2021届广东省高三数学一模试卷及答案

这是一份2021届广东省高三数学一模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                           B.                           C.                           D. 
2.假设复数 满足 ，那么 〔    〕
A.                                         B.                                         C. 5                                        D. 
3.函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
4.函数 的最大值为〔    〕
A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7
5.数列 的前 项和 ，那么数列 的前10项和等于〔   〕
A. 1023                                       B. 55                                       C. 45                                       D. 35
6. ， 是两个正数，4是 与 的等比中项，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 的最小值是1        B. 的最大值是1        C. 的最小值是         D. 的最大值是
7.?算数书?是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖〞的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长 与高 ，计算其体积 的近似公式 ，用该术可求得圆周率 的近似值.现用该术求得 的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的外表积的近似值为9，那么该圆锥体积的近似值为〔    〕
A.                                        B. 2                                        C. 3                                        D. 3
8.假设 的展开式中 的系数为3，那么 〔    〕
A. 1                                          B.                                           C.                                           D. 2
二、多项选择题
9.曲线 ，且 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A. 假设曲线 为椭圆或双曲线，那么其焦点坐标为〔 ，0〕
B. 假设曲线 是椭圆，那么
C. 假设 且 ，那么曲线 是双曲线
D. 直线 与曲线 恒有两个交点
10. 是定义在 上的奇函数， 的图象关于 对称，当 时， ，那么以下判断正确的选项是〔    〕
A. 的值域为             B. 的周期为2            C. 是偶函数            D. 
11.函数 ，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 假设函数 的最小值为－5，那么
B. 假设 〕，那么 使得 成立
C. 假设 ， x∈[0， ] 都有 成立，那么
D. 假设函数 在 上存在最大值，那么正实数 的取值范围是
12.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．〞事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数 ，以下结论正确的选项是〔    〕
A. 无解                                                     B. 的解为
C. 的最小值为2                                          D. 的最大值为2
三、填空题
13. ， ，且 ，那么 ________．
14.某圆形广场外围有12盏灯，如下列图，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏灯，那么恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是________.

15.在四面体 中， ，二面角 为 ，那么四面体 的外接球的外表积为________．
16.斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，假设 ，那么 ________, 为坐标原点〕的面积为________．
四、解答题
17.记 为数列 的前 项和， ，______．
〔1〕求数列 的通项公式；
〔2〕假设 ，设数列 的前 项和为 ，证明： ， ．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.
条件①： ， ；
条件②： ， ；
条件③： +1， ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ．
〔1〕求角 的大小；
〔2〕假设 ， ，点 满足 ，求 的面积
19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，

〔1〕证明： 平面 ；
〔2〕线段 上是否存在一点 ，使得 与平面 所成角的正弦值为 ?假设存在，请求出 的值；假设不存在，请说明理由.
20.椭圆 的离心率为 ，过椭圆 右焦点并垂直于 轴的直线 交椭圆 于 ， 〔点 位于 轴上方〕两点，且 〔 为坐标原点〕的面积为 ．
〔1〕求椭圆 的标准方程；
〔2〕假设直线 交椭圆 于 ， 〔 ， 异于点 〕两点，且直线 与 的斜率之积为 求点 到直线 距离的最大值.
21.函数 ．
〔1〕讨论函数 的零点个数；
〔2〕设 ， 是函数 的两个零点，证明： ．
22.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量〞成为口罩生产线上的重要标语．

〔1〕在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．批次 的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为 ， ．
①求批次I成品口罩的次品率 ．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率〔百分号前保存两位小数〕.
〔2〕某批次成品口罩的次品率为 ，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为 ，记 的最大值点为 ，改进生产线后批次 的口罩的次品率 ．某医院获得批次 ， 的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求 ，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附： ．
P〔K2≥k〕




k





答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ .
故答案为：A.

【分析】 可求出集合M，N，然后进行并集的运算即可.
2.【解析】【解答】解：由 ，
得 ，
∴ ，
那么 .
故答案为：D.

【分析】 把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.
3.【解析】【解答】解：因为函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，
所以 与 互为反函数，
故 ，
所以 .
故答案为：C.

