2021届贵州省贵阳市高三理数适应性考试试卷及答案

这是一份2021届贵州省贵阳市高三理数适应性考试试卷及答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三理数适应性考试试卷
一、单项选择题
1.U是全集，假设集合A满足 ，那么〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
2.复数 是关于x的方程 的根，那么 〔    〕
A. 2                                          B. -2                                          C. 1                                          D. -1
3. ，那么 〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
4.如图是某几何体的正视图和侧视图，那么该几何体的俯视图不可能是〔    〕

A.       B.       C.       D. 
5.设 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充要条件             B. 充分不必要条件             C. 必要不充分条件             D. 既不充分也不必要条件
6.经数学家证明：“在平面上画有一组间距为a的平行线，将一根长度为 的针任意掷在这个平面上，此针与平行线中任一条相交的概率为 〔其中 为圆周率〕〞某试验者用一根长度为2cm的针，在画有一组间距为3cm平行线所在的平面上投掷了n次，其中有120次出现该针与平行线相交，并据此估算出 的近似值为 ，那么 〔    〕
A. 300                                      B. 400                                      C. 500                                      D. 600
7.等差数列 的前 项和为 ，公差为3，假设 ， ， 成等比数列，那么 〔    〕
A. 9或13                                    B. 13                                    C. 15或35                                    D. 35
8.如图为函数 的局部图象，那么 的解析式可能是〔    〕

A.                                 B.                                 C.                                 D. 
9.假设 〔e为然对数的底数〕，那么 ， ， 的大小关系为〔    〕
A.               B.               C.               D. 
10.根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双自线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题： ， 分别是双曲线 的左、右焦点，假设从点 发出的光线经双曲线右支上的点 反射后，反射光线为射线AM，那么 的角平分线所在的直线的斜率为〔    〕
A.                                     B.                                     C.                                     D. 
11. ， ， ，点 是四边形 内〔含边界〕的一点，假设 ，那么 的最大值与最小值之差为〔    〕
A. 12                                         B. 9                                         C.                                          D. 
12.在平面内，动点P与两定点A，B的距离之比为 ，那么点P的轨迹是圆，此圆称为阿波罗尼斯圆.在空间中，也可得到类似结论.如图，三棱柱 中， 平面ABC， ， ， ，点M为AB的中点，点P在三棱柱内部或外表上运动，且 ，动点P形成的曲面将三棱柱分成两个局部，体积分别为 ， ，那么 〔    〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
二、填空题
13.的展开式中的常数项是：________．(请用数字作答)
14.函数 ，给出以下四个命题：
① 是函数 的一个周期；    ②函数 的图象关于原点对称；
③函数 的图象过点 ；    ④函数 为 上的单调函数.
其中所有真命题的序号是________.
15.抛物线 的焦点为F，点 ，直线l过F且交C于A，B两点，假设以NF为直径的圆交l于点M〔异于F〕，且M是AB中点，那么线段MF的长为________.
16.数列 ， ，且 ，那么 ________.
三、解答题
17.如下列图，在平面四边形ABCD〔A，C在线段BD异侧〕中， ， ， ， .

〔1〕求BD的长；
〔2〕请从下面的三个问题中任选一个作答：〔作答时用笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框填涂〕
①求四边形ABCD的面积的取值范围；
②求四边形ABCD的周长的取值范围；
③求四边形ABCD的对角线AC的长的取值范围.
18.据报道，2021年全球进行了102次航天发射，发射航天器492个.中国以34次航天发射蝉联榜首，美国、俄罗斯分列第二和第三位.
2021年全球发射的航天器按质量 〔单位： 〕可分为六类：Ⅰ类〔 〕，Ⅱ类〔 〕，Ⅲ类〔 〕，Ⅳ类〔 〕，Ⅴ类〔 〕，Ⅵ类〔 〕，其中Ⅰ类航天器仍然保持较高的话跃度，但整体的发射热度相较2021年有所降低，发射数量仍以较大优势排名榜首，总数到达191个，占比下降到 ；而Ⅱ类和Ⅲ类航天器由于低轨宽带星座部署改变，发射卫星数量均实现大幅增长.根据2021年全球发射航天器数量按质量分类得到如图的饼形图：

假设2021年全球共方案发射500个航天器，且航天器数量按质量分布比例与2021年相同.
〔1〕利用该饼状图，估计2021年发射的航天器中Ⅳ类，Ⅴ类，Ⅵ类的个数；
〔2〕由〔1〕的计算，采用分层抽样的方法，从Ⅳ类，Ⅴ类，Ⅵ类这三类中抽取9个航天器.根据研究需要，要从这9个航天器中随机抽取3个航天器作研究，设这3个航天器来自这三类航天器的类别种数为 ，求 的分布列及其期望.
19.如图，棱长为2的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点， 为棱 上的动点.

