高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）测试题

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专题31 建立函数模型解决实际问题
考点1 建立函数模型解决实际问题
1.在今年的全国政协、人大两会上，代表们呼吁政府切实关心老百姓看病贵的问题，国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x.已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系是(　　)
A．y＝m(1－x)2
B．y＝m(1＋x)2
C．y＝2m(1－x)
D．y＝2m(1＋x)
【答案】A
【解析】由题意，药品的原价是m元，分两次降价，每次降价的百分率为x，则降价后的价格为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2.
故选A.
2.已知等腰三角形的周长为20cm，底边长ycm是腰长xcm的函数，则此函数的定义域为(　　)
A．(0,10)
B．(0,5)
C．(5,10)
D．[5,10)
【答案】C
【解析】由题意知y＝20－2x，
因为三角形两边之和大于第三边，
所以2x>y，即2x>20－2x，x>5.
又因为y>0，即20－2x>0，
所以x<10.
故5 3.某个体户在进一批服装时，进价是原标价的75%.现打算对该服装定一个新标价在价目表上，并注明按新价降低20%销售，这样，仍可获得25%的纯利，求该个体户给这批服装定的新标价与原标价之间的函数关系式．
【答案】设原标价为x元/件，新标价为y元/件，
则有1-20%y-75%x75%x＝25%，
化简得y＝7564x(x>0)．
考点2 函数拟合问题
4.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图．那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？(　　)

A．指数函数：y＝2t
B．对数函数：y＝log2t
C．幂函数：y＝t3
D．二次函数：y＝2t2
【答案】A
【解析】由题意知函数的图象在第一象限是增函数，并且增长较快，且图象过(2,4)点，
∴图象由指数函数y＝2t来模拟比较好，
故选A.
5.今有一组实验数据如表所示：

则体现这些数据关系的最佳函数模型是(　　)
A．u＝log2t
B．u＝2t－2
C．u＝t2-12
D．u＝2t－2
【答案】C
【解析】由散点图可知，图象不是直线，排除D；
图象不符合对数函数的图象特征，排除A；
当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，t2-12＝32-12＝4，
由表格知当t＝3时，u＝4.04，模型u＝t2-12能较好地体现这些数据关系．故选C.

6.以下是三个变量y1、y2、y3随变量x变化的函数值表：

其中关于x呈指数函数变化的函数是________．
【答案】y1
【解析】从题表格可以看出，三个变量y1、y2、y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.

