2021届福建省厦门市高三下学期数学第一次质量检测试卷及答案

这是一份2021届福建省厦门市高三下学期数学第一次质量检测试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学第一次质量检测试卷
一、单项选择题
1.复数z满足 ，那么复数z在复平面内对应的点位于〔    〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
2.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
3.“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
4. 是定义在R上的奇函数，当 时， ， 〔    〕
A. -2                                          B. 2                                          C. -4                                          D. 4
5.铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，那么此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是〔    〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
6.某地居民在2021年“双十一〞期间的网上购物消费额ξ〔单位：千元〕服从正态分布 ，那么该地某居民在2021年“双十一〞期间的网上购物消费额在 内的概率为〔    〕
附：随机变量ξ服从正态分布 ， ， 0.9545， ．
A. 0.9759                                 B. 0.8186                                 C. 0.73                                 
7.函数 ， 的局部图象如以下列图，且 ，现将 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，那么 在区间 上的值域是〔    〕

A.                            B.                            C.                            D. 
8.双曲线 的中心为O ， 圆 与双曲线C的一条渐近线交于P ， Q两点．假设 ，那么双曲线C的离心率为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
二、多项选择题
9.向量 ， ，以下说法正确的有〔    〕
A. 假设 ，那么                                       B. 假设 ，那么 与 夹角的正弦值为
C. 假设 ，那么                                    D. 假设 ，那么 或16
10.某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y〔微克〕与时间t〔小时〕之间的关系近似满足如以下列图的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，那么〔    〕

A. 
B. 注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C. 注射该药物
D. 注射一次治疗该病的有效时间长度为 时
11.素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆〔Sundaram ， 1934〕素数筛法矩阵：
4
7
10
13
16
19
…
7
12
17
22
27
32
…
10
17
24
31
38
45
…
13
22
31
40
49
58
…
16
27
38
49
60
71
…
19
32
45
58
71
84
…
…
…
…
…
…
…
…
其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数n出现在矩阵中，那么 一定是合数，反之如果正整数n不在矩阵中，那么 一定是素数，下面结论中为真命题的有〔    〕
A. 第4行第10列的数为94                                        B. 第7行的数构成公差为15的等差数列
C. 592不会出现在此矩阵中                                     D. 第10列中前10行的数之和为1255
12.函数 ， ，假设函数 有3个不同的零点 ， ， ，且 ，那么 的取值可以是〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
三、填空题
13. ， ， ，那么 的最小值为________．
14.有8名大学生到甲、乙、丙三所学校去支教，每名大学生只去一所学校，假设甲学校需要2名，乙学校需要2名，丙学校需要4名．那么不同安排方法的种数为________．〔用数字作答〕
15.直线 与抛物线 相交于A ， B两点，抛物线的焦点为F ， ________．
16.三棱锥 的四个顶点A ， B ， C ， D均在球O的球面上， ， 是边长为4的等边三角形，M ， N分别是 ， 的中点， ，那么 ________，球O的外表积是________．

四、解答题
17.在① ，② 是 与 ，的等比中项，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：数列 的前n项和为 ， ，且满足  ▲  ， 假设 ，求使不等式 成立的最小正整数n ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.a ， b ， c分别为 三个内角A ， B ， C的对边，且 ．
〔1〕假设 ， 的面积为3，求b与c；
〔2〕假设 ，求C．
工程〔PISA〕，是经济合作与开展组织〔OECD〕举办的，该工程的内容是对15岁学生的阅读、数学、科学能力进行评价研究．在2021年的79个参测国家〔地区〕的抽样测试中，中国四省市〔北京、上海、江苏、浙江作为一个整体在所有参测国家〔地区〕取得全部3项科目中第一的好成绩，某机构为了分析测试结果优劣的原因，从参加测试的中国学生中随机抽取了200名参赛选手进行调研，得到如下统计数据：