〔1〕当 是 的中点时，判断直线 与平面 的位置关系，并加以证明；
〔2〕假设直线 与平面 所成的角为 ，求锐二面角 的余弦值.
20.设 ， 为椭圆 的左、右焦点，C的短轴长为2，离心率为 ，直线 交椭圆于点A，B.
〔1〕求椭圆C的方程；
〔2〕设C的左右顶点分别为 ， ，直线 ， 的斜率分别是 ， ，假设 ，试问直线l是否过定点？并证明你的结论.
21.在平面直角坐标系xOy中，曲线 的参数方程为 〔 ，a为参数〕以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 〔如下列图〕.

〔1〕假设 ，求曲线 的极坐标方程并求曲线 与 交点的直角坐标；
〔2〕曲线 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 与 交于不同的四点A，B，C，D，求矩形ABCD面积的最大值.
22.己知函数 .
〔1〕假设 ，求不等式 的解集；
〔2〕， ，使得 ，求实数m的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ， ，所以D 正确.
故答案为：D.

【分析】利用条件结合交集和补集的运算法那么，再结合空集的定义，从而推出 ，所以 ， ，从而选出正确的选项。
2.【解析】【解答】复数 是关于x的方程 的根，
那么 ，即 ，
那么 ，所以 。
故答案为：B

【分析】复数 是关于x的方程 的根结合代入法和复数的混合运算法那么，从而得出， 再利用复数相等的判断方法，从而求出p的值。
3.【解析】【解答】解： ，
即有 ，
即 。
故答案为：B．

【分析】利用条件结合诱导公式，从而求出的值。
4.【解析】【解答】根据正视图和侧视图可知：该几何体为棱柱，
对C，该几何体的直观图如下所示：

其正视图中间应该为实线，所以C选项的俯视图不可能。
故答案为：C

【分析】根据正视图和侧视图可知：该几何体为棱柱，再利用棱柱的结构特征，从而选出该几何体的俯视图不可能的选项。
5.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，即解集为 ，
所以“ 〞能推出“ 〞，
“ 〞不能推出“ 〞，
即“ 〞是“ 〞的充分不必要条件。
故答案为：B．

【分析】利用条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 〞是“ 〞的充分不必要条件。
6.【解析】【解答】根据题意，得 ，即 ，所以 。
故答案为：A.

【分析】利用条件结合对应成比例的方法，从而求出n的值。
7.【解析】【解答】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
而当 时， 不合题意，故 ，
  。
故答案为：D

【分析】利用条件结合等比中项公式，从而结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列的首项，再利用等差数列的前n项和公式，从而求出等差数列前5项的和。
8.【解析】【解答】由图知： 为偶函数，
对C， ，定义域 ，
，为奇函数，故排除C.
由图知：当 时， ，
对B， ， ，故排除B.
对D，因为 的图象可知： 越大， 越增长平缓，
而 ， 越大， 越增长越大，所以当 ，D不符合题意.
故答案为：A

【分析】利用偶函数的图像的对称性、函数定义域求解方法、奇函数的定义和特殊点排除法，由 的图象可知： 越大， 越增长平缓，而 ， 越大， 越增长越大，从而选出满足要求的函数的解析式。
9.【解析】【解答】由 ，那么 ， ，而 ，
  ，
设 ，那么 ，
由 ，解得 ， ，解得 ，
所以 在 上单调递减，由 ，那么 ，
即 ，所以 ，即 ，即 ，
所以 ，故 。
故答案为：D

【分析】由 ，那么 ， ，而 ，   ，设 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，那么由 ，那么 ， 即 ，所以 ，即 ， 再利用对数函数的单调性，所以 ，故 。
10.【解析】【解答】解：由可得 ， 在第一象限，
将点 的坐标代入双曲线方程可得： ，解得 ，所以 ， ，
又由双曲线的方程可得 ， ，所以 ，那么 ，
所以 ，且点 ， 都在直线 上，又 ，
所以 ，所以 ，
设 的角平分线为 ，那么 ，
所以直线 的倾斜角为 ，
所以直线的斜率为 。
故答案为：B．

