2021届福建省泉州市高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届福建省泉州市高三数学一模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.i是虚数单位，那么“ 〞是“ 〞的〔 〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
2.集合 ，那么 中元素的个数为〔    〕
A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
3.函数 的最小值为〔    〕
A. -2                                       B.                                        C.                                        D. 0
4.“立定跳远〞是?国家学生体质健康标准?测试工程中的一项，某地区高中男生的立定跳远测试数据 〔单位： 〕服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 不在 的人数为 ，那么〔    〕
A.           B.           C.           D. 
5.单位向量 ， 满足 ，且 ，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
6.在长方体 中， ， ，那么异面直线 与 所成角的余弦值为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
7. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
8.曲线 ： ，直线 与 有且只有4个公共点，这些公共点从左到右依次为 ， ， ， ，设 ， ，那么以下结论中错误的选项是〔    〕
A. 或                 B.                 C.                 D. 
二、多项选择题
9.记等差数列 的前 项和为 .假设 ， ，那么〔    〕
A.                      B.                      C. 的最大值为30                     D. 的最大值为15
10.函数 的局部图象如以下列图，那么〔    〕

A.                               B.                               C.                               D. 
11.函数 ， ，那么〔    〕
A. 在 上为增函数                               B. 当 时，方程 有且只有3个不同实根
C. 的值域为                          D. 假设 ，那么
12.如图，正四棱柱 的底面边长为1，侧棱长为2，点 ， 分别在半圆弧 ， 〔均不含端点〕上，且 ， ， ， 在球 上，那么〔    〕

A. 当点 在 中点处，三棱锥 的体积为定值
B. 当点 在 中点处，过 ， ， 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
C. 球 的外表积的取值范围为
D. 当点 在 的三等分点处，球 的外表积为
三、填空题
13.展开式中，二项式系数最大的项的系数为________.〔用数字填写答案〕
〔如图1所示〕在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点 ， 的椭圆 与双曲线 构成，一光线从左焦点 发出，依次经过 与 的反射，又回到点 历时 秒；假设将装置中的 去掉，那么该光线从点 发出，经过 两次反射后又回到点 历时 秒.假设 与 的离心率之比为 ，那么 ________.

15.假设正数 ， 满足 ，那么 的最小值为________.
16.甲问乙：“您有几个孩子〞，乙说：“四个〞.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩〞，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校〞.
根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测________次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为________.
四、解答题
17.数列 ， 满足 ， ， .
〔1〕证明： 是等比数列；
〔2〕求数列 的前 项和 .
18.脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹.某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯〞往返村子，因而被称为“悬崖村〞.当地政府把“藤梯〞改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯〞，实现了“村民搬下来，旅游搬上去〞，做到了长效脱贫.
如图，为得到峭壁上的 ， 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的 ， 两点处分别测得 ， ， ， ， ，且 .

〔1〕用 ， ， 表示 ；
〔2〕 ， ， 米， ，又经计算得 米，求 .
参考数据： ， ， ， .
19.永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改良品质，某永春老醋生产公司于2021年组织技术团队进行发酵工艺改良的工程研究.2021改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，假设合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.
指标区间






来源
改良前
改良后
改良前
改良后
改良前
改良后
改良前
改良后
改良前
改良后
改良前
改良后
个数
3
1
5
2
30
26
31
34
24
15
7
2
附：成品醋的品质采用指标值 进行评价，评价标准如下表所示.



一等品
二等品
三等品
合格
不合格
〔1〕现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为 ，求 的分布列；
〔2〕根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润多少〔单位：元〕与指标值 的关系为 ，假设欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长 〞，那么20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？
20.如图，在四棱锥 中，二面角 是直二面角， 为等腰直角三角形 的斜边， ， ， ， 为线段 上的动点.

〔1〕当 时，证明： 平面 ；
〔2〕假设平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
21.椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，折线 与 交于 ， 两点.
〔1〕当 时，求 的值；
〔2〕直线 与 交于点 ，证明：点 在定直线上.
22.函数 .
〔1〕假设 在 单调递减，求实数 的取值范围；
〔2〕证明：对任意整数 ， 至多1个零点.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】i是虚数单位，那么 ，“ 〞是“ 〞的充分条件；
由 ，得 ，故“ 〞是“ 〞的不必要条件；
故“ 〞是“ 〞的充分不必要条件，
故答案为：A

