2021届北京市东城区高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届北京市东城区高三数学一模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 



2.在复平面内，复数 对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限

                           C. 第三象限                           D. 第四象限



3.某中学高一､高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况，在抽取的样本中，高二年级有20人，那么该样本中高三年级的人数为〔    〕
年级
人数
高一
550
高二
500
高三
450
合计
1500
A. 18                                         B. 22                                         C. 40                                         D. 60



4.某四棱锥的三视图如下列图，该四棱锥的体积为〔    〕

A.                                          B. 9                                         C.                                          D. 27



5.圆 截直线 所得弦的长度为1，那么k的值为〔    〕
A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 



6.函数 ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 



7.“ 〞是“ 〞成立的〔    〕
A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件

         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件



8.宽与长的比为 的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术､建筑､人体和自然界中，令人赏心悦目.在黄金矩形 中， ，那么 的值为〔    〕
A.                                   B.                                   C. 4                                  D. 



9.椭圆 的右焦点F与抛物线 的焦点重合，P为椭圆 与抛物线 的公共点，且 轴，那么椭圆 的离心率为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 



10.如图，将线段 用一条连续不间断的曲线 连接在一起，需满足要求：曲线 经过点B ， C ， 并且在点B ， C处的切线分别为直线 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕

A. 存在曲线 满足要求


B. 存在曲线 满足要求


C. 假设曲线 和 满足要求，那么对任意满足要求的曲线 ，存在实数 ，使得


D. 假设曲线 和 满足要求，那么对任意实数 ，当 时，曲线 满足要求



二、填空题
11.的展开式中， 的系数为________.(用数字作答)
12.函数 ，其中x和 局部对应值如下表所示：


0




-2

-2
2

那么 ________.
A是非空数集，假设对任意 ，都有 ，那么称A具有性质P.给出以下命题：
①假设A具有性质P ， 那么A可以是有限集；
②假设 具有性质P ， 且 ，那么 具有性质P；
③假设 具有性质P ， 那么 具有性质P；
④假设A具有性质P ， 且 ，那么 不具有性质P.
其中所有真命题的序号是________.
14.双曲线 经过点 ，那么m的值为________，C的渐近线方程为________.
15. 为等比数列， ，那么 的公比为________，数列 的前5项和为________.
三、解答题
16.如图，在长方体 中，四边形 是边长为1的正方形， ，M ， N分别为 的中点.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
17.在 中， ， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为，求：
〔1〕的值；
〔2〕角 的大小和 的面积.
条件①： ；条件②： .
注：如果选择条件①､条件②分别解答，按第一个解答计分.
18.小明同学两次测试成绩(总分值100分)如下表所示：

语文
数学
英语
物理
化学
生物
第一次
87
92
91
92
85
93
第二次
82
94
95
88
94
87
〔1〕从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率；
〔2〕从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望 ；
〔3〕现有另一名同学两次测试成绩(总分值100分)及相关统计信息如下表所示：

语文
数学
英语
物理
化学
生物
6科成绩均值
6科成绩方差
第一次








第二次








将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为 .有一种观点认为：假设 ，那么 .你认为这种观点是否正确？(只写“正确〞或“不正确〞)
19.函数 ，其中 .
〔1〕当 时，求 的单调区间；
〔2〕假设曲线 在点 处的切线与y轴的交点为 ，求 的最小值.
20.椭圆 过点 ，且焦距为 .
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕过点 的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于P ， Q两点，点T与点Q关于x轴对称，直线 与x轴交于点H ， 是否存在常数 ，使得 成立，假设存在，求出 的值；假设不存在，说明理由.
21.设 为正整数，假设 满足：① ；②对于 ，均有 ；那么称 具有性质 .对于 和 ，定义集合 .
〔1〕设 ，假设 具有性质 ，写出一个及相应的 ；
〔2〕设 和 具有性质 ，那么 是否可能为 ，假设可能，写出一组 和 ，假设不可能，说明理由；

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意，集合 ，可得 .
故答案为：C.

【分析】进行并集的运算即可。
2.【解析】【解答】因为 ，
所以 对应的点为 ，它位于第二象限.
故答案为：B

【分析】 把的等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，得到  在复平面内对应点的坐标得答案．
3.【解析】【解答】设该样本中高三年级的人数为 人，
根据分层抽样的概念及方法，可得 ，解得 人.
故答案为：A.

【分析】 先计算出总体中高二年级与高三年级的比例，那么有分层抽样的特点进行求解即可．
4.【解析】【解答】由三视图可知，该四棱锥的底面为边长为 的正方形，高为 ，如图：
 
所以该四棱锥的体积为 .
故答案为：B

【分析】 利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积．
5.【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
由 得 ，得 ，
又因为 ，所以 .
故答案为：D

【分析】 先由点到直线的距离公式，求得圆心〔0，0〕到直线的距离，再由弦长公式，即可得解．
6.【解析】【解答】作出函数 与 的图象：

由图可知：不等式 的解集为 .
故答案为：C

【分析】作出函数 与 的图象，由图可知  的解集 。
7.【解析】【解答】由题意，利用对数函数性质可知： ，故必要性成立，而 ，但不能确定 是否小于0，小于0时函数无意义，故 不能推出 ，故充分性不成立，所以“ 〞是“ 〞的必要而不充分条件.
故答案为：B.

