2021届吉林省长春市高三理数质量监测试卷（二）及答案

这是一份2021届吉林省长春市高三理数质量监测试卷（二）及答案，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数质量监测试卷〔二〕
一、单项选择题
1.复数 ，那么复数 的虚部是〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 



2.设全集 那么以下列图阴影局部表示的集合为〔    〕

A.                            B. 

                           C.                            D. 



3. ， 是平面 内的两条直线， 是空间中的一条直线.那么“直线 且 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分而不必要条件           B. 必要而不充分条件           C. 充要条件           D. 既不充分也不必要条件
4.党的十八夫以来，我们在脱贫攻坚领域取得了前所未有的成就，农村贫困人口大幅减少，解决困扰中华民族儿千年的贫困问题，取符历史性成就，同时为全球减贫事业作出了重要奉献.2021年为脱贫攻坚收官之年，以下列图为2021年至.2021年每年我国农村减贫人数的条形图．

根据该条形图分析，下述结论中正确的个数为〔    〕
①平均每年减贫人数超过1300万；②每年减贫人数均保持在1100万以上；③打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律；④历年减人数的中位数是1240〔万人〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4



5.5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为〔    〕
A.                                           B.                                           C.                                           D. 



6. 为等差数列 的前 项和，假设 ，那么 〔    〕
A. 24                                         B. 26                                         C. 28                                         D. 30



7.直线 将圆 平分，且与直线 垂直，那么 的方程为〔    〕
A.                   B. 

                  C.                   D. 



8.四边形 中， ，那么 〔    〕
A. -1                                          B. 1                                          C. -2                                          D. 2



9.现有如下信息：
⑴黄金分割比〔简称：黄金比〕是指把一条线段分割为两局部，较短局部与较长局部的长度之比等于较长局部与整体长度之比，其比值为 〔2〕黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．〔3〕有一个内角为 的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得 〔    〕
A.                                  B. 

                                 C.                                  D. 



10.抛物线 上一点 ， 为焦点，直线 交抛物线的准线于点 ，满足 那么抛物线方程为〔    〕
A.                             B.                             C.                             D. 



11.函数 的局部图象图所示，关于此函数的以下描述：① ；② ③假设 ，那么 ，④假设 ，那么 ，其中正确的命题是〔    〕

A. ②③                                     B. ①④

                                     C. ①③                                     D. ①②



12.函数 与函数 的图象交点分别为： ，…， ，那么 〔    〕
A. -2                                           B. 0                                           C. 2                                           D. 4



二、填空题
13.点 满足约束条件 ，那么 的最小值为________．
14.写出一个符合“对 ，当 时， 〞的函数 ________．
15.焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程为 ，那么该双曲线的离心率为________．
16.“中国天眼〞是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜〔如图，其反射面的形状为球冠〔球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的局部为高，球冠外表积 ，其中 为球的半径， 球冠的高)，设球冠底的半径为 周长为 球冠的面积为 ，那么 的值为________．〔结果用 表示〕

三、解答题
17.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济开展的推动效果日益显著，某大型超市方案在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到以下信息，如下列图〔其中 表示开设网店数量， 表示这 个分店的年销售额总和〕，现 ，求解以下问题；

参考公式；线性回归方程 ，其中
〔1〕经判断，可利用线性回归模型拟合 与 的关系，求解 关于 的回归方程；
〔2〕按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润 〔单位：万元〕满足 ，请根据〔1〕中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
18.三棱柱 平面 为棱 上一点，假设 ．
 
〔1〕求证：平面 平面 ；
〔2〕求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值
19.等比数列 满足： ．
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕令 ，其前 项和为 ，假设 恒成立，求 的最小值．
20.函数
〔1〕当 时，求 的最小值；
〔2〕假设曲线 与 有两条公切线，求 的取值范围．
21.椭圆 的离心率为 为椭圆上一点， 为椭圆上不同两点， 为坐标原点，
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕线段 的中点为 ，当 面积取最大值时，是否存在两定点 ，使 为定值？假设存在，求出这个定值；假设不存在，请说明理由．
22.在平面直角坐标系中，曲线 的参数方程为 为参数)，以坐标原点O为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 －2 cos =3．
〔1〕求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
〔2〕曲线 与 相交于 两点，求 的值．
23.函数
〔1〕解不等式 ；
〔2〕假设 ，且 ，求证： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】复数 的虚部为 。
故答案为：D．