7.辽宁号航母纪念章从2012年10月5日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：

(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx；
(2)利用你选取的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
【答案】(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴y＝ax2＋bx＋c.
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)代入y＝ax2＋bx＋c中，
得16a+4b+c=90，100a+10b+c=51，1296a+36b+c=90，
解得a＝14，b＝－10，c＝126.
∴y＝14x2－10x＋126＝14(x－20)2＋26，
∴当x＝20时，ymin＝26.
即上市20天时，市场价最低，为26元．
8.某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某名牌衣服1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测当年每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模型模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可选用函数y＝p·qx＋r(其中p，q，r为常数)或二次函数．又已知当年4月份该产品的产量为1.36万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．
【答案】设y1＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
依题意得f1＝a＋b＋c=1，f2＝4a＋2b＋c=1.2，f3＝9a＋3b＋c=1.3，
解得a=-0.05，b=0.35，c=0.7.
y1＝f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，
故f(4)＝1.3.
设y2＝g(x)＝p·qx＋r，
依题意得g1＝p·q＋r=1，g2＝p·q2＋r=1.2，g3＝p·q3＋r=1.3，
解得p=-0.8，q=0.5，r=1.4.
y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，
故g(4)＝1.35.
由以上可知，函数y2＝g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数较好．
9.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈持续上涨趋势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：
①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q>1)．
(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)；
(2)若f(0)＝4，f(2)＝6，求出所选函数f(x)的解析式．(注：函数定义域是[0,5]．其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，…，以此类推)
【答案】(1)根据题意，应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.
(2)由f(0)＝4，f(2)＝6，得p=4，2-p2=1⇒p=4，q=3.
∴f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．
10.20世纪90年代，气候变化专业委员会向政府提供的一项报告指出：全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2体积分数增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2体积分数分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟20世纪90年代中每年CO2体积分数增加的可比单位数y与年份增加数x(即当年数与1989的差)的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝abx＋c(其中a，b，c为常数，且b＞0，b≠1)．
(1)根据题中的数据，求f(x)和g(x)的解析式；
(2)如果1994年大气中的CO2体积分数比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．
【答案】(1)根据题中的数据，得
p+q+r=1，4p+2q+r=3，9p+3q+r=6和ab+c=1，ab2+c=3，ab3+c=6，
解得p=12，q=12，r=0和a=83，b=32，c=-3，
∴f(x)＝12x2＋12x，g(x)＝83·(32)x－3.
(2)∵f(5)＝15，g(5)＝17.25,f(5)更接近于16，
∴选用f(x)＝12x2＋12x作为模拟函数较好．
11.某跨国饮料公司对所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5—8千美元的地区销售该公司M饮料的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升)，用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；
A．f(x)＝ax2＋bx；B.f(x)＝logax＋b；C.f(x)＝ax＋b；D.f(x)＝xα＋b.
(2)当人均GDP为1千美元时，年人均M饮料的销量为2升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为5升；把你所选的模拟函数求出来；
(3)因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于6千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据(2)所求出的模拟函数，求在各个地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？
【答案】(1)因为B，C，D表示的函数在区间[0.5,8]上是单调的，所以用A来模拟比较合适．
(2)因为当人均GDP为1千美元时，年人均M饮料的销售量为2升；当人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销售量为5升，把x＝1，y＝2；x＝4，y＝5代入函数f(x)＝ax2＋bx，得2=a+b，5=16a+4b，解得a=-14，b=94，
所以所求函数的解析式为
f(x)＝－14x2＋94x(x∈[0.5，8])．
(3)根据题意可得
y＝－1980[(x－92)2－814]在[0.5,3]上是增函数，
则当x＝3时，ymax＝17140；
当x∈(3,6)时，y＝－940[(x－92)2－814]，92∈(3,6)，则当x＝92时，ymax＝729160；
y＝－1980[(x－92)2－814]在[6,8]上是减函数，
则当x＝6时，ymax＝17140；
显然729160>17140，
所以在人均GDP为4.5千美元的地区，年人均M饮料的销量最多，为729160升．
考点3 函数模型的综合应用
12.某汽车销售公司在A、B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元
【答案】C
【解析】设利润为y，则y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－212)2＋32＋44.14，当x＝10或x＝11时，有最大利润y＝43.
13.某种新药服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　)

A．上午10∶00
B．中午12∶00
C．下午4∶00
D．下午6∶00
【答案】C
【解析】当x∈[0,4]时，设y＝k1x，
把(4,320)代入，得k1＝80，∴y＝80x.
当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b.
把(4,320)，(20,0)代入，得4k2+b=320，20k2+b=0，
解得k2=-20，b=400，
∴y＝400－20x.
∴y＝f(x)＝80x，0≤x≤4，400-20x，4 由y≥240，
得0≤x≤4，80x≥240或4 解得3≤x≤4或4 ∴3≤x≤8.
故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C.
14.如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地(图中ABCD)的围墙，且要求中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFDC为正方形，设AB＝x米，已知围墙(包括EF)的修建费用均为每米800元，设围墙(包括EF)的修建总费用为y元．
(1)求出y关于x的函数解析式；
(2)当x为何值时，围墙(包括EF)的修建总费用y最小？并求出y的最小值．

