2021届湖南省岳阳市高三下学期数学高考一模试卷及答案

这是一份2021届湖南省岳阳市高三下学期数学高考一模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学高考一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，且 ，那么实数m应满足〔   〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2. 〔其中i为虚数单位〕，那么复数 〔   〕
A.                                           B.                                           C. 1                                          D. 2
3.函数 的图象大致为〔   〕
A.                       B. 
C.                       D. 
4.“中国剩余定理〞又称“孙子定理〞，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，那么此数列所有项中，中间项的值为〔   〕
A. 992                                    B. 1022                                    C. 1007                                    D. 1037
5.“华东五市游〞作为中国一条精品旅游路线一直受到广阔旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市〞中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，那么恰有一个地方未被选中的概率为〔   〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
6.等边三角形ABC的边长为4，O为三角形内一点，且 ，那么 的面积是〔   〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
7.抛物线 的焦点为F，点 为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，那么 的最大值是〔   〕
A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 
8.对于函数 ，假设存在 ，使 ，那么点 与点 均称为函数 的“先享点〞函数 且函数 存在5个“先享点〞，那么实数a的取值范围为〔   〕
A.                               B.                               C.                               D. 
二、多项选择题
9.2021年4月，在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰--复工复产、恢复经济正常运行．某企业对本企业1644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如下列图，那么以下说法错误的选项是〔   〕

A. 

C. 不到80名职工倾向于继续申请休假
D. 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
10.假设函数 ，那么以下结论正确的选项是〔   〕
A. 的一个周期为                                         B. 的图象关于直线 对称
C. 的一个零点为                             D. 在区间 上单调递减
11.以下说法，正确的选项是〔   〕
A. ，使
B. ，函数 都不是偶函数
C. ， 是 的充要条件
D. 中，“ 〞是“ 〞的充要条件
12.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 ，点P为线段AD上的一动点，以下结论正确的选项是〔   〕
A. 异面直线AC与BD所成的角为60°                        B. 是等边三角形
C. 面积的最小值为                           D. 四面体ABCD的外接球的外表积为8π
三、填空题
13.在 的展开式中， 的系数是________．
14.点 在线段 上运动，那么 的最大值是________．
15.设椭圆 的焦点为 ， 是椭圆上一点，且 ，假设 的外接圆和内切圆的半径分别为 ，当 时，椭圆的离心率为________.
16.函数 对 均有 ，假设 恒成立，那么实数m的取值范围是________.
四、解答题
17.中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
〔1〕求B的大小；
〔2〕假设 ，且AC边上的中线长为 ，求 的面积．
18.数列 满足 ，且点 在函数 的图象上．
〔1〕求证： 是等比数列，并求 的通项公式：
〔2〕假设 ，数列 的前n项和为 ，求证： ．
19.如下列图的几何体中， ．

〔1〕求证： 平面ABCD；
〔2〕假设 ，点F在EC上，且满足EF=2FC，求二面角F—AD—C的余弦值．
20.某商城玩具柜台元旦期间促销，购置甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送元旦礼品．而每个甲系列盲盒可以开出玩偶 ， ， 中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶 ， 中的一个．
〔1〕记事件 ：一次性购置 个甲系列盲盒后集齐 ， ， 玩偶；事件 ：一次性购置 个乙系列盲盒后集齐 ， 玩偶；求概率 及 ；
〔2〕礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购置时机，且购置时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购置盲盒的消费者购置甲系列的概率为 ，购置乙系列的概率为 ；而前一次购置甲系列的消费者下一次购置甲系列的概率为 ，购置乙系列的概率为 ；前一次购置乙系列的消费者下一次购置甲系列的概率为 ，购置乙系列的概率为 ；如此往复，记某人第 次购置甲系列的概率为 ．
① ；
②假设每天购置盲盒的人数约为100，且这100人都已购置过很屡次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
21.双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
〔1〕求双曲线 的方程；
〔2〕设过点 的直线l与曲线 交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得 为常数？假设存在，求出Q点坐标及此常数的值，假设不存在，说明理由．
22.函数 ．
〔1〕假设 为单调函数，求a的取值范围；
〔2〕假设函数 仅一个零点，求a的取值范围．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：∵集合 ， ，
∴ ，
故答案为：A．

【分析】利用交集的性质求解。
2.【解析】【解答】因为 ，所以 ，
故 ．
故答案为：C．

【分析】 先利用等式求出z的表达式，然后利用模的运算性质求解即可．
3.【解析】【解答】由题意知，函数 ，满足 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，所以B选项错误；
又因为 ，所以C选项错误；
又因为 ，所以D选项错误，
故答案为：A.