【分析】 利用图象关于直线y=x对称，求出 的反函数即为y=f (x) ，将x=2e代入y=f (x)求解即可.
4.【解析】【解答】解：函数
，
由于 ，
故 ，由于函数 的对称轴为 ，
当 时， 取得最大值 ，
故答案为：B

【分析】 直接利用三角函数的关系式的变换和二次函数的性质的应用求出结果.
5.【解析】【解答】因为 ,所以当 时, ;当 时, ,当 时, 亦满足;所以 ,所以 ,所以前10项和等于 ,
故答案为：C.

【分析】 利用an=Sn-Sn-1可知当n≥2时an=2n-1,进而可知an=2n-1,利用对数的运算性质可知log2an=n-1，进而利用等差数列的求和公式计算可得结论.
6.【解析】【解答】由题可得 ，所以 ，即
所以 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值为1，A不符合题意，B符合题意.
因为 ，当且仅当 等号成立
故 的最小值为 ，无最大值，C和D都错误.
故答案为：B

【分析】 由利用等比数列的性质，根本不等式得ab≤1，即可判断A，B；利用根本不等式即可判断C，D,即可得解.
7.【解析】【解答】解：圆锥的体积 ，解得 ，
那么设所求圆锥的底面直径与母线长为 ，那么底面半径为 ，
那么 ，解得 ，
设高为 ，那么 .
故答案为：A

【分析】 根据圆锥的体积公式先求出π的近似值，然后根据圆锥的外表积公式建立等式求出底面半径，最后根据体积公式进行求解即可.
8.【解析】【解答】解： ，
而 的展开式的通项公式为 ，
故 的展开式中 的系数为 ，
那么 ，
故答案为：C．

【分析】 式子即， 再利用二项展开式的通项公式，求得 的系数，根据    的系数为3，求得a的值.
二、多项选择题
9.【解析】【解答】假设曲线表示椭圆，
∵ ，
∴ ， ，
那么 ，
即椭圆焦点在 轴，
那么 ，得 ，此时焦点坐标为
假设曲线表示双曲线，由 ，得 ，
此时双曲线的标准方程为 ，
那么 ， ，
即焦点在 轴，那么 ，得 ，
此时焦点坐标为 ，A符合题意；
假设曲线表示椭圆，
∵ ，
∴ ， ，那么 ，B符合题意；
假设曲线表示双曲线，由 ，得 ，C不符合题意；
由 得 ，
得 ，得 ， ，
即直线过定点 ，
当曲线为双曲线时， ，此时 ，
当 时， ，此时，双曲线右顶点为 ，在点 的右侧，
此时直线不一定有两个交点，D不符合题意.
故答案为：AB.

【分析】根据双曲线和椭圆方程的特点分别进行判断，即可得出答案。
10.【解析】【解答】对于A，当 时， ，此时 ，
又由 是定义在 上的奇函数，那么 ，且当 时， ，
故在区间 上， ，A不符合题意，
对于B，函数 图象关于直线 对称，那么有 ，
又由 是定义在 上的奇函数，那么 ，
那么有 ，故 是周期 的周期函数，B不符合题意；
对于C， 的图象关于 对称，那么函数 的图像关于 轴对称， 是偶函数，C符合题意，
对于D， 是周期 的周期函数，那么 ，D符合题意，
故答案为：CD

【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案。
11.【解析】【解答】解：对于A，函数 ，其中 ，
因为函数 的最小值为-5，所以 ，解得 ，A不符合题意；
对于B，假设函数 ，
那么 ，
因为 ，所以 ， ， ，
， ，此时 ，
所以不存在 使得 成立，B不符合题意；
对于C，假设 ，那么 ，
因为 ，所以 ， ，
，
因为 都有 成立，
所以 ，解得 ，即 ，C符合题意；
对于D， ，其中 ，
因为函数 在 上存在最大值，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
，D符合题意.
故答案为：CD.

