2021届广东省珠海市高三数学二模试卷及答案

这是一份2021届广东省珠海市高三数学二模试卷及答案，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高三数学二模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
2. 是虚数单位，复数 满足 ， 对应复平面内的点 ，那么 〔    〕
A. 1                                           B. 2                                           C. 3                                           D. 4
3. ，满足 ， ， ，那么〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
4.向量 、 满足 ， ，且 ，那么 〔    〕
A. 3                                         B.                                          C. 7                                         D. 
5.5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，那么共有〔    〕种不同的分配方法
A. 24                                         B. 48                                         C. 96                                         D. 12
6.函数 的图像为〔    〕
A.        B. 
C.       D. 
7.设数列 是等差数列， 是数列 的前 项和， ， ，那么 〔    〕
A. 18                                         B. 30                                         C. 36                                         D. 24
8.?九章算术?勾股章有一问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？〞，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在地面的局部尚有三尺，牵着绳索退行，拉直绳索，绳索头与地面接触点离木柱根部八尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱中点上方的概率为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
二、多项选择题
9.函数 ，那么〔    〕
A. 恒成立                                                  B. 是 上的减函数
C. 在 得到极大值                          D. 只有一个零点
10.函数 ，那么〔    〕
A. 是函数 的一个周期
B. 是函数 的一条对称轴
C. 函数 的一个增区间是
D. 把函数 的图像向左平移 个单位，得到函数 的图像
11.如图，三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 到平面 的距离为 ，那么〔    〕

A.                                                                B. 三棱锥 的外接球的外表积为
C. 直线 与直线 所成角的余弦值为        D. 与平面 所成角的正弦值为
12.分形几何学是一门以不规那么几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反响系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段 上取两个点 、 ，使得 ，以 为边在线段 的上方做一个正方形，然后擦掉 ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图 ，各图中的线段长度和为 ，数列 的前 项和为 ，那么〔    〕

A. 数列 是等比数列                                          B. 
C. 恒成立                                                     D. 存在正数 ，使得 恒成立
三、填空题
13.假设 的二项展开式中二项式系数最大项为 ，那么a=________.
14.某校期末考试数学平均分 ，那么 ________.
附： ，
15.设圆锥曲线 的两个焦点分别为 ， 为曲线 上一点， ，那么曲线 的离心率为________.
16.正方体 的棱长为2，点 为平面 内的动点， ，那么 长度的最小值为________.

四、解答题
17.在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：如图，直角 中， ， ，且  ▲  ， 点 在 的延长线上， ，求 长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.等差数列 满足 ， .
〔1〕求数列 的通项 ；
〔2〕假设 ，求数列 的前40项和 .
19.如图，圆柱 ，矩形 为过轴 的圆柱的截面，点 为弧 的中点，点 为 的中点.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕假设 ，三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值.
20.现有甲乙两个工程，对甲、乙两个工程分别投资202万元，甲工程一年后利润是1万元、2万元、3万元的概率分别是 、 、 ；乙工程的利润随乙工程的价格变化而变化，乙工程在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为 ，设乙工程一年内价风格整次数为 ， 取0、1、2时，一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设 、 分别表示对甲、乙两个工程各投资20万元一年后的利润.
〔1〕写出 、 的概率分布列和数学期望；
〔2〕当 时，求 的取值范围.
21.函数 .
〔1〕， 时，讨论函数 的导数 的单调性；
〔2〕时，不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围.
22.椭圆 的离心率为 ，且 .

〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕点 为椭圆 的左､右顶点，点 为椭圆 上不同于A､ 的任一点，在抛物线 上存在两点 ，使得四边形 为平行四边形，求 的最小值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由 得 ，所以 ；
由 得 ，所以 .
所以， .
故答案为：B.

【分析】由指数不等式求出集合A，由一元二次不等求出B，再根据交集运算即可得出。
2.【解析】【解答】由 ，得 ，所以 ，因此 ，
所以 .
故答案为：A.