【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
8.【解析】【解答】由 ， ，解得：
如下列图，建立直角坐标系，那么 ， ， ，

那么 ， ，
故答案为：C

【分析】 由黄金矩形ABCD的定义，可得AB，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．
9.【解析】【解答】由 得 ，
不妨设 在第一象限，因为 轴， ，所以 ，
又在椭圆 中， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
整理得 ，解得 或 〔舍〕，
故答案为：A

【分析】 不妨取点P在第一象限，得其坐标，并代入椭圆C的方程，可得， ， 解方程可得   的离心率。
10.【解析】【解答】由图知点 ，所以直线AB的方程为 ，直线CD的方程为 ，
所以 ，
对于A：曲线 的导函数为 ，由图象知当 时， ，当 时， ，代入 中得解：
，所以 ，而 ，所以点 不在曲线上，A不正确；
对于B：曲线 的导函数为 ，
当 时， ，当 时， ，代入 得
，即 ，又由 ，得 ，方程组中a ， b不可解，B不正确；
对于C：根据条件存在无数个多项式函数满足题意，但多项式之间不一定有线性关系，C不正确；
对于D：当 时，有 ，即 ，故当 时，曲线 满足要求，D符合题意，
故答案为：D.

【分析】 利用题中给出的图形，分析可知y=f〔x〕需满足f〔1〕=3，f'〔1〕=-1，f〔2〕=1，然后依次对四个选项进行分析判断即可．
二、填空题
11.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 ， ，
令 ，得 ，
所以 的系数为 .
故答案为：5

【分析】 求出展开式的通项公式，令x的指数为2，由此即可求解．
12.【解析】【解答】由题意可得 ，即 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
故答案为：4.

【分析】 结合函数图象上的点的坐标，代入后结合同角平方关系可求A．
13.【解析】【解答】对于①，取集合 具有性质P ， A可以是有限集，故①正确；
对于②，取 ，那么 ， ， ， ，又 具有性质P ， ， ， ，所以 具有性质P ， 故②正确；
对于③，取 ， ， ， ，但 ，故③错误；
对于④，假设 具有性质P ， 即对任意 ，都有 ，即对任意 ，都有 ，举反例 ，取 ， ，但 ，故假设不成立，故④错误；
故答案为：①②

【分析】 根据中的性质P，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．
14.【解析】【解答】由题意，双曲线 经过点 ，可得 ，解得 ，
即双曲线的方程为 ，那么其渐近线的方程为 .
故答案为：4；y=±2x.

【分析】 利用双曲线经过的点，求解m，然后求解双曲线方程，得到渐近线方程即可．
15.【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ，
因为 ，可得 ，解得 ；
又由 ，且 ，所以数列 构成首项为1，公比为2的等比数列，
那么数列 的前5项和为 .
故答案为： ；31.

【分析】 根据题意，设的公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得q的值，由等比数列的性质可得数列是首项， 公比为的等比数列，据此计算可得答案．
三、解答题
16.【解析】【分析】 〔1〕取AC的中点O，连结OM，ON，先证明OM∥CD，   ，再证明   ，   ，从而证明   ，利用线面平行的判定定理证明即可；
〔2〕建立适宜的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面   的法向量，由向量的夹角公式求解即可．
17.【解析】【分析】 选条件①：〔1〕利用余弦定理的应用求出结果；〔2〕利用三角函数关系式的变换，正弦定理和三角形的面积求出结果；
选条件②时，〔1〕利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果；〔2〕利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果．
18.【解析】【分析】 〔1〕由表中的数据可得，小明同学第一次测试的6科中，由4科成绩大于90分，利用古典概型的概率公式求解即可；
〔2〕首先确定X的可能取值，然后求出对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解期望即可；
〔3〕通过方差含义进行分析即可．
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕 由题意，函数  ，可得   ， 当  时， ，根据导数的符号即可求出  的单调区间；
〔2〕 由〔1〕知  ，可得  ， 可得切线方程 ， 令  ，可得  ， 根据导数的符号即可求出  的单调区间，进而求出  的最小值 。
 
 
20.【解析】【分析】 〔1〕椭圆C过点D〔-2，0〕，且焦距为 ，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．
〔2〕“存在常数λ，使得|AD|•|DH|=λ〔|AD|-|DH|〕成立“等价于“存在常数λ，使得   成立〞，即“存在常数λ，使得  成立〞，联立直线与椭圆的相交问题，结合韦达定理可得x1+x2 ， x1x2 ， 即可得出答案．
21.【解析】【分析】 〔1〕此题属于新定义类型题，可根据题意举例进行直接进行求解；
〔2〕利用反证法进行求解即可。