2021届安徽省芜湖市高三下学期理数5月教育教学质量监控试卷及答案

这是一份2021届安徽省芜湖市高三下学期理数5月教育教学质量监控试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


安徽省芜湖市高三下学期理数5月教育教学质量监控试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
2.假设 ，那么 〔    〕
A. 1                                     B. -1                                     C.                                      D. 
3.甲、乙两名同学在高三的六次模考中数学成绩统计如图，那么以下说法错误的选项是〔    〕

A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B. 第5次模考甲的数学成绩比乙高
C. 假设甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ，那么
D. 假设甲、乙两组数据的方差分别为 ， ，那么
4.方程 表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，那么离心率 〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
5. ， ， ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
6.三位同学获得本年度数学竞赛前三名，老师告知他们如下信息：①甲不是第一名；②乙是第三名；③丙不是第三名，并告知他们以上3条信息有且只有1条是正确信息，那么该三位同学的数学竞赛成绩从高到低的排序为〔    〕
A. 甲、乙、丙                       B. 丙、甲、乙                       C. 甲、丙、乙                       D. 乙、甲、丙
7.函数 的局部图象可能为〔    〕
A.                            B. 
C.                            D. 
8. ，其中 为常数，假设 ，那么 〔    〕
A. -32                                        B. 32                                        C. 64                                        D. -64
9.正四面体 的棱长为2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，那么正四面体 的外接球被平面 所截的截面面积是〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
10. 的外接圆半径为2，内切圆半径为1， ，那么 的面积为〔    〕
A.                               B.                               C. 4或                               D. 或
11.无穷等比数列 满足 ，其前 项和为 ，那么〔    〕
A. 数列 为递增数列     B. 数列 为递减数列     C. 数列 有最小项     D. 数列 有最大项
12.函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， .假设对任意的 ，均有 ，那么实数 的最大值是〔    〕
A.                                        B.                                        C. 0                                       D. 
二、填空题
13. ， ， 是单位向量， ，那么 ________．
14. ， 均为锐角，假设 ， ，那么 ________．
15. 是抛物线 的焦点， ， 为抛物线上任意一点，当 取最小值时， ________．
16.在棱长为1的正方体 中， 为棱上一点，满足 〔 为定值〕．记 点的个数为 ，有以下说法：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， ；④ 的最大值为8．其中说法正确的选项是________．
三、解答题
17. 为数列 的前 项和，满足 ， ．再从条件①②③中选择一个作为条件，完成以下问题：
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕求数列 的前 项和．
条件① ；② 〔 为常数〕；③ ．
注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分．
18.如图，在圆柱 中，矩形 是圆柱 的轴截面，点 在上底面圆周上〔异于 ， 〕，点 为下底面圆弧 的中点，点 与点 在平面 的同侧，圆柱 的底面半径为1，高为2．

〔1〕假设点 是圆弧 的中点，证明：平面 平面 ；
〔2〕假设 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.双曲线 ： 的右焦点为 ，离心率 ，直线 ： 与 的一条渐近线交于 ，与 轴交于 ，且 .
〔1〕求 的方程；
〔2〕过 的直线 交 的右支于 ， 两点，求证： 平分 ．
20.第24届冬奥会将于2022年2月在中国北京市和张家口巿联合举行．某城市为传播冬奥文化，举行冬奥知识讲解员选技大赛．选手需关注活动平台微信公众号后，进行在线答题，总分值为200分．经统计，有40名选手在线答题总分都在 内．将得分区间平均分成5组，得到了如下列图的频率分布折线图．

〔1〕请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并估计这40名选手的平均分；
〔2〕根据大赛要求，在线答题总分不低于190分的选手进入线下集训，线下集训结束后，进行两轮考核．第一轮为笔试，考试科目为外语和冰雪运动知识，每科的笔试成绩从高到低依次有 ， ， ， 四个等级．两科均不低于 ，且至少有一科为 ，才能进入第二轮面试，第二轮得到“通过〞的选手将获得“冬奥知识讲解员〞资格．总分高于195分的选手在每科笔试中取得 ， ， ， 的概率分别为 ， ， ， ；总分不超过195分的选手在每科笔试中取得 ， ， ， 的概率分别为 ， ， ， ；假设两科笔试成绩均为 ，那么无需参加“面试〞，直接获得“冬奥知识讲解员〞资格；假设两科笔试成绩只有一个 ，那么要参加面试，总分高于195分的选手面试“通过〞的概率为 ，总分不超过195分的选手面试“通过〞的概率为 ．假设参加线下集训的选手中有2人总分高于195分，求恰有两名选手获得“冬奥知识讲解员〞资格的概率．
21.函数 ， ．
〔1〕讨论函数 ， 的单调性；
〔2〕假设 ，求实数 的取值范围．
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 〔 为参数， 〕，以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 ： 与曲线 的交点为 ， ，直线 ： 与曲线 的交点为 ， ．
〔1〕求曲线 的普通方程；
〔2〕证明： 为定值．
23.正数 ， ， 满足 ．
〔1〕求证： ；
〔2〕求证： ．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】∵集合 ， ，
∴ ，
故答案为：B

【分析】 直接利用交集运算求解．
2.【解析】【解答】因为 ,故 .
故答案为：C.