【分析】根据复数乘除运算化简复数z，求出， 再由复数的模即可求得。
3.【解析】【解答】因 ， ，那么a>0，b<0， ，A不正确； ，那么 ，B不正确；
又 ，即 ，那么 ， ，C符合题意；由 得 ，D不正确.
故答案为：C

【分析】根据不等式的性质即可判出A错误,B错误,D错误，C正确。
4.【解析】【解答】 ，可得 ，
因为 ，因此， .
故答案为：D.

【分析】根据平面向量数量积运算律和即可求出，进而得到  。  
5.【解析】【解答】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有 种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有 种，
故共有
故答案为：C

【分析】根据排列组合和分类计数原理即可求得。
6.【解析】【解答】因 ，即函数 是奇函数，其图象关于原点对称，从而排除B，C，
又 ，显然D不符合此条件，A符合要求.
故答案为：A

【分析】根据函数奇偶性可判出 是奇函数即可判出B和C错误，再代入特值1可判出D错误，从而得A正确。
7.【解析】【解答】因数列 是等差数列，由等差数列的性质知： ，
而 ，那么 ，等差数列 公差 ，
首项 ，那么 .
故答案为：D

【分析】根据等差数列性质和前n项和公式可求得，a4=5，再根据前n项和即可求出S6.
8.【解析】【解答】根据题设条件，作示意图如下列图，设绳索长为 尺，那么木柱 ，由勾股定理，

得 ，解得 ，故所求的概率为： .
故答案为：B

【分析】设绳索长为 尺，根据勾股定理解得 ， 再根据几何型概率即可求得。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】 ，该函数的定义域为 ， .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
，B选项错误，C选项正确；
当 时， ，此时 ，A选项错误；
由 ，可得 ，解得 ，D选项正确.
故答案为：CD.

【分析】根据对数函数图像特征可判出A错误，利用导数求得的单调性 和极值可判断B错误，C正确，根据函数零点可求得故D正确。 ，
10.【解析】【解答】依题意： ，
对于A选项： 的周期 ，即A符合题意；
对于B选项：因 ，那么 不是函数 的对称轴，即B不正确；
对于C选项： 得 ，
即 单调递增区间是 ，k=0时， 是 的一个增区间，即C符合题意；
对于D选项：函数 的图像向左平移 个单位得 ，即D符合题意.
故答案为：ACD

【分析】利用三角函数公式把 化为 =2sin〔2x+)，对于A由周期公式判的A正确，B根据对称轴性质判的B错误，C根据单调区间可判断C正确，D根据正弦型函数图像变换可判断D正确。
11.【解析】【解答】因为 ， ， ，
所以 ，即 ，
又因为 平面 ，
所以 ，设 ，
根据等体积法 ，即 ，
解得 ，所以 ，A选项正确；
所以三棱锥 的外接球的半径与以 为邻边的长方体的外接球的半径相等，
所以三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的外表积为 ，B选项正确；
过点 作 的平行线 ，那么 平面 ，
所以以点 为坐标原点， 所在边分别为 轴建立空间直角坐标系，

那么 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以直线 与直线 所成角的余弦值为 ，C选项错误；
因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
那么 ，即 ，令 ，所以 ，由于
故设 与平面 所成角为 ，
那么 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 ，D选项正确；
故答案为：ABD

【分析】对于A设 ， 根据等体积法 解得 可判A正确。
B 根据三棱锥外接球半径可求出三棱锥 的外接球的半径为 ， 进而求得其外表积为  B选项正确。
C 过点 作 的平行线 ，那么 平面 ，所以以点 为坐标原点， 所在边分别为 轴建立空间直角坐标系利用空间向量可求出直线 与直线 所成角的余弦值为 ，C选项错误。
D 利用空间向量即可求得与平面 所成角的正弦值为 ，D选项正确。
12.【解析】【解答】由题意可得 ， ， ，
以此类推可得 ，那么 ，
所以，
，所以，数列 不是等比数列，A选项错误；
对于B选项， ，B选项正确；
对于C选项， 恒成立，C选项正确；
对于D选项， 恒成立，那么数列 单调递增，
所以，数列 无最大值，因此，不存在正数 ，使得 ，D选项错误.
故答案为：BC.

