2021届广东省广州市天河区高三数学三模试卷及答案

这是一份2021届广东省广州市天河区高三数学三模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学三模试卷
一、单项选择题
1.设复数 、 在复平面内对应的点关于实轴对称，假设 ，那么 〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 
2.集合 ，假设 ，那么所有 的取值构成的集合为〔    〕
A.                                 B.                                 C.                                 D. 
3. ，那么 〔    〕
A. -3                                          B. -2                                          C. 2                                          D. 3
4.假设 的展开式中 的系数为 ，那么 〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
5.函数 ，那么 的大致图像为〔    〕
A.                                          B. 
C.                                          D. 
6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，那么这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为〔   〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
7.设O为坐标原点，过拋物线 的焦点F的直线交拋物线于A，B两点， 为线段AB的中点，那么〔    〕
A. 以线段AB为直径的圆与直线 相切        B. 
C. 当 时，                               D. 三角形ABO的面积最小值为4
8.假设 ，那么〔    〕
A.                               B. 
C.                               D. 
二、多项选择题
9.以下命题正确的选项是〔    〕
A. 两个随机变量的线性相关性越强，那么相关系数的绝对值越接近于1
B. 对具有线性相关关系的变量x､y，有一组观测数据 ，其线性回归方程是 ，且 ，那么实数 的值是
C. 样本数据 的方差为4，那么 的标准差是4
D. 随机变量 ，假设 ，那么
10.关于空间两条不同直线 和两个不同平面 ，以下命题正确的选项是〔    〕
A. ，那么                                     B. ，那么
C. ，那么                       D. ，那么
11.在平面直角坐标系 中，双曲线 的离心率为 ，B分别是双曲线C的左，右顶点，点P是双曲线C的右支上位于第一象限的动点，记 ， 的斜率分别为 ，那么〔    〕
A. 双曲线C的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线C的方程为
B. 双曲线C的渐近线方程为
C. 为定值
D. 存在点P，使得
12.将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 为奇函数                                                    B. 
C. 当 时， 在 上有4个极值点      D. 假设 在 上单调递增，那么ω的最大值为5
三、填空题
13.，那么 的值为________．
14.函数 的值域为 ，那么 的定义域可以是________．(写出一个符合条件的即可)
15.某校学生参加社会劳动实践活动，把一个半径为R的球形钢材切削成一个圆锥，当圆锥h的体积最大时，高为h，那么 ________．
16.1904年，瑞典数学家科赫构造了一种曲线．如图①，取一个边长为1的正三角形，在每个边上以中间的 为一边，向外侧凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的 擦掉，得到第2个图形(如图②)，重复上面的步骤，得到第3个图形(如图③)．这样无限地作下去，得到的图形的轮廓线称为科赫曲线．云层的边缘，山脉的轮廓，海岸线等自然界里的不规那么曲线都可用“科赫曲线〞的方式来研究，这门学科叫“分形几何学〞．那么第5个图形的边长为________；第n个图形的周长为________．

四、解答题
17.在 中，角 所对的边分别是 ， ．
〔1〕求角A的值；
〔2〕假设 的面积 ，求 的值
18.正项数列 和 为数列 的前 项和，且满足 ，
〔1〕分别求数列 和 的通项公式；
〔2〕将数列 中与数列 相同的项剔除后，按从条到大的顺序构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，求 ．
19.工厂经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有某甲､乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸x(单位：mm)，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足： 为一级品， 为二级品， 为三级品

〔1〕现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，假设从这40件产品中随机抽取2件产品，记Y为这2件产品中一级品的个数，求Y的分布列和数学期望；
〔2〕为增加产量，工厂需增购设备，这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一､二､三级品的概率分别是 ，假设将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以工厂的利润作为决策依据，应选购哪种设备，请说明理由．
20.如图，在棱柱 中，底面 为平行四边形， ， ，且 在底面上的投影 恰为 的中点．

〔1〕过 作与 垂直的平面 ，交棱 于点 ，试确定点 的位置，并说明理由；
〔2〕假设二面角 为 ，求棱柱 的体积．
21.椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆截直线 所得弦长为
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设 为椭圆上一点，假设过点 的直线与椭圆 相交于 两点，且满足 为坐标原点 ，当 时，求实数 的取值范围．
22.函数 ， .
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕假设 恒成立，求实数 的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意可得 ，因此， .
故答案为：A.

