2021届福建省龙岩市高三下学期数学第一次教学质量检测试卷及答案

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这是一份2021届福建省龙岩市高三下学期数学第一次教学质量检测试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三下学期数学第一次教学质量检测试卷一、单项选择题1.假设复数z满足〔i为虚数单位〕，那么z的共轭复数的虚部为〔    〕
B.

D.2.假设集合，，，那么图中阴影局部表示的集合的子集个数为〔    〕

3.围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到如下统计图，那么以下说法中不正确的选项是〔    〕
B.在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等

D.在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高4.在中，，，，，那么〔    〕            A.
B.
C.
D.5.在的展开式中，的系数为〔    〕

6.2006年7月13日，河南安阳殷墟通过了世界遗产委员会的认可，成为世界文化遗产．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少〞这一规律.样本中碳14的质量随时间t〔单位：年〕的衰变规律满足〔表示碳14原有的质量〕，经过测定，殷墟遗址某文物样本中碳14的质量约是原来的，据此推测此文物存在的时期距今约〔   〕〔参考数据：，〕

7.假设三棱锥的四个面都为直角三角形，且平面，，，那么其外接球的外表积为〔    〕            A.
B.
C.
D.8.定义在R上的奇函数满足，当时，〔e为自然对数的底数〕，那么的值为〔    〕