【分析】利用复数的虚部的定义结合诱导公式和特殊角对应的正弦值，进而求出复数z的虚部。
2.【解析】【解答】 ，
易知阴影局部为集合 。
故答案为：A

【分析】利用条件结合一元二次不等式求解集的方法，进而求出集合A，再利用交集和补集的运算法那么结合韦恩图求阴影局部表示的集合的方法，进而求出阴影局部表示的集合。
3.【解析】【解答】解： ，反之不一定成立，例如 时．
“直线 且 〞是“ 〞的必要而不充分条件．
故答案为：B．
【分析】利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论．
4.【解析】【解答】对于①：由条形图知：平均每年减贫人数超过1300万，故①正确；
对于②：每年减贫人数均保持在1100万以上；故②正确；
对于③：打破了以往随着脱贫工作深入推进，难度越来越大，脱贫人数逐年减的规律，故③正确；
对于④：历年减人数的中位数是1289〔万人〕，故④不正确，
所以①②③正确，④不正确，正确的个数为3。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合条形图和统计的知识，进而找出结论正确的个数。
5.【解析】【解答】设事件 “第1次抽到代数题〞，事件 “第2次抽到几何题〞，
，
那么 ，
所以在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为 。
故答案为：C.

【分析】利用条件结合条件概率公式，进而求出在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。
6.【解析】【解答】由题意 ，
所以 。
故答案为：C．

【分析】利用条件结合等差数列前n项和公式，进而结合等差中项公式求出的值。
7.【解析】【解答】因为直线 将圆 平分，
所以直线 过圆心 ，
因为直线 与直线 垂直，所以斜率为2，
所以直线 。
故答案为：D

【分析】利用直线 将圆 平分，所以直线 过圆心 ，因为直线 与直线 垂直，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，进而求出直线l的斜率，再利用点斜式方程求出直线l的方程，再转化为直线l的一般式方程。
8.【解析】【解答】由题意知，四边形 为直角梯形， ，
所以 。
故答案为：B．

【分析】利用条件得知四边形 为直角梯形， ，再利用三角形法那么结合数量积的运算法那么和数量积的定义，进而求出数量积的值。
9.【解析】【解答】如图，等腰三角形 ， , ，取 中点 连接 。

，
由题意可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 。
故答案为：D

【分析】因为等腰三角形 ， , ，取 中点 连接 ，再利用黄金分割比〔简称：黄金比〕是指把一条线段分割为两局部，较短局部与较长局部的长度之比等于较长局部与整体长度之比，其比值为 ， 得出， 再利用正弦函数的定义结合二倍角的余弦公式，所以， 再利用诱导公式求出的值。
10.【解析】【解答】如下列图：

作 轴，那么 ，
因为 ，且 ，
所以 ,
即 ，
解得 ，
所以抛物线标准方程是 。
故答案为：C．

【分析】作 轴，那么 ，因为 ，且 ，再利用两直线平行对应边成比例，再结合抛物线的定义，进而求出p的值，从而求出抛物线的标准方程。
11.【解析】【解答】由图知， ，因为 可得 ，而 ，所以 ，故 正确， 错误； 中， ，由图可知，直线 是函数 的对称轴，故 正确，假设 ， 错误．所以正确的命题是①③。
故答案为：C．

【分析】利用正弦型函数的局部图像结合最小正周期公式，进而求出的值，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数图象上的五个特殊点对应法求出的值，再利用正弦函数的图象求出正弦型函数的对称轴，那么推出 ，再利用 结合 ， 得出 错误，进而找出正确命题的序号。
12.【解析】【解答】由题意化简， ，
因为函数 是奇函数，所以函数 关于点 对称.
因为函数 是奇函数，所以函数 关于点 对称.
又 ，
所以 在 上单调递减，
由题得
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
由图象可知， 与 的图象有四个交点，且都关于点 对称，