【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理再结合题意即可得出答案。
2.【解析】【解答】 时， 满足题意，
时， 得 ，所以 或 ， 或 ，
所求集合为 ．
故答案为：D．

【分析】根据题意由集合之间的关系对a分情况讨论，结合题意即可求出a的所有的值，从而得出a构成的集合。
3.【解析】【解答】因为 .
所以 , ，即 ,
所以 .
故答案为：D

【分析】由向量加、减法的坐标公式以及向量模的坐标公式，再结合数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
4.【解析】【解答】 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，
所以， 的展开式通项为 ，
由 可得 ，由题意可得 ，解得 .
故答案为：B.

【分析】根据题意分别求出和的通项公式，再结合题意得出的通项公式，由此即可得出， 代入通项公式计算出a的值即可。
5.【解析】【解答】解：由 ，得 ，
令 ，那么 ，得 或 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以 为极大值点， 为极小值点，所以排除BD，
因为 时， 且 ，所以排除C，
故答案为：A.

【分析】根据题意求出函数的导函数，令求出x的值结合导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，再由函数的单调性即可求出函数的极值，结合函数的图象对选项逐一判断即可得出答案。
6.【解析】【解答】解：设正方形边长为1，那么从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，

∴所求概率为 = ．
应选：C．
【分析】设正方形边长为1，那么从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有10条线段，4条长度为1，4条长度为 ，两条长度为 ，即可得出结论．
7.【解析】【解答】由题意 ，设直线AB方程为 ，代入抛物线方程得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
，
A．以线段AB为直径的圆的圆心到直线 距离为 ，圆与直线相离，A不符合题意；
B． ，B不符合题意；
C． 时， ，又 ， ，两式联立解得 ，所以 ，C符合题意；
D． ， D不符合题意．
故答案为：C．

【分析】根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合点与直线的距离公式以及直线与圆的位置关系即可判断出选项A错误，由两点间的距离公式解二次函数的性质即可得出选项B错误；由抛物线的定义整理即可判断出乘除C正确；由三角形的面积公式结合距离公式再由二次函数的性质即可判断出选项D错误，由此得出答案。
8.【解析】【解答】 所以f〔x〕是R的偶函数， ．
，
又
又当 ，所以f〔x〕在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
故答案为：C．

【分析】根据题意由偶函数的定义结合对数的运算性质整理得到， 再由条件结合对数函数的性质即可得到， 然后由导函数的性质得出函数的单调性，利用好的的单调性即可比较出大小。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，A符合题意；
B中 ， ，由 得 ，B符合题意；
样本数据 的方差为4，那么数捍 的方差为 ，标准差为4，C符合题意；
随机变量 ，假设 ，那么 ，那么 ，D不符合题意．
故答案为：ABC．

【分析】 根据题意直接利用回归直线的线性相关，回归直线的方程，平均值和方差，正态分布的定义对选项逐一判断即可得出答案。.
10.【解析】【解答】对于A，由线面垂直的性质定理知A选项正确；
B选项中，可能有 ，所以B选项错误；
C选项中，假设 ， 至少有一条直线在 内，显然 成立，假设 ， 都不在 内，在 外取一点O，过O分别做 与 平行，那么由面面垂直，线面垂直的性质，可得 ，即 ，所以C选项正确；
D选项中，满足 ，可能 或 ，所以D选项不正确.
故答案为：AC

【分析】根据题意由平面与直线、平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
11.【解析】【解答】因为双曲线C： (a>0，b>0)的离心率为 ，
所以 ， ，渐近线方程为 ，B不符合题意；
不妨设双曲线的焦点 到 的距离为1，即 ，解得 ，
又 ，故 ，所以双曲线方程为 ，A符合题意；
因为 ，设 ，那么 ，C符合题意；
，因为点P在第一象限，渐近线方程为 ，所以 ，那么 ，所以 ，所以不存在点P，使得 + =1，故错误.
故答案为：AC

【分析】 由离心率公式和点到直线的距离公式，以及双曲线里a、b、c的关系即可得出a与b，求由此得双曲线的方程，可判断A；由双曲线的渐近线方程，可判断B；由直线的斜率公式和点满足双曲线的方程，可判断C；由根本不等式可判断D，由此得出答案。
12.【解析】【解答】∵
∴ ，且 ，
∴ ，即 为奇数，
∴ 为偶函数，A不符合题意.
由上得：ω为奇数，∴ ，B对.
由上得，当 时， ， ,由图像可知 在 上有4个极值点,C对，

∵ 在 上单调，所以 ,解得： ，又∵ ，
∴ω的最大值为5，D对
故答案为：BCD.