【答案】(1)设AD＝t米，则由题意得xt＝600，且t>x，
故t＝600x>x，可得0 则y＝800(3x＋2t)＝800(3x＋2×600x)＝2400(x＋400x)，
所以y关于x的函数解析式为y＝2400(x＋400x)(0 (2)y＝2400(x＋400x)，
由对勾函数的性质知，当x＝400x，即x＝20时，y有最小值，最小值为96000元．
15.某地需要修建一条大型输油管道通过240公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2＋x)万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小，其最小值为多少？
【答案】(1)设需要修建k个增压站，则(k＋1)x＝240，即k＝240x－1.
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)＝400(240x－1)＋240x(x2＋x)＝96000x＋240x－160.
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240.
故y与x的函数关系是y＝96000x＋240x－160(0＜x≤240)．
(2)y＝96000x＋240x－160，
由对勾函数的性质知，当96000x＝240x，即x＝20时y有最小值．
此时，k＝240x－1＝24020－1＝11.
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．
16.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，1cm厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝k3x+5(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．
【答案】(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，∴C(x)＝403x+5.
∴f(x)＝6x＋20×403x+5＝6x＋8003x+5(0≤x≤10)．
(2)f(x)＝2(3x＋5)＋8003x+5－10，
设3x＋5＝t，t∈[5,35]，∴y＝2t＋800t－10，
由对勾函数的性质知，当2t＝800t，即t＝20时，y有最小值．
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
即隔热层修建5cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元．
17.某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额x在9万元以下，没有奖金；
②年销售额x(万元)，当x∈[9,81]时，奖金为y(万元)，y＝logax，y∈[2,4]，且年销售额x越大，奖金越多；
③年销售额超过81万元，按5%(x－1)发奖金(年销售额x万元)．
(1)求奖金y关于x的函数解析式；
(2)某营销人员争取年奖金3≤y≤10(万元)，则年销售额x在什么范围内？
【答案】(1)∵y＝logax在[9,81]上是增函数，
∴loga9＝2，∴a＝3.
经验证log381＝4符合题意，
∴y＝00≤x<9，log3x9≤x≤81，5%x－1x>81.
(2)∵3≤y≤10，∴3≤log3x≤4，
∴27≤x≤81.
∵4<120(x－1)≤10，
∴81＜x≤201，∴27≤x≤201.
所以年销售额x的取值范围为[27,201]万元．
18.南博汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明，当销售单价为29万元时，每周平均售出8辆汽车；当每辆汽车每降价0.5万元时，平均每周能多售出4辆汽车，如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】　(1)∵y＝29－25－x，
∴y＝－x＋4(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
(2)z＝(8＋x0.5×4)y
＝(8x＋8)(－x＋4)
＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32
＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4，x＝0.5n，n∈N)．
故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5(万元)时，有最大利润，最大利润为50万元．
19.“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的学习时间，假设“学习曲线”符合函数t＝5log2(NB)(B为常数)，N(单位：字)表示某一英文词汇量水平，t(单位：天)表示达到这一英文词汇量所需要的学习时间．
(1)已知某人学习达到40个词汇量，需要10天，求他的学习曲线解析式；
(2)他学习几天能掌握160个词汇量；
(3)如果他学习时间大于30天，他的词汇量情况如何．
【答案】　(1)把t＝10，N＝40代入t＝5log2(NB)，
得10＝5log2(40B)，解得B＝10，
所以t＝5log2(N10)(N>0)．
(2)当N＝160时，t＝5log2(16010)＝5log216＝20.
(3)当t>30时，5log2(N10)>30，
解得N>640，所以当学习时间大于30天时，他的词汇量大于640个．
20.手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，计费时间均取整数，不足1分钟的按1分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．
(1)12月份小王手机上网使用量为20小时，要付多少钱？
(2)小周10月份付了90元的手机上网费，那么他上网的计费时间是多少？
(3)电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？
【答案】设上网时间为x分钟，用[x]表示不小于x的最小整数，由已知条件知，所付费用y关于x的函数解析式为
y＝0，0≤x<1，0.5x，1≤x≤60，30，60500.
(1)当x＝20×60＝1200(分钟)，即当x>500时，
应付费y＝30＋0.15×(1200－500)＝135(元)．
(2)90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，
∴30＋0.15×([x]－500)＝90，
解得[x]＝900，所以他上网的计费时间为900分钟．
(3)令60＝30＋0.15([x]－500)，解得[x]＝700.
故当一个月经常上网(一个月上网计费时间超过700分钟)时，选择电脑上网，而当一个月短时间上网(一个月上网计费时间不超过700分钟)时，选择手机上网．