所以 ，
所以所求和为4。
故答案为：D

【分析】由题意化简得出 ，利用奇函数的定义得出函数 是奇函数，再利用奇函数图象的对称性，所以函数 关于点 对称,再利用奇函数的定义得出函数 是奇函数，再利用奇函数图象的对称性，所以函数 关于点 对称,再利用求导的方法判断函数的单调性，再利用求导的方法判断函数 的单调性，再分别作出函数 与函数 的图象，得出函数 与函数 的图象有四个交点，且都关于点 对称，所以 ，所以所求和为4。
二、填空题
13.【解析】【解答】由约束条件 ，画出可行域如下列图阴影局部：

将目标函数 转化为 ，平移直线 ，
当直线经过点A时，直线在y轴上截距最小，
此时，目标函数取得最小值，
由 ，解得 ，所以 ，
所以线性目标函数的最小值为 。
故答案为：6。

【分析】利用二元一次不等式画出可行域，再利用可行域作出最优解，再利用最优解求出线性目标函数的最小值。
14.【解析】【解答】设 ， ，那么 ，由单调性的定义可知，函数 是定义域为 的减函数，所以函数 满足题意。
故答案为：-x。

【分析】利用减函数的定义结合条件，推出函数为减函数，进而找出满足要求的函数的解析式。
15.【解析】【解答】因为以原点为中心，焦点在 轴上的双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ,
所以 。
故答案为： 。

【分析】利用以原点为中心，焦点在 轴上的双曲线 确定焦点的位置，进而求出渐近线的方程，再利用条件焦点在 轴上的双曲线C的渐近线方程为 ，进而求出a,b的关系式，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式结合双曲线离心率公式变形，进而求出双曲线的离心率。
16.【解析】【解答】 ，又因为 ，
，
， ， ，即 ，
， 。

故答案为： 。

【分析】利用条件结合圆的面积公式和勾股定理，从而求出 的值 。
三、解答题
17.【解析】【分析】利用条件结合最小二乘法，进而求出 关于 的回归方程。
〔2〕利用条件结合线性回归方程得出总利润为二次函数，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出估算出该超市在网上开设8或9间分店时能获得总利润最大。
18.【解析】【分析】〔1〕 由题意可知， 平面 ， 再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即推出， 以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表示，进而证出线线垂直，再利用线线垂直证出线面垂直，再利用线面垂直证出面面垂直，即证出平面 平面 。
〔2〕以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，进而求出平面 与平面 所成锐二面角的余弦值。
19.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合等比数列的通项公式，进而求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的通项公式，进而求出数列 的通项公式。
〔2〕利用数列 的通项公式结合 ， 从而求出数列的通项公式，进而求出 ， ， 令 ， 再利用分类讨论的方法结合增函数的定义和减函数的定义，从而判断出函数的单调性，再利用函数的单调性结合不等式 恒成立问题求解方法，进而求出 的取值范围，进而求出 的最小值。
 
20.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数f(x)的解析式，再利用条件求出函数 的解析式，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最小值。
〔2〕 由函数 和 的图象可知，当 时，曲线 与 有两条公切线，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而求出函数的最大值，再利用不等式恒成立问题求解方法，进而求出实数a的取值范围。
21.【解析】【分析】(1)利用椭圆 的离心率为 再结合离心率公式，进而求出a,c的关系式，再利用点 为椭圆上一点结合代入法求出a,b的关系式，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式，进而求出a,b,c的值，从而求椭圆的标准方程。
〔2〕利用分类讨论的方法得出当直线 的斜率存在时，设 直线的方程为 ， 再利用直线与椭圆相交，联立直线 和椭圆 的方程结合韦达定理和弦长公式，再利用三角形的面积公式，再结合二次函数的最值的方法，进而求出三角形的面积的最大值，即此时 ， 再利用韦达定理结合代入法得出点M的坐标，令 ，那么 ， 因此平面内存在两点 使得 ；当直线 的斜率不存在时，设 ，那么 ， 再利用三角形面积公式结合二倍角的正弦公式，那么将三角形面积转化为正弦型函数，进而结合换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图象求出当 时得出正弦型函数的最大值，再利用中点坐标公式求出此时 中点 的坐标，进而得出点的坐标为 ，满足方程 ， 即。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式，再结合参数方程与普通方程的转化方法，进而求出曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程。
〔2〕利用曲线 与 相交于 两点， 联立二者方程求出交点A,B的坐标，再利用两点距离公式求出 的值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法求出绝对值不等式 的解集。
〔2〕利用条件结合分析法，进而证出不等式 成立。