【分析】 根据复数的运算法那么以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
2.【解析】【解答】依题意 ，
其中满足 的有 ，
所以 ，有3个元素.
故答案为：B

【分析】 利用集合交集的定义，得到A∩B中元素满足的.条件，求解即可.
3.【解析】【解答】
当 时，取得最小值为
故答案为：B

【分析】 利用诱导公式与二倍角的余弦将y=f(x)变形，利用余弦函数的性质以及二次函数求最值即可得到答案.
4.【解析】【解答】由 ，那么
那么 ，A不符合题意；
由题知， 不在 的概率为 ，那么 ，
那么 ，B不符合题意；
，C不符合题意；
，D符合题意；
故答案为：D

【分析】 由可得正态分布曲线的对称轴，再由对称性求得P(180<ξ<220)判断A;不在(180,220)的人数X的可能取值为0, 1, 2, 3,由A可知，ξ不在(180, 220)的概率为0.2,分别求出E(X)与D (X)判断B与C;再求出P(X≥1)判断D.
5.【解析】【解答】单位向量 ， 满足 ，且 ，
所以
，
所以 .
所以
故答案为：C.

【分析】 利用条件求出的长度，然后求解向量数量积的余弦函数值,再求解 。 
6.【解析】【解答】联结 ，交 于O点，那么O点为 的中点，取 的中点E ， 那么

异面直线 与 所成角即直线 与 所成角，
在 中， ， ，

那么
故异面直线 与 所成角的余弦值为
故答案为：A

【分析】联结 ，交 于O点，那么O点为 的中点，取 的中点E ， 那么 ， 异面直线 与 所成角即直线 与 所成角，根据余弦定理即可求出答案。
7.【解析】【解答】 ， ， ，
，故 ，
.
故答案为：C.

【分析】利用根式的运算性质，对数函数的单调性，即可得出答案。
8.【解析】【解答】对A，由 可得 或 ，
联立方程 可得 ，那么 ，
联立方程 可得 ，那么 ，解得 或 ，A符合题意；
对B，可得 ， ，由题可得 ， ，B符合题意；
对C，设 ，那么 ，
那么 ，C符合题意；
对D， ，
那么 ，即 ，D不符合题意.
综上，错误的选项为D.
故答案为：D.

【分析】对于A:可得 或 ，联立直线x=my+1与抛物线的方程△=64m2-32 >0,解得m范围,即可判断A是否正确;
对于B:由韦达定理可得，再由得， 即可判断B是否正确;
对于C:设 ，由弦长公式可得 ， 即可判断C是否正确;
对于D:由弦长公式可得|AB|,再计算 即可判断D是否正确.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】设等差数列的公差为 ，
那么由题可得 ，解得 ，
， ，
，A符合题意； ，B不符合题意；
当 或4时， 取得最大值为30，C符合题意；
由于 ，所以 的最大值为 ，D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】由结合等差数列的通项公式及求和公式先求出d, a1，进而可求an，Sn，然后结合各选项进行检验即可.
10.【解析】【解答】由图可知 且 ，
，由图可知 ， ，
， ，
又 ，那么 ，即 ，
又由图 ，那么 ，即 ，那么 ， .
故答案为：AD.

【分析】由图可知 且 ，结合正弦函数的图像特点求出， 再求出的值。
11.【解析】【解答】根据函数解析式作出函数图象，

由图象易知， 在 上不是增函数，A不符合题意；
当 时， ，那么 ，
过定点 ，当 时， 与 在 上相交，共2个交点；
当 时， ，过点 作 的切线，设切点为 ，
那么 ， ，解得 ， ，故当 时， 与 在 处相切，有1个交点；
故当 时， 与 共有3个交点，B符合题意；
由图易知 ，C符合题意；
当 时， 等价于 ，
由函数图象，及上述分析知， ；
当 时， 等价于 ，
由函数图象，及上述分析知， ；
故假设 ， ，D符合题意；
故答案为：BCD

【分析】 对于A:作出函数f (x)图像，即可判断A是否正确;
对于B:当 时，g(x)过点(1,0)，过点 作 的切线，设切点为 ，那么 ， ，进而可得当 时， 与 在 处相切，有1个交点；当 时， 与 共有3个交点，即可判断B是否正确;
由图易知 ，即可判断C是否正确;
对于D:分两种情况:当x≥1时, f(x)-g(x)≤0,当x<1时，f(x)-g(x) > 0,讨论k的取值范围，即可判断D是否正确.
12.【解析】【解答】如图1所示，取 中点 ， 中点 ， 中点 ，