成绩优秀
成绩一般
总计
家长高度重视学生教育
90
x
y
家长重视学生教育度一般
30
z

总计
120
80
200
假设从上表“家长高度重视学生教育〞的参测选手中随机抽取一人，那么选到的是“成绩一般〞的选手的概率为 ．
〔1〕判断是否有99.9%的把握认为“学生取得的成绩情况〞与“家长对学生的教育重视程度〞有关；
〔2〕现从成绩优秀的选手中按照分层抽样的方法抽取20人．进行“家长对学生情感支持〞的调查，再从这20人中抽取3人进行“学生家庭教育资源保障〞的调查．记进行“学生家庭教育资源保障〞调查中抽取到“家长高度重视学生教育〞的人数为X ， 求X的分布列和数学期望．
附 ， ．
P〔K2≥k0〕






k0






20.如图，在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧面 底面 ， ， ， ， ．

〔1〕证明： 平面 ．
〔2〕当直线 与平面 所成的角最大时，求二面角 的余弦值．
21.椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， ，且 ．
〔1〕求 的方程．
〔2〕假设 ， 为 上的两个动点，过 且垂直 轴的直线平分 ，证明：直线 过定点．
22.函数 ．
〔1〕讨论 的单调性．
〔2〕假设 ，证明： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ．
故点 在第三象限．
故答案为：C．

【分析】 将复数z表示出来，然后分子分母同乘分母的共轭复数,化简即可求出所求.
2.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ．
故答案为：A

【分析】化简集合A,B，再根据并集的定义进行运算可得答案。
3.【解析】【解答】因为 或 ，
，
〞不能推出“ 〞，“ 〞能推出 〞
所以“ 〞是“ 〞的必要不充分条件．
故答案为：B.

【分析】 根据不等式的解法求出不等式的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
4.【解析】【解答】解： 是定义在 上的奇函数，又当 时， ，
，
，
当 时， ，
，
故答案为：A.

【分析】 根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，结合函数的解析式求出t的值,进而可得f (6)的值，由函数奇偶性的性质分析可得答案.
5.【解析】【解答】如图，设O为内切圆的圆心r为内切圆的半径．由 ． ， ，得 ，解得 ．

故答案为：B

【分析】根据多边形内切圆的特点，可得答案。
6.【解析】【解答】因为ξ〔单位：千元〕服从正态分布 ．所以 ， ．
那么
．
故答案为：B.

【分析】由可得， ， 然后结合与原那么求解。
7.【解析】【解答】设 的最小正周期为T ， 由题图可知 ，所以 ， ．
当 时， ．即 ，所以 ．
因为| ，所以 ． ，所以 ．
又 ．所以 ，
从而 ．
当 时， ，所以 ．
得 ．
故答案为：D

【分析】 由周期求出， 由五点法作图求出φ的值，由特殊点的坐标求出A,可得f (x)的解析式,再利用函数    的图象变换规律求得g (x)的解析式,利用正弦函数的定义域和值域，求出g(x)在区间 上的值域.
8.【解析】【解答】如图，由 ，得 ．由圆
，
得 为双曲线C的右顶点．过点M作 ，垂足为N ，
那么点 到渐近线 的距离 ．因为圆M的半径为b ，
所以 ．由 ，可得 ．
又因为 ．所以 ，整理得 ，
所以 ，即 ．故双曲线的离心率为 ．
故答案为：C

【分析】 由题意画出图形,由向量等式可得， 进一步得到， 再由点到直线的距离公式及勾股定理列式求解双曲线的离心率.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对A，因为 ．所以 ．解得 ，A不符合题意；
对B，假设 ，那么 ， ， ，那么 ，B符合题意；
对C，因为 ．所以 ，解得 ，C不符合题意；
对D，因为 ，所以 ，解得 或16，D符合题意．
故答案为：BD.

【分析】根据题意，逐项进行判断，可得答案。
10.【解析】【解答】由函数图象可知 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
，故 正确，
药物刚好起效的时间，当 ，即 ，
药物刚好失效的时间 ，解得 ，
故药物有效时长为 小时，
药物的有效时间不到6个小时，故 错误， 正确；
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 微克，故 错误，
故答案为：AD．

【分析】根据题意得由函数图象可知 ，然后逐项分析各个选项可得答案。
11.【解析】【解答】根据题意，第 行的等差数列的公差为 ，第 列的等差数列的公差等于 ，设 表示第 行第 列的数，
因为第4行的数构成了以13为首项，9为公差的等差数列，所以 ，A正确；
因为第7行的第1个数为22，第2个数为37，所以公差为15，B正确；
按照题意，如果592不会出现在此数阵中，那么 是素数，而 是合数，所以592会出现在此矩阵中，C错误；
第10列中前10行的数构成以 为首项，公差为21的等差数列，其和为 ，D正确．
故答案为：ABD．