【分析】 先判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊值符号的对应性进行排除即可．
4.【解析】【解答】解：由题意可知， 既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，数列 共有135项，因此数列中间项为第68项，且 ．
故中间项的值为1007．
故答案为：C．

【分析】 由题意得到an-2是15的倍数，从而得到an=15n-13，然后确定a135＜2021，a136＞2021，由此得到数列{an}共有135项，求解中间项a68即可．
5.【解析】【解答】解：现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市〞中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，
假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，
根本领件总数 ，
恰有一个地方未被选中包含的根本领件个数 ，
那么恰有一个地方未被选中的概率为 ．
故答案为：B．

【分析】 根本领件总数，恰有一个地方未被选中包含的根本领件个数， 由此能求出恰有一个地方未被选中的概率．
6.【解析】【解答】解：根据题意，设AB的中点为D， 是等边三角形，那么 ，
AB的中点为D，那么 ，
又由 ，那么 ，那么O是AD的中点，
又由 的边长为4，那么 ， ，那么 ，
那么 ，

故答案为：D．

【分析】 根据题意，设AB的中点为D，由向量加法的性质可得，进而分析可得O是AD的中点，结合三角形的边长以及面积公式计算可得答案．
7.【解析】【解答】设直线 的倾斜角为 ，设 垂直于准线于 ，

由抛物线的性质可得 ，
所以那么 ，
当 最小时，那么 值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即 最小，
由题意可得 ，
设切线PA的方程为： ，
，整理可得 ，
，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，
即P的横坐标为1，即P的坐标 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为： ，
故答案为：B．

【分析】 由抛物线的性质可得|PF|等于P到准线的距离|PP'|，进而可得 的最大值是直线PA的倾斜角最大时，即直线PA与抛物线相切，设过点A的相切方程，与抛物线联立，由判别式等于0可得直线的参数的值，代入整理的方程求出P的坐标，进而求出 的最大值．
8.【解析】【解答】依题意， 存在5个“先享点〞，原点是一个，其余还有两对，
即函数 关于原点对称的图象恰好与函数 有两个交点，
而函数 关于原点对称的函数为 ，
即 有两个正根，
，
令 ，
，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
并且当 和 时， ，
所以实数a的取值范围为 ，
故答案为：A.

【分析】 直接根据定义求出a，根据题中的条件，判断出“积分点〞的特征，之后根据f〔x〕存在5个“积分点〞，等价于函数y=6x-x3〔x≤0〕关于原点对称的图象恰好与函数y=16-ax〔x＞0〕有两个交点，构造函数利用导数求得结果．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于A： ，所以A错误，符合题意，
对于B：由扇形图可知该职工倾向于在家办公的职工占17.8%，所以从该企业中任取一名职工，该职工倾向于在家办公的概率为0.178，所以B正确，不符合题意，
对于C：由扇形图可知倾向于继续申请休假的职工占5.1%，而 〔人〕，所以C错误，符合题意，
对于D：由扇形图可知倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工占 ，而 〔人〕，所以D正确，不符合题意，
故答案为：AC.

【分析】 根据扇形图中各个扇形所占百分比之和为1，即可求出x的值，再由各局部所占比例结合总人数，即可判断出A，B，C选项的正误．
10.【解析】【解答】由题意，函数 ，可得 的最小正周期为 ，所以A符合题意；
当 时，可得 ，所以 是函数 的其中一条对称轴，所以B符合题意；
由 ，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时，可得 ，即 是函数 的一个零点，所以C符合题意；
由 ，可得 ，
当 时，即 时，函数 单调递减；
当 时，即 时，函数 单调递增，所以D不正确.
故答案为：ABC.

【分析】 由题意利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
11.【解析】【解答】解：对于A：设 ，所以 ，
当 时，函数 ，
当 时， ，当 时， ，
故在 时函数 取得最小值， ，
所以 ，即 ， ，A不符合题意；
对于B：当 时 ，故函数 为偶函数，B不符合题意；
对于C：当 时，等价于 ，
当 时，等价于 ，
当 时，等价于 ，
反之同样成立，C符合题意；
对于D： 中，当 时， ，
所以 ，
由于 ，故 ，
两边平方得： ，
故 ，
即 ，
所以 或 ，
当 时，即 ，由于 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ，故 ， ．
当 时， ，故 ．
D符合题意．
故答案为：CD．