根据题意，求出 在线段 上，设 ，
那么由余弦定理可得 ，
设 ，那么 ，所以 ，
因为 〔 为球 的半径〕，所以 ，
所以 ，故球 的外表积 ，C不符合题意；
当点 在 的三等分点处， ，那么 ，
所以 ，
故球 的外表积 ，D符合题意；
如图2，当点 在弧 上时，连接 ，
在平面 上，过点 作 的平行线，与线段 分别交于 ，
延长 与CB延长线相交，连接交点与点N交AB于S ，
此时当点 在 中点处，过 ， ， 三点的平面截正四棱柱所得的截面为五边形 ，B不符合题意；
当 在 中点处，三棱锥 的体积为 为定值，A符合题意.
故答案为：AD.

【分析】 取 中点 ， 中点 ， 中点 ，那么球心在线段 上，设  ，设 ，利用边角关系结合cosa的有界性进行分析求解，即可判断选项C，点 在 的三等分点处，， 结合选项C中的结论,即可判断选项D,点Q在弧FA上时，判断其截面是五边形，即可判断选项B,利用等体积法即可判断选项A.
三、填空题
13.【解析】【解答】解：因为 展开式的通项为
依题意，二项式系数最大项为 ，其系数为160.
故答案为：160.

【分析】 根据展开式中二项式系数最大的项是T4,由此求出它的系数.
14.【解析】【解答】设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，
在图2左图中，由椭圆定义可得   ①
由双曲线定义可得   ②
①-②得 ，
所以 的周长为 .
在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，
即直线 过点 ，所以 的周长为 ，
又因为椭圆与双曲线焦点相同，离心率之比为 ，
所以 ，又两次所用时间分别为 ， ，
而光线速度相同，所以 .
故答案为： .

【分析】 由圆锥曲线的定义求得△ABF1的周长，结合离心率的关系得到椭圆长半轴与双曲线实半轴的关系，再由三角形的周长比得  的值.
15.【解析】【解答】令 ，那么 ，
所以 ，令 ，由 ，解得 .
时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增；
所以 的最小值为 ，又对正数 ， 有 ，所以 .
故答案为：

【分析】令 ，那么 ，即， 令 ， 求导，可得的单调性，进而求出的最小值，即可得到答案。
16.【解析】【解答】解：记 为乙的第 个孩子是男性，依题意，四个孩子从长到幼的性别情况有 ， ， ， ， ， ，共6种，最多需要猜测5次，便可以知道乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次就猜对的概率为 .
故答案为5； .

【分析】 由题意可知乙有4个孩子，最小的为男，且他有哥哥，姐姐，所以可能2个哥哥1个姐姐，或1个哥哥2个姐姐，列出所有可能情况共6种,所以最多需要猜测5次,再利用排列组合知识即可求出第3次猜对的概率.
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)根据数列的递推关系加以变形，结合等比数列的定，义加以证明,进而可确定{bn}的通项公式；
(2)由(1)的结论确定{bn }的关系式，构造cn ， 将Sn分为n为偶数及奇数两种情况，进而解得。
 
 
18.【解析】【分析】 (1)△APQ中利用正弦定理求得AP的值；
(2)△BPQ中由正弦定理求得PB,在△APB中利用余弦定理求得AB的值.
 
 
19.【解析】【分析】 (1)由题意分析可知X可能取值为0,1, 2,分别计算出对应的概率,即可得到结果;
(2)计算出改良前的利润，增长20%后的利润，再有题中的条件列出不等关系，即可解出.
20.【解析】【分析】 (1)连接AC交BD于N,可得AC⊥BD，且N为AC的中点，连接MN,证得MN//PA,再由直线与平面平行的判定可得PA//平面MBD;
(2)由   得 ,假设平面  平面 , 以点  为原点，   ，   所在的直线为  轴，  轴，在平面  内过点  作  的垂线为  轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面MDC的一个法向量与平面BDM的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B-MD-C的余弦值.
21.【解析】【分析】〔1〕 设   ，    ， 联立 ，结合韦达定理可得   ，  ，进而可得  的值；
(2) 由可得   ，    ，    ，    ，    ， 写出直线 的方程, 直线 的方程,进而得  ，化简即可得出答案.
22.【解析】【分析】 (1)别离参数,转化成恒成立问题,利用最值求解;
(2)利用导数的性质以及零点的知识进行求解.