【分析】A由递推关系可得 ，那么 ， 再利用累加法可求得an=3-,可判的A错误。
B根据等差和等比数列求和公式 得，B选项正确。
C根据 可判C正确。
D根据an恒大于零 得出数列 单调递增，故数列 无最大值，即可判的D错误。
三、填空题
13.【解析】【解答】因为 的二项展开式共有9项，所以二项式系数最大项是第5项.
，所以 ，又 ，所以 .
故答案为：3.

【分析】由二项式定理可求得二项式系数最大项是第5项为70a4x2 ， 结合即可求得。
14.【解析】【解答】因数学平均分 ，那么平均分X的期望 ，标准差 ，由正态分布的性质可得：
， ，
那么
.


【分析】利用正态分布概率即可求得。
15.【解析】【解答】依题意：令焦距 ，那么 ，
当曲线C是椭圆时，长轴长 ，其离心率 ，
当曲线C是双曲线时，实轴长 ，其离心率 ，
所以曲线 的离心率为 或2.
故答案为： 或2

【分析】分椭圆和双曲线两类再根据椭圆和双曲线的离心率公式即可求得。
16.【解析】【解答】在正方体 中，连接B1D1交A1C1于点O ， 那么B1D1⊥A1C1 ， 而AA1⊥平面A1B1C1D1 ， 即B1D1⊥AA1 ， 如图：

从而有B1O⊥平面A1B1C1D1 ， 连OE ， Rt△B1OE中， ，而 ，那么 ，
所以点E在平面ACC1A1内的以O为圆心， 为半径的矩形ACC1A1内的半圆上，
而点A及半圆弧在半圆O的直径A1C1同侧，且点A在半圆弧外，那么有 .
故答案为：

【分析】连接B1D1交A1C1于点O，由线面垂直判定得B1O⊥平面  ，易求得所以点E在平面ACC1A1内的以O为圆心， 为半径的矩形ACC1A1内的半圆上，易得   长度的最小值。
四、解答题
17.【解析】【分析】 选① 根据三角函数公式条件①可解得   ,可得B=， 进而得  ，再根据余弦定理可求得。
选② 由三角函数公式可求得  ，得C=，  进而得 再根据余弦定理可求得。
选③ 根据三角函数公式可得sin(C+)=1 进而得 ,再根据余弦定理可求得.
18.【解析】【分析】 (1)根据等差数列通项公式即可解得。
(2)  分两种情况， 为奇数时，易得 ，   为偶数时，  时，   ，   时， ​​​​​​​，再根据等差数列前n项和即可求得。
19.【解析】【分析】〔1〕根据线面平行的判定即可证出。
〔2〕根据三棱锥体积公式 得   ，    ， 取  中点   ， 连接 ，再根据二面角的平面角及其求法即可求得。
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕根据数学期望公式即可求得。
〔2〕由题意得  ，解该不等式结合 ，即可求得。
21.【解析】【分析】〔1〕先求出  再根据导数即可推出   在  上单调减，在  上单调增 。
〔2〕所求等价于 恒成立 利用导数推出   在  上单增， 分  和   两种情况利用单调性即可求出。
22.【解析】【分析】〔1〕利用椭圆性质结合即可求得a,b,c,从而从而可得椭圆标椎方程。
〔2〕 连接  设交于 ，由平行四边形性质得   为  的中点且  与  轴既不垂直也不平行 ，联立直线QR与抛物线C2得D坐标进而得P坐标，代入曲线   ，再利用同角三角根本关系式推得    ，   结合 解得 ， 易得p,即可求得p最小值。