【分析】 直接利用函数的导数和单调性的关系，三角函数的关系式的变换，充分条件和必要条件，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
12.【解析】【解答】解：对于A，因为 ， ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，异面直线AC与BD所成的角为90°，不是60°，所以A不符合题意；
对于B，因为 ，所以 ，同理 ，
所的 是等边三角形，所以B对；
对于C，因为 ，所以要求 面积的最小值，
只须求BC边上高的最小值，此最小值恰为异面直线AD与BC的距离，设为h，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以直线AD到平面 距离即为h，
即点D到平面 距离为h，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 面积的最小值 ，所以C对；
对于D，由于 ，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为 ，
所以外表积为 ，所以D对．

故答案为：BCD．

【分析】取BD的中点O，连接AO，CO利用等腰三角形三线合一,可得， ,从而可得,可判断A；通过计算， 可得  为正三角形；由于，所以要求 面积的最小值，只须求BC边上高的最小值；由 ，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为 ， 从而可求出其外表积。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为：10．
【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令 的指数为2，即可求出．
14.【解析】【解答】解：由题设 可得： ，即 ，
∴ ，即 ，当且仅当 时取“=〞，
故答案为： ．

【分析】根据均值不等式进行计算可得答案。
15.【解析】【解答】椭圆的焦点为 ，
在 中，由正弦定理得： ，
解得 ， ，
设 ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
整理得 ，即 ，
解得 或 〔舍去〕
故答案为：

【分析】 利用正弦定理计算R，得出r，设，根据余弦定理计算mn，再根据面积公式列方程得出a，c的关系，从而可求出椭圆的离心率．
16.【解析】【解答】∵函数f〔x〕对x∈R均有f〔x〕+2f〔﹣x〕＝mx﹣6①，
∴将﹣x换为x，得f〔﹣x〕+2f〔x〕＝﹣mx﹣6②，
∴由①②，解得f〔x〕＝﹣mx﹣2．
∵f〔x〕≥lnx恒成立，∴m 恒成立，
∴只需m ．
令 ，那么g'〔x〕 ，
令g'〔x〕＝0，那么x ，
∴g〔x〕在〔0， 〕上单调递减，在〔 ，+∞〕上单调递增，
∴ ，∴m≤﹣e，
∴m的取值范围为〔﹣∞，﹣e]．
故答案为：〔﹣∞，﹣e]．

【分析】先求出  的解析式，再根据f〔x〕≥lnx恒成立，转化为m 恒成立，即只需m ，令 ，求导可得单调性，进而得出最值，即可得出实数m的取值范围。
四、解答题
17.【解析】【分析】 〔1〕利用三角函数恒等变换的应用化简等式可得 ， 结合B∈〔0，π〕，可得B的值；
〔2〕由利用余弦定理得 ， 在△ABC中，取AC的中点D，连接BD，在△CBD，△ABC中，利用余弦定理可得  ， 联立可得  ，解得c的值，根据三角形的面积公式即可求解．
18.【解析】【分析】〔1〕 由点  在函数  的图象上，可得  ，即  ， 所以  是首项和公比均为  的等比数列， 可得   的通项公式 ；
〔2〕利用放缩法即可证明出 。
19.【解析】【分析】 〔1〕证明AB⊥BC．结合BE⊥BC，推出BC⊥平面ABE．得到BC⊥AE，结合EA⊥AC，即可证明AE⊥平面ABCD；
〔2〕以B为原点，BE，BC所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面ADF的法向量，平面ABCD的一个法向量．设二面角F-AD-C的平面角为α，利用空间向量的数量积求解即可．
20.【解析】【分析】 〔1〕由古典概型的概率公式可以直接解出；
〔2〕分析可知Qn是一个等比数列，用ξ表示一天中购置甲系列盲盒的人数，可知ξ服从二项分布，即可计算出结果．
21.【解析】【分析】〔1〕 由题意得 ， 解得   ， ， 即可得出双曲线  的方程；
〔2〕 设直线  的方程为  ，设定点  ，  ，  ， 联立 ， 得 ， 利用根与系数的关系可得  ，  ，， 可得结论。
22.【解析】【分析】〔1〕对 求导得 ，因为 为单调函数，故 或 恒成立，利用导数研究 或 哪个能成立即可；〔2〕因为 ，所以 是 的一个零点，由〔1〕可知，当 时， 为 上的增函数，所以 仅有一个零点，满足题意，当 时， 得 ，分 ， ， 讨论验证即可．