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    2021届北京市东城区高三数学一模试卷及答案

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    2021届北京市东城区高三数学一模试卷及答案

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    这是一份2021届北京市东城区高三数学一模试卷及答案,共11页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    
    高三数学一模试卷
    一、单项选择题
    1.集合 ,那么 〔    〕
    A.                              B.                              C.                              D. 



    2.在复平面内,复数 对应的点位于〔    〕
    A. 第一象限                           B. 第二象限

                               C. 第三象限                           D. 第四象限



    3.某中学高一、高二和高三各年级人数见下表.采用分层抽样的方法调查学生的健康状况,在抽取的样本中,高二年级有20人,那么该样本中高三年级的人数为〔    〕
    年级
    人数
    高一
    550
    高二
    500
    高三
    450
    合计
    1500
    A. 18                                         B. 22                                         C. 40                                         D. 60



    4.某四棱锥的三视图如下列图,该四棱锥的体积为〔    〕

    A.                                          B. 9                                         C.                                          D. 27



    5.圆 截直线 所得弦的长度为1,那么k的值为〔    〕
    A.                                          B.                                          C. 1                                         D. 



    6.函数 ,那么不等式 的解集为〔    〕
    A.                                     B.                                     C.                                     D. 



    7.“ 〞是“ 〞成立的〔    〕
    A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件

             C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件



    8.宽与长的比为 的矩形叫做黄金矩形.它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中,令人赏心悦目.在黄金矩形 中, ,那么 的值为〔    〕
    A.                                   B.                                   C. 4                                  D. 



    9.椭圆 的右焦点F与抛物线 的焦点重合,P为椭圆 与抛物线 的公共点,且 轴,那么椭圆 的离心率为〔    〕
    A.                                    B.                                    C.                                    D. 



    10.如图,将线段 用一条连续不间断的曲线 连接在一起,需满足要求:曲线 经过点B , C , 并且在点B , C处的切线分别为直线 ,那么以下说法正确的选项是〔    〕

    A. 存在曲线 满足要求


    B. 存在曲线 满足要求


    C. 假设曲线 和 满足要求,那么对任意满足要求的曲线 ,存在实数 ,使得


    D. 假设曲线 和 满足要求,那么对任意实数 ,当 时,曲线 满足要求



    二、填空题
    11.的展开式中, 的系数为________.(用数字作答)
    12.函数 ,其中x和 局部对应值如下表所示:


    0




    -2

    -2
    2

    那么 ________.
    A是非空数集,假设对任意 ,都有 ,那么称A具有性质P.给出以下命题:
    ①假设A具有性质P , 那么A可以是有限集;
    ②假设 具有性质P , 且 ,那么 具有性质P;
    ③假设 具有性质P , 那么 具有性质P;
    ④假设A具有性质P , 且 ,那么 不具有性质P.
    其中所有真命题的序号是________.
    14.双曲线 经过点 ,那么m的值为________,C的渐近线方程为________.
    15. 为等比数列, ,那么 的公比为________,数列 的前5项和为________.
    三、解答题
    16.如图,在长方体 中,四边形 是边长为1的正方形, ,M , N分别为 的中点.

    〔1〕求证: 平面 ;
    〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
    17.在 中, , ,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为,求:
    〔1〕的值;
    〔2〕角 的大小和 的面积.
    条件①: ;条件②: .
    注:如果选择条件①、条件②分别解答,按第一个解答计分.
    18.小明同学两次测试成绩(总分值100分)如下表所示:

    语文
    数学
    英语
    物理
    化学
    生物
    第一次
    87
    92
    91
    92
    85
    93
    第二次
    82
    94
    95
    88
    94
    87
    〔1〕从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科,求该科成绩大于90分的概率;
    〔2〕从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科,记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量,求X的分布列和数学期望 ;
    〔3〕现有另一名同学两次测试成绩(总分值100分)及相关统计信息如下表所示:

    语文
    数学
    英语
    物理
    化学
    生物
    6科成绩均值
    6科成绩方差
    第一次








    第二次








    将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩,这6科总评成绩的方差为 .有一种观点认为:假设 ,那么 .你认为这种观点是否正确?(只写“正确〞或“不正确〞)
    19.函数 ,其中 .
    〔1〕当 时,求 的单调区间;
    〔2〕假设曲线 在点 处的切线与y轴的交点为 ,求 的最小值.
    20.椭圆 过点 ,且焦距为 .
    〔1〕求椭圆C的方程;
    〔2〕过点 的直线l(不与x轴重合)与椭圆C交于P , Q两点,点T与点Q关于x轴对称,直线 与x轴交于点H , 是否存在常数 ,使得 成立,假设存在,求出 的值;假设不存在,说明理由.
    21.设 为正整数,假设 满足:① ;②对于 ,均有 ;那么称 具有性质 .对于 和 ,定义集合 .
    〔1〕设 ,假设 具有性质 ,写出一个及相应的 ;
    〔2〕设 和 具有性质 ,那么 是否可能为 ,假设可能,写出一组 和 ,假设不可能,说明理由;

    答案解析局部
    一、单项选择题
    1.【解析】【解答】由题意,集合 ,可得 .
    故答案为:C.

    【分析】进行并集的运算即可。
    2.【解析】【解答】因为 ,
    所以 对应的点为 ,它位于第二象限.
    故答案为:B

    【分析】 把的等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,得到  在复平面内对应点的坐标得答案.
    3.【解析】【解答】设该样本中高三年级的人数为 人,
    根据分层抽样的概念及方法,可得 ,解得 人.
    故答案为:A.

    【分析】 先计算出总体中高二年级与高三年级的比例,那么有分层抽样的特点进行求解即可.
    4.【解析】【解答】由三视图可知,该四棱锥的底面为边长为 的正方形,高为 ,如图:
     
    所以该四棱锥的体积为 .
    故答案为:B

    【分析】 利用三视图判断几何体的形状,然后通过三视图的数据求解几何体的体积.
    5.【解析】【解答】圆 的圆心为 ,半径 ,
    圆心 到直线 的距离 ,
    由 得 ,得 ,
    又因为 ,所以 .
    故答案为:D

    【分析】 先由点到直线的距离公式,求得圆心〔0,0〕到直线的距离,再由弦长公式,即可得解.
    6.【解析】【解答】作出函数 与 的图象:

    由图可知:不等式 的解集为 .
    故答案为:C

    【分析】作出函数 与 的图象,由图可知  的解集 。
    7.【解析】【解答】由题意,利用对数函数性质可知: ,故必要性成立,而 ,但不能确定 是否小于0,小于0时函数无意义,故 不能推出 ,故充分性不成立,所以“ 〞是“ 〞的必要而不充分条件.
    故答案为:B.

    【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
    8.【解析】【解答】由 , ,解得:
    如下列图,建立直角坐标系,那么 , , ,

    那么 , ,
    故答案为:C

    【分析】 由黄金矩形ABCD的定义,可得AB,再由勾股定理和向量数量积的定义,计算可得所求值.
    9.【解析】【解答】由 得 ,
    不妨设 在第一象限,因为 轴, ,所以 ,
    又在椭圆 中, ,
    所以 ,即 ,所以 ,
    所以 ,所以 ,
    所以 ,所以 ,
    整理得 ,解得 或 〔舍〕,
    故答案为:A

    【分析】 不妨取点P在第一象限,得其坐标,并代入椭圆C的方程,可得, , 解方程可得   的离心率。
    10.【解析】【解答】由图知点 ,所以直线AB的方程为 ,直线CD的方程为 ,
    所以 ,
    对于A:曲线 的导函数为 ,由图象知当 时, ,当 时, ,代入 中得解:
    ,所以 ,而 ,所以点 不在曲线上,A不正确;
    对于B:曲线 的导函数为 ,
    当 时, ,当 时, ,代入 得
    ,即 ,又由 ,得 ,方程组中a , b不可解,B不正确;
    对于C:根据条件存在无数个多项式函数满足题意,但多项式之间不一定有线性关系,C不正确;
    对于D:当 时,有 ,即 ,故当 时,曲线 满足要求,D符合题意,
    故答案为:D.