【分析】 利用图中数阵给出的信息，第 行的等差数列的公差为 ，第 列的等差数列的公差等于 ，由此依次判断四个选项的正误即可.
12.【解析】【解答】 ，
令 ，解得 ，
当 时，函数 ，函数 单调递减，
当 时，函数 ，函数 单调递增，
的极小值为 ，
，
令 ，
，那么 ，
即 ，解得方程两根为 和 ，
函数 的零点即方程 和 的根，
函数 有3个不同的零点需满足：
当 时， ， 且 ， ，
；
当 时， ， 且 ，
， ，
综上： 的范围为 ， ， ．
结合选项可得， 的取值可以是CD．
故答案为：CD．

【分析】 先利用导数和函数极值的关系求出函数f(x)的极小值，再令t=f(x)，可得,求出方程的根即为函数 的零点即方程 和 的根，再分类讨论即可求出的范围，结合选项得答案.
三、填空题
13.【解析】【解答】
，
，当且仅当 即 时取等号
所以 ．
故答案为:

【分析】 利用“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出.
14.【解析】【解答】根据题意，分3步进行分析：
①在8名大学生中任选2人，安排到甲校，有 种安排方法，
②在剩下的6人中任选2人，安排到乙校，有 种安排方法，
③将最后的4人安排到丙学校，有1种安排方法，
那么有 种安排方法，
故答案为：420．

【分析】 根据题意，分3步进行分析:①在8名大学生中任选2人，安排到甲校,②在剩下的6人中任选2人，安排到乙校,③将最后的4人安排到丙学校,由分步计数原理计算可得答案.
15.【解析】【解答】联立方程组 ，消去x得 ．
设 ， ．那么 ， ．
因为抛物线的焦点为 ．
所以
．
故答案为：-83.

【分析】设 ， ，联立方程组 ，消去x得  ，利用韦达定理可得， ，再由数向量数量积的运算可得答案。
16.【解析】【解答】由题意可知 为正三棱锥，取 中点 ，连接 ， ，
所以 ， ，且 ，
所以 平面 ，
所以 ，
又 、 分别为 、 的中点，可得 ，
而 ，所以 ，而 ，
所以 ，即 是等腰直角三角形，
因为斜边 ，所以 且两两垂直，
那么 为以 为顶点的正方体一局部，
所以 ，即 ，
所以球 的外表积是 ．
故答案为： ， ．

【分析】 利用条件可知A-BCD为正三棱锥，结合DM⊥MN可得AC⊥面ABD，即可知△ABC是等腰直角三角形，可得且两两垂直，借助于正方体的外接球，即可求出三棱锥的外接球的外表积.
四、解答题
17.【解析】【分析】 选①，由 得  是首项为1，公差为1的等差数列 ，可得 ， ，根据列项相消法可求得； 选② ，由  是  与  的等比中项 ， 当  时， ， 整理得  ， ，  ，根据列项相消法可求得；
选③，由题设可得 ， 进一步整理得   ， 得
 是首项为1．公差为2的等差数列，所以   ， ，根据列项相消法可求得。
18.【解析】【分析】 (1)由结合正弦定理及余弦定理进行化简可求A，然后结合三角形的面积公式即可求解b,c；
(2)由结合和差角公式进行化简可求 ， 然后结合特殊角的三角函数值即可求解.
 
 
19.【解析】【分析】 (1)利用对立事件的概率，可求出家长高度重视孩子成绩一般的人数,再利用独立性检验公式即可解出;
(2)由题意分析可知X的取值可以是0, 1, 2,3,分别计算出对应的概率，即可解出.
 
 
20.【解析】【分析】 (1)推出 ， 由平面  平面 可得  平面 ， 进而得 ， 根据直线与平面垂直的判定定理证明;
(2) 由〔1〕知   ，    ，   两两垂直，以A为原点，分别以   ，    ，   的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如以下列图的空间直角坐标系   ， 用向量数量积计算直线与平面所成的角和二面角所成角的余弦值.
 
 
21.【解析】【分析】〔1〕由  得 ，由 ，   求得   ，    ，可得  的方程 ；
〔2〕设直线  的方程为   ， 设   ，    ， 由   ， 得   ， 根据韦达定理可得   ，  ，  ，  ， 化简可得   ，得出直线  的方程为 ， 进而得出直线  过定点 。
 
22.【解析】【分析】 (1)  的定义域为   ， 求导得 ， 分两种情况当a≥0时，当a