二、多项选择题9.假设点在直线上，其中，，那么〔    〕            A.的最大值为
B.的最大值为2
C.的最小值为
D.的最小值为 10.一个不透明的袋子中装有6个小球，其中有4个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同，那么以下结论中正确的有〔    〕            A.假设一次摸出3个球，那么摸出的球均为红球的概率是
B.假设一次摸出3个球，那么摸出的球为2个红球，1个白球的概率是
C.假设第一次摸出一个球，记下颜色后将它放回袋中，再次摸出一个球，那么两次摸出的球为不同颜色的球的概率是
D.假设第一次摸出一个球，不放回袋中，再次摸出一个球，那么两次摸出的球为不同颜色的球的概率是 11.函数，那么以下结论正确的选项是〔    〕            A.当时，函数在上的最大值为
B.当时，函数的图像关于直线对称
C.是函数的一个周期
D.不存在，使得函数是奇函数12.抛物线的焦点为F，O是坐标原点，P为抛物线C上一动点，直线l交C于A，B两点，点不在抛物线C上，那么〔    〕            A.假设A，B，F，Q四点共线，那么
B.假设的最小值为2，那么
C.假设直线l过焦点F，那么直线，的斜率，满足
D.假设过点A，B所作的抛物线的两条切线互相垂直，且A，B两点的纵坐标之和的最小值为4，那么的面积为4三、填空题13.函数在点处的切线方程为，那么a的值为________.    14.将这2021个整数中能被2整除余1且被3整除余2的数按从小到大的顺序构成一个数列，那么该数列的项数为________.    15.正方体的棱长为a，P是正方体外表上的动点，假设，那么动点P的轨迹长度为________.    16.抛物线的准线与双曲线的渐近线分别交于A，B两点，O是坐标原点．假设的内切圆的周长为π，那么内切圆的圆心坐标为________，双曲线C的离心率为________.    四、解答题17.在① ，② ，③ .三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， .〔1〕求角C;    〔2〕求周长的取值范围．    18.数列的各项均为正数，其前n项和为，且〔1〕求数列的通项公式；    〔2〕假设，设数列的前n项和为，当对任意都成立时，求实数k的取值范围.    19.为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动〞.为了解学生对“冬季长跑活动〞的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%.    〔1〕根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为学生对“冬季长跑活动〞的兴趣度与性别有关？感兴趣不感兴趣合计男生 12 女生36  合计  100〔2〕假设用频率估计概率，在随机抽取的100名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取1名学生，求这2人中恰有1人不感兴趣的概率；    〔3〕假设不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生．现从不感兴趣的男学生中随机选出3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为X，求X的分布列与数学期望. 附：              ，其中 .20.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，，，F是的中点，二面角的大小为120°，设平面与平面的交线为l. 〔1〕在线段上是否存在点E，使平面 ?假设存在，确定点E的位置；假设不存在，请说明理由；    〔2〕假设点Q在l上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.    21.椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，左焦点为，且过点 .O为坐标原点，与的面积的比值为 .    〔1〕求椭圆C的标准方程；    〔2〕直线与椭圆C交于P，Q两点，记直线，的斜率分别为，，假设k为，，的等比中项，求面积的取值范围．    22.设函数，〔e为自然对数的底数〕    〔1〕假设函数有两个极值点，求a的取值范围；    〔2〕设函数，其中为的导函数，求证：的极小值不大于1.
答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】解：因为，所以，所以，即的共轭复数的虚部为-2，故答案为：C．
【分析】利用复数的运算性质求解Z,进而求解Z的共轭复数，便可得出结果。2.【解析】【解答】由题意，集合，，可得，可得，即阴影局部表示的集合为，所以阴影局部表示的集合的子集个数为 .故答案为：D.
【分析】由图形可知阴影局部为，再由子集个数的公式可得子集个数为。3.【解析】【解答】解：由右图可知，偏爱民宿用户对小红书平台的选择占比为，那么偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高，A正确，不符合题意；在被调查的酒店用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，在被调查的民宿用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和为，那么在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等，B正确，不符合题意；小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比为，携程旅行的占比为，携程旅行的占比略高于小红书占比，C正确，不符合题意；在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比分别为15%和12%，抖音的占比分别为6%和18%，那么酒店预订方面同程旅行占比高，民宿预订方面抖音的占比高，D错误，符合题意．故答案为：D．
【分析】对照两统计图，逐一计算选项内容进行比较即可。4.【解析】【解答】因为，所以，所以，所以 .故答案为：C.
【分析】在  中，根据向量的线性关系和加减法运算可得，所以，展开运算即可。5.【解析】【解答】解：，的展开式中的系数为，故答案为：C．
【分析】由二项式展开定理可得，分析可知   的展开式中的系数为。6.【解析】【解答】由题意可得，那么，即，所以年。故答案为：A．