【分析】根据辅助角公式化简得， 其中 ，再根据正弦函数的性质，逐项进行判断，即可得出答案。
12.【解析】【解答】解： ，

设 ， ， ，
那么 ，
假设 ，那么 ，
那么 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，
此时 ， ，即 ， ，
即椭圆方程为 ，当 时，得 ，得 ，得 ，A不符合题意，B符合题意，
关于 对称点为 ，
那么 ，当 三点共线时， 最小，此时 ， 无最大值，
C符合题意，D不符合题意，
故答案为：BC.

【分析】 根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可.
三、填空题
13.【解析】【解答】解：根据题意， ， ，且 ，
那么有 ，变形可得 ，
那么 ，
故 ，
故答案为：7．

【分析】根据题意，对 变形可得的值，又由， 计算可得答案.
14.【解析】【解答】将12盏灯依次编号为1、2、3、…、12，
从12盏灯中关掉4盏灯，共有 种方法，
每间隔2盏灯关掉1盏共有3种情况，即关掉 或 或 ，
所以恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率为 ，
故答案为： .

【分析】 先对12盏灯依次编号，然后求出总的情况，然后再对所求事件的情况分类讨论即可求解.
15.【解析】【解答】解：作空间四边形 ，取 的中点 ，连接 ， ，如以下列图所示，

由可得， ， 为等边三角形，那么 ， ，
∴ 为二面角 的平面角，大小为 ，
设 的外心为 ， 的外心为 ，连接 ，
分别过 ， 作所在面的垂线，相交于 ，那么 为四面体 的外接球的球心，
由求得 ，
在 中， ，
∴ ，
又 ，
所以 为等边三角形，所以 ，
故四面体 的外接球的半径 ，
∴四面体 的外接球的外表积为 .
故答案为： .

【分析】 由题意画出图形，找出四面体外接球的球心,求解.三角形可得外接球的半径，再由球的外表积公式求解.
16.【解析】【解答】解：由抛物线的方程可得焦点 的坐标 ，准线方程为 ，
设 ， ，由题意设直线 的方程： ，
联立 ，整理可得： ，
可得 ， ，
所以 ， ，
，所以 ，
，
故答案为： ， ．

【分析】 由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意可设直线AB的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得弦长|AB|的值，由题意可得p的值，代入面积公式可得三角形的面积.
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)选①②时，直接利用递推关系求出数列 ，进一步求出数列的通项公式，选③时，利用   (常数)，进一步求出数列  是以1为首项，1为公差的等差数列 ， 最后求出数列的通项公式；
(2)利用(1) 的通项公式，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果.
18.【解析】【分析】 (1)利用正弦定理及余弦定理对进行化简，即可求解；
(2)由(1) 可求a，然后结合三角形的面积公式即可求解.
19.【解析】【分析】 (1)由平面PAB⊥平面ABCD，推出AD⊥平面PAB，有AD⊥PA，再由勾股定理的逆定理证明PA⊥AC，最后由线面垂直的判定定理，得证；
(2)以A为原点建立空间直角坐标系，设   ，    ，    ， 求得平面PCD的法向量 ， 由    ，  求出  的值后，即可得解.
20.【解析】【分析】 (1)由离心率和三角形OPM的面积即a, b, c之间的关系求出a, b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)设直线l的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线PA, PB的斜率之积,由题意可得参数的值，即求出直线l过的定点Q的坐标，进而求出P到直线l的距离的最大值为PQ。
21.【解析】【分析】 (1) 由题知函数  的定义域为   ，  ， 利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数y=f (x)的零点；
(2)利用(1) 的结论，证明 ， 将所要证明的不等式转化为证明  ，结合   ，   是函数  的两个零点 ，进一步转化为证明   ， 即可证得   。
22.【解析】【分析】 (1)①利用概率的乘法公式求解即可；
②先求出批次I的成品口罩红外线自动检测合格的概率，然后利用概率公式求解即可；
(2)求出100个成品口罩中恰有1个不合格的概率φ (p)，然后利用导数求解φ (p)的最大值点，即可求出 ，然后列出2 X 2列联表，求解K2然后与临界值表比较即可得到答案.