    【分析】 利用题中给出的图形,分析可知y=f〔x〕需满足f〔1〕=3,f'〔1〕=-1,f〔2〕=1,然后依次对四个选项进行分析判断即可.
    二、填空题
    11.【解析】【解答】 的展开式的通项公式为 , ,
    令 ,得 ,
    所以 的系数为 .
    故答案为:5

    【分析】 求出展开式的通项公式,令x的指数为2,由此即可求解.
    12.【解析】【解答】由题意可得 ,即 ,
    所以 ,所以 ,
    又因为 ,所以 ,所以 .
    故答案为:4.

    【分析】 结合函数图象上的点的坐标,代入后结合同角平方关系可求A.
    13.【解析】【解答】对于①,取集合 具有性质P , A可以是有限集,故①正确;
    对于②,取 ,那么 , , , ,又 具有性质P , , , ,所以 具有性质P , 故②正确;
    对于③,取 , , , ,但 ,故③错误;
    对于④,假设 具有性质P , 即对任意 ,都有 ,即对任意 ,都有 ,举反例 ,取 , ,但 ,故假设不成立,故④错误;
    故答案为:①②

    【分析】 根据中的性质P,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案.
    14.【解析】【解答】由题意,双曲线 经过点 ,可得 ,解得 ,
    即双曲线的方程为 ,那么其渐近线的方程为 .
    故答案为:4;y=±2x.

    【分析】 利用双曲线经过的点,求解m,然后求解双曲线方程,得到渐近线方程即可.
    15.【解析】【解答】设等比数列 的公比为 ,
    因为 ,可得 ,解得 ;
    又由 ,且 ,所以数列 构成首项为1,公比为2的等比数列,
    那么数列 的前5项和为 .
    故答案为: ;31.

    【分析】 根据题意,设的公比为q,由等比数列的通项公式可得,解可得q的值,由等比数列的性质可得数列是首项, 公比为的等比数列,据此计算可得答案.
    三、解答题
    16.【解析】【分析】 〔1〕取AC的中点O,连结OM,ON,先证明OM∥CD,   ,再证明   ,   ,从而证明   ,利用线面平行的判定定理证明即可;
    〔2〕建立适宜的空间直角坐标系,求出所需点的坐标和向量的坐标,利用待定系数法求出平面   的法向量,由向量的夹角公式求解即可.
    17.【解析】【分析】 选条件①:〔1〕利用余弦定理的应用求出结果;〔2〕利用三角函数关系式的变换,正弦定理和三角形的面积求出结果;
    选条件②时,〔1〕利用三角函数的角的变换和正弦定理的应用求出结果;〔2〕利用三角函数的角的变换和三角形的面积公式的应用求出结果.
    18.【解析】【分析】 〔1〕由表中的数据可得,小明同学第一次测试的6科中,由4科成绩大于90分,利用古典概型的概率公式求解即可;
    〔2〕首先确定X的可能取值,然后求出对应的概率,列出分布列,由数学期望的计算公式求解期望即可;
    〔3〕通过方差含义进行分析即可.
     
     
    19.【解析】【分析】〔1〕 由题意,函数  ,可得   , 当  时, ,根据导数的符号即可求出  的单调区间;
    〔2〕 由〔1〕知  ,可得  , 可得切线方程 , 令  ,可得  , 根据导数的符号即可求出  的单调区间,进而求出  的最小值 。
     
     
    20.【解析】【分析】 〔1〕椭圆C过点D〔-2,0〕,且焦距为 ,列方程组,解得a,b,c,即可得出答案.
    〔2〕“存在常数λ,使得|AD|•|DH|=λ〔|AD|-|DH|〕成立“等价于“存在常数λ,使得   成立〞,即“存在常数λ,使得  成立〞,联立直线与椭圆的相交问题,结合韦达定理可得x1+x2 , x1x2 , 即可得出答案.
    21.【解析】【分析】 〔1〕此题属于新定义类型题,可根据题意举例进行直接进行求解;
    〔2〕利用反证法进行求解即可。

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