【分析】由可得 ， 在第一象限，将点 的坐标代入双曲线方程可得， ，又由双曲线的标准方程确定焦点位置，可得 ， ，再利用双曲线中a,b,c三者的关系式，所以 ，那么 ，再利用两点距离公式得出 ，且点 ， 都在直线 上，又因为 ，再由正切函数的定义，得出 的值，从而求出的值 ，设 的角平分线为 ，那么 ，从而求出直线 的倾斜角，再利用直线的倾斜角与直线的斜率的关系式，从而求出直线的斜率。
11.【解析】【解答】因为 ，
当点 在 运动时，由向量共线定理得 ，所以 ，
当点 在 上运动时，由向量共线定理得 ，
，即 ，所以 ，
当点 在 上运动时， ， ，
当点 在 上运动时， ， ，
综上可知， 满足的约束条件是 ，如图，

表示可行域内的点 和点 的距离的平方，由图可知当点 或 时，此时距离的平方最大，即 ，当点 到直线 的距离的平方是最小值，即 ，
所以最大值与最小值的差是 。
故答案为：C

【分析】因为 ，再利用分类讨论的方法，得出当点 在 运动时，由向量共线定理得 ，所以 ，当点 在 上运动时，由向量共线定理得 ，，即 ，所以 ，当点 在 上运动时， ， ，当点 在 上运动时， ， ，综上可知 满足的约束条件，再利用二元一次不等式组画出可行域，再利用表示可行域内的点 和点 的距离的平方，再利用可行域找出最优解，从而结合点到直线的距离公式求出 的最大值与最小值，进而求出 的最大值与最小值之差。
12.【解析】【解答】如图，在平面PAB中，作 ,交AB于点N，那么 ,

又因 ，所以 ，
所以 ，所以 ,
所以 .
因为 ，所以 ,
所以B、N重合且 ，
所以点P落在以B为球心， 为半径的球面上.
作 于H，那么 ，
因为 面ABC，所以 BH，
又因为 ，所以 面 ，
所以B到面 的距离为 ，
所以球面与面 相切，而 ，
所以球面不会与面 相交，
那么 ，
,
所以 ，
所以 。
故答案为：D.

【分析】在平面PAB中，作 ,交AB于点N，那么 ,又因 ，再利用两三角形相似的判断方法，所以 ，再利用两三角形相似对应边成比例，所以 ，所以 ,所以 ， 因为 ，所以 ,所以B、N重合且 ，所以点P落在以B为球心， 为半径的球面上，作 于H，那么 ，因为 面ABC，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 BH，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 面 ，所以B到面 的距离为 ，所以球面与面 相切，而 ，所以球面不会与面 相交，进而求出那么的值 ，再利用三棱柱的体积公式求出三棱柱的体积，再利用作差法求出 的值 ，进而求出 。
二、填空题
13.【解析】【解答】 ，
令 ，那么 ，
所以常数项为 ．

【分析】根据题意由二项式定理的通项公式，令x的次数为零即可求出r的值并代入到通项公式计算出结果即可。
14.【解析】【解答】函数 ，
对于①： ，故函数的最小正周期为 ，故①正确；
对于②：函数 ，故函数的图像关于原点对称，故②正确；
对于③：当 时， ，故③正确；
对于④：由于 ，所以 ，由于 ，由于 的导数有正有负，所以函数 在 上有增有减，所以函数 在 上不是单调函数，故④错误．
故答案为：①②③。

【分析】利用周期函数的定义推出函数的最小正周期为 ；再利用奇函数的定义判断函数为奇函数，从而结合奇函数图象的对称性，从而推出函数的图像关于原点对称；再利用代入法推出函数 的图象过点 ；   再利用求导的方法结合条件判断函数的单调性，从而推出函数 在 上不是单调函数，进而选出真命题的序号。
15.【解析】【解答】由抛物线的焦点 ， ，所以 ， 的中点为： ， ，
所以 为直径的圆的方程为 ，
设直线 的方程为： ，设 ， ， ， ，
联立 ，整理可得： ，
， ，
，
所以 ， ，
因为点 在以 为直径的圆上，
所以 ，
因为 ，
，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
所以 。
故答案为： 。