【分析】利用实际问题的条件结合对数的运算法那么，从而求出推测此文物存在的时期距今的年份。7.【解析】【解答】构造如以下列图的长方体，设其外接球的半径为R，那么2R=PC= ，所以外接球的外表积为： .故答案为：B
【分析】构造如以下列图的长方体，设其外接球的半径为R，那么2R=PC= ，进而利用求得外表积公式求解即可。8.【解析】【解答】解：定义在上的奇函数满足，当，时，，，且〔1〕〔1〕〔1〕，可得且，故，故答案为：A．
【分析】由题意可知，；由奇函数满足可得〔1〕〔1〕，即，可得a,b的值，进而求解结果。二、多项选择题9.【解析】【解答】解：由题设可知：，，，，即，，当且仅当时取“=“，A符合题意；又由可得：，，，，BC不符合题意；，，∴ ，当且仅当时取“=〞，D符合题意，故答案为：AD．
【分析】由题设可知：，利用根本不等式可知A正确；将化为，根据b的范围可知BC不正确；，利用根本不等式可知D正确。10.【解析】【解答】解：对于，总事件数是，摸出的球均为红球的事件数为，所以摸出的球均为红球的概率是，A不符合题意；对于，总事件数是，摸出的球为2个红球，1个白球的事件数为，所以摸出的球为2个红球，1个白球的概率是，B符合题意；对于，①假设第一次摸出红球，第二次摸出白球，那么概率为；②假设第一次摸出白球，第二次摸出红球，那么概率为．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，C符合题意；对于，①假设第一次摸出红球，第二次摸出白球，那么概率为，②假设第一次摸出白球，第二次摸出红球，那么概率为．故两次摸出的球为不同颜色的球的概率是，D不符合题意．故答案为：BC．
【分析】运用古典概型可判断选项A,B;对于C,可分为：①第一次摸出红球，第二次摸出白球；②第一次摸出白球，第二次摸出红球。求两种情况概率和即可。对于，同C，分为①第一次摸出红球，第二次摸出白球； ②第一次摸出白球，第二次摸出红球。11.【解析】【解答】解：函数，对于A：当时，，由于 , ，当时，函数的最大值为，A符合题意；对于B：当时，，由，故函数的图象关于直线对称，B符合题意；对于C: ，C不符合题意；对于D：要使函数为奇函数，那么，即，整理得：，即，关系式不恒成立，故不存在，使得函数是奇函数，D符合题意．故答案为：ABD．
【分析】对于A：将代入，利用二倍角余弦公式整理配方可得最大值，函数的最大值为；对于B：当时，，由，故函数的图象关于直线对称，B符合题意；验证，可知C不符合题意；对于D：假设函数为奇函数，那么，代入化简可得，关系式不恒成立，故不存在，使得函数是奇函数，D符合题意．12.【解析】【解答】A.假设直线l过点F、Q且与y轴垂直，可得，当直线l过点F、Q但不与y轴垂直时，得不出，A不符合题意；B.当点Q在抛物线的内部时，由抛物线的定义得〔N为抛物线准线上的点〕；当点Q在抛物线的外部时，连接， .得 .B不符合题意C.由条件知直线l的斜率存在，设其方程为与联立消去y得，设，，那么，，，C符合题意；D.设，，由得，，，，所以当时，取得最小值，从而求得，，， .D符合题意.故答案为：CD.
【分析】A.假设直线l过点F、Q且与y轴垂直得，当直线l过点F、Q但不与y轴垂直时，得不出； B.分当点Q在抛物线的内部时和点Q在抛物线的外部时两种情况分别计算P值。C.由条件知直线l的斜率存在，设其方程为与联立消去y得，由根与系数的关系和斜率公式可得；D.设，，由题意可知，所以当时，取得最小值 .三、填空题13.【解析】【解答】解：由，得，函数在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为，〔1〕，即．故答案为：1．
【分析】利用导数在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为，可得。14.【解析】【解答】解：根据题意，设要求数列为，被2整除余1的数为1、3、5、7、……，被3整除余2的数为2、5、8、……，那么能被2整除余1且被3整除余2的数为5、11、17、，是首项为5，公差为6的等差数列，那么，在这2021个整数中，的最大项为2021，即，那么该数列有337项，故答案为：337．
【分析】设要求数列为，根据题意列出该数列前几项，可知此数列是首项为5，公差为6的等差数列，那么，的最大项为2021，根据通项公式可得结果。15.【解析】【解答】动点P的轨迹是以A为球心，半径为的球与平面，平面，平面的交线，这三条弧长之和为 . 故答案为：
【分析】动点P的轨迹是以A为球心，半径为的球与平面，平面，平面的交线，计算三条弧线长即可。16.【解析】【解答】由题意知：抛物线的准线方程为 . 由的内切圆的周长为π，即的内切圆的半径 .由渐近线关于轴对称，那么圆心必在轴上，设为 .由圆心到的距离为 .即 .即圆心坐标为 .由渐近线的为 .那么 .化简得： .所以离心率 .故答案为：；
【分析】由题意知的内切圆的半径 .圆心必在轴上，设为，根据圆心到的距离为半径，求解a值，进而求出圆心坐标。再由圆心到直线距离可得出ab的关系式，结合离心率g公式可得结果。四、解答题17.【解析】【分析】〔1〕对条件 ① 运用正弦定理的，可得C值。对条件 ② 化简可得，得C值；对条件 ③ 运用向量内积计算可得C值。
〔2〕因为    ，结合余弦定理得，得  ，所以  ，得出a+b的范围，进而求解周长范围。18.【解析】【分析】〔1〕 ; 当  时，由可知数列  是以2为首项，以2为公比的等比数列，运用通项公式求解即可．
〔2〕利用错位相减法可得，    ，当  对任意  都成立时，。19.【解析】【分析】〔1〕由题意得列联表，求得K2 ，比照邻界值表得出结论；
〔2〕直接由互斥事件的概率公式求解；
〔3〕由题意X得可能取值为0,1,2,3，求其概率，得分布列，再由期望公式求期望。20.【解析】【分析】(1) 在线段  上存在点E满足题意，且E为  中点，通过证明l的平行线   平面即可得到  平面  。
(2) 以E为原点，  方向为x轴，EF方向为y轴，建立如以下列图的空间直角坐标系，设  ，求解平面  的法向量，利用求解t ，进而计算出Q的坐标，再利用两点间的距离公式求解线段  的长.   21.【解析】【分析】〔1〕利用三角形的面积比可得，将点M的坐标代入椭圆标准方程可得，结合a,b,c关系式可得a,b的值，代入标准方程即可。
〔2〕联立直线l与椭圆方程，根据根与系数的关系式代入化简得 K值，由弦长公式得    ，利用点  到直线  的距离求解三角形的高，然后利用面积公式结合配方法求解范围。22.【解析】【分析】函数  有两个极值点，那么有两个解，即  与  的图象的交点有两个. 利用    的导数求解其极大值，当  时，即  时有两个解，所以。
〔2〕利用的导数，分，，三种情况讨论的极值，可证明的极小值不大于1.