可由 求出结果；
(2)记A工厂的工程费与损失费之和为Y,根据题意分别求出三种方案中Y的期望，比较大小，取期望最小的即可.19.【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的简单性质，结合平面向量的数量积运算，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
〔2〕将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理及平面向量的数量积运算，证明两向量垂直，即可说明圆过定点.20.【解析】【分析】(1)当x∈(0,1),对f(x)求导,判断函数f' (x)在区间(0, 1)的正负,即可判断函数f (x)在区间(0, 1)上的单调性；
(2)证明 “  〞等价于证明“  〞，求f (x)的最大值即可证明.21.【解析】【分析】〔1〕根据题中所给的新定义即可求解；
〔2〕根据题意， ，  ，  ， ，， 进而利用反证法求解；
〔3〕不妨设集合     ，     ， 且    ， 记   ， 进而利用反证法求解。