【分析】由抛物线的焦点 ， ，再利用中点坐标公式求出点 ， 的中点坐标，从而求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出圆的半径，进而求出 为直径的圆的标准方程为 ，设直线 的点斜式方程为： ，设 ， ， ， ，再联立直线与抛物线的标准方程结合韦达定理得出，再利用中点坐标公式得出 ，再利用代入法得出，从而求出点 ， ，因为点 在以 为直径的圆上，再利用圆的直径所对的圆周角为直角的性质，所以 ，因为 ，再利用两点求斜率公式得出，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而求出直线AB的斜率，进而求出点M的坐标，再结合两点求距离公式，从而求出线段MF的长。
16.【解析】【解答】 且 ，
，
。
故答案为： 。

【分析】利用且 ，得出， 从而结合乘除相消法求出的值。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合余弦定理，从而求出BD的长。
〔2〕 由〔1〕知 ，再利用勾股定理求出 ，令 ，由 ，所以求出角的取值范围，再利用三角函数的定义得出 ， 。
假设选①：利用三角形的面积公式结合求和法和二倍角的正弦公式，得出， ，利用正弦型函数的图像得出，从而可知四边形 的面积的取值范围。
假设选②：利用四边形的周长公式结合辅助角公式化简为正弦型函数，即，再利用角的取值范围，从而结合正弦型函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出四边形 的周长的取值范围。
假设选③：利用余弦定理结合二倍角的正弦公式和余弦公式，再结合辅助角公式化简为正弦型函数，即，再利用角的取值范围，再结合正弦型函数的图像求值域的方法，进而求出四边形 的对角线AC的长的取值范围。
18.【解析】【分析】〔1〕利用该饼状图结合条件，从而结合样本容量乘百分率的方法，进而估计出2021年发射的航天器中Ⅳ类，Ⅴ类，Ⅵ类的个数。
〔2) 由〔1〕的计算，采用分层抽样的方法, 可知抽取的9个航天器中Ⅳ类2有个，Ⅴ类有4个，Ⅵ类有3个， 进而求出随机变量X的可能的取值，再利用组合数公式结合古典概型求概率公式，进而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
19.【解析】【分析】〔1〕 依题意可以判断，直线 与平面 平行，连结 ，因为， 分别是 ， 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出线线平行，所以，又因为 ，且 ，再利用平行四边形的定义推出四边形 是平行四边形，再利用平行四边形的结构特征推出 ，所以 ，再利用线线平行判断并证出线面平行，即证出 平面 。
〔2〕 以 为原点，向量 ， ， 的方向为 ， ， 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，进而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，设出平面 的一个法向量为 ， 再利用数量积求向量夹角的方法结合诱导公式，再结合条件直线 与平面 所成的角为 ， 从而求出h的值，进而求出平面 的一个法向量为 ， 再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出平面 的一个法向量的坐标，再利用数量积求向量的夹角公式，从而求出锐二面角 的余弦值 。
20.【解析】【分析】(1)利用椭圆C的短轴长为2，从而求出b的值，再利用椭圆的离心率为 结合离心率公式，从而求出a,c的关系式，再结合椭圆中a,b,c三者的关系式，从而解方程组求出a,c的值，进而求出椭圆的标准方程。
〔2〕 设椭圆C的左右顶点分别为 ， ， 依题意得出 ，设点 ， ，再利用直线与椭圆相交，联立二者方程结合韦达定理得出，从而 〔 * 〕，再利用两点求斜率公式得出 ， ， 因为，所以,将〔 * 〕代入得出 ， 故直线 过定点 。
21.【解析】【分析】〔1)利用r的值结合参数方程与普通方程的转化方法，从而求出曲线 的普通方程，再结合极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出曲线 的极坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，从而求出曲线 的普通方程，再联立曲线 与曲线 的普通方程求出交点的直角坐标。
〔2〕 依题意，设 ，那么由对称性可知矩形ABCD面积 ，再利用极坐标与直角坐标的互化公式和二倍角的正弦公式得出，再代入 ，再利用二倍角的正弦公式得出， 再结合正弦型函数图象求最值的方法，从而求出矩形 面积的最大值。
 
 
22.【解析】【分析】〔1〕利用m的值求出函数的解析式，再利用零点分段法求出绝对值不等式的解集。
〔2〕 利用绝对值三角不等式，由 ， ，再利用均值不等式求最值的方法得出   ，由题意结合绝对值不等式求解集的方法，从而求出实数m的取值范围。