【分析】首先由函数平移的性质得出函数的解析式，再由余弦函数的图象和性质对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 .
故答案为：

【分析】利用二倍角的余弦公式整理即可求出， 再由诱导公式整理得出答案即可。
14.【解析】【解答】 ，
令 可得 ，
所以当 或 时， ，当 时， ，
故 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
由此可知定义域可以是 ，
故答案为： 〔答案不唯一〕

【分析】首先对函数求导，令求出x的值再由导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，利用函数的单调性即可求出函数的最值，结合条件即可得出答案。
 
15.【解析】【解答】如图，作出圆锥的轴截面等腰三角形，其外接圆为球的大圆，由图可得 ，

，
圆锥体积为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故答案为： ．

【分析】由条件结合勾股定理即可求出外接圆为球的大圆的半径，整理得到， 然后结合圆锥的体积公式以及根本不等式即可求出最大值，以及去最大值时所对应的， 从而得出答案即可。
16.【解析】【解答】第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的 ,以次类推，…，那么第5个图形的边长为 ;
以—条边为例，原本的一条也被分成了3份，擦去一份，在擦掉的那条边上又衍生出2条，即原本的1条边变成现在的〔3-1)+2=4条，翻了4倍，所以周长之间的关系为 ，所以 是公比为 的等比数列，而首项 ，
所以 .
故答案为： ；

【分析】根据题意由图形的特点即可的 满足的规律，由此计算出第5个图形的边长，结合题意即可得出周长为等比数列，再结合等比数列的通项公式求解出答案即可。
四、解答题
17.【解析】【分析】(1)由条件结合正弦定理以及两角和的正弦公式整理得出sinB， 由此得出cosA的值，从而求出角A的大小。
(2)根据题意由三角形的面积公式整理得出b的值，再由余弦定理和正弦定理代入数值计算出和， 由此得出答案。
18.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前n项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。
(2)由条件即可得出从而求出， 然后由等差数列和等比数列的前n项和公式计算出结果即可。
19.【解析】【分析】(1)根据题意 频率分布直方图中的分组，用分层抽样的分法抽取的40件产品中，
尺寸在 ， ， 的产品数分别为 , ，结合题意即可得出X的取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列，结合数学期望公式计算出答案即可。
(2)首先根据题意求出甲设备生产一级品、二级品、三级品的概率 ，再把数值代入到期望公式，进行比较后得出结果即可。
20.【解析】【分析】(1)首先由三角形中几何计算即可求出角的大小，再由余弦定理代入数据计算出BD的值，再由勾股定理计算出线线垂直，结合中点的性质以及平行的传递性，利用线面垂直的判定定理即可得出平面 ，从而得证出结论。
(2)利用条件结合平行四边形的几何性质以及中点的性质即可得出， 再由三角形的形状即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理以及性质定理即可得出， 同理得出， 从而得到 是二面角 的平面角，所以 ， 结合三角形的几何性质计算出边的大小，再把数值代入到体积公式计算出结果即可。
21.【解析】【分析】(1)根据题意利用椭圆的长半轴长为半径的圆截直线，结合勾股定理以及点到直线的距离公式代入数值计算出a的值，再由离心率公式以及椭圆里a、b、c的关系，计算出b与c的值，由此即可求出椭圆的方程。
(2)根据题意分情况讨论：当直线的斜率存在时，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于k的两根之和与两根之积的代数式，结合条件整理得出x与y关于k的代数式，再由点在椭圆上代入整理得出， 由此得到即， 整理得出以及， 由此得到， 结合题意得出， 求解出k的取值范围即可。
22.【解析】【分析】(1)首先求出函数的定义域，再对其求导结合a的取值范围，以及导函数的性质即可得出函数f(x)的单调性，以及单调区间。
(2)根据题意即可得出即， 利用别离参数的方法得到
， 构造函数并对其求导结合导函数的性质即可得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最值，由此得出即， 从而得到a的取值范围即可。