【分析】 利用共轭复数的定义、模的计算公式即可得出.
3.【解析】【解答】解：甲乙两名同学在本学期的六次考试成绩统计如图，
甲乙两组数据的平均值分别为 ， ，
甲、乙两组数据的方差分别为 ， ，
那么由折线图得：
在 中，甲成绩的极差小于乙成绩的极差, 故 正确；
在 中，第5次模考甲的数学成绩比乙高，故 正确；
在 中， ，故 正确；
在 中， ，故 错误．
故答案为：D．

【分析】 利用折线图的性质直接求解。
4.【解析】【解答】解：因为方程 表示椭圆，所以 ， ，所以 ，所以 ，因为焦距为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以
故答案为：B

【分析】由题意可得， ，得到 ，再由椭圆两焦点间的距离为4，求得，即可得出， ， 进而得出离心率。
5.【解析】【解答】 ， ， ， ，
.
故答案为：C.

【分析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性，运用中间数比较法进行求解，即可得出答案。
6.【解析】【解答】假设①正确，②③不正确，即甲不是第一名；乙不是第三名，并是第三名，
可得乙是第一名，甲是第二名，丙是第三名；
假设②正确，①③不正确，即甲是第一名，乙是第三名，丙时第三名，
此时乙与丙矛盾；
假设③正确，①②不正确，即甲是第一名，丙不是第三名，丙不是第三名，
此时没有人是第三名，不符合题意，
综上可得：乙是第一名，甲是第二名，丙是第三名.
故答案为：D.

【分析】因为三条信息中有且只有一条信息正确，有个分析正确的信息，即可得出结论。
7.【解析】【解答】∵ ， ，
且 ，
∴ 是奇函数，故排除A、C；
假设 ，那么 ， ，所以 ，故排除D.
故答案为：B.

【分析】判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可。
8.【解析】【解答】解：由多项式乘法知，第一个因式中 乘以 展开式中的 项得一个 项，
第一个因式中的常数 乘以 展开式中的 项得另一个 项，
两项合并同类项得系数即为 ，所以 ，解得 ，
再令 ，得 .
故答案为：A.

【分析】由多项式乘法知，第一个因式中 乘以 展开式中的 项得一个 项，第一个因式中的常数 乘以 展开式中的 项得另一个 项，两项合并同类项得系数即为 ，所以 ，再令 ， 即可得出答案。
9.【解析】【解答】将正四面体放入正方体中，如下列图，

因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ， 分别为左右侧面的中心，
所以正方体的外接球即正四面体的外接球球心为线段 的中点，
所以正四面体 的外接球被平面 所截的截面即为大圆.
因为正四面体 的棱长为2，所以正方体的棱长为 ，
所外接球半径 ，
所以大圆面积为： .
故答案为：C.

【分析】将正四面体放入正方体中，根据题意可得球心在上，所以正四面体的外接球被平面所截的截面即大圆，进而可得其面积。
10.【解析】【解答】因为三角形外接圆半径R＝2，内切圆半径r＝1，且a= ,由那么， 当三有形ABC是锐角三角形时，
 (1)当三有形ABC是锐角三角形时，,
因为
又，
由(1)(2)得
又由余余弦定理有c2=a2+b2+2abcosC, 那么 12＝a2+b2－3ab,  那么〔a+b)2-3ab=12，
所以〔a+b)2=12+3ab－－－－〔4〕将〔4〕代入3〕，求得, 将
〔5〕代入〔2〕得到,
〔2〕而当三角形ABC是直角或钝角三角形时，不满足条件， 所以此题选 A
【分析】用正弦定理，余弦定理三角形面积与外接圆及内切圆的半径的关系，经过复杂运算，求三角形面积。
11.【解析】【解答】解：因为无穷等比数列 满足 ，所以 ，即 ，
由 ，所以 ，又 ，所以
所以
当 时， ， 递减， 单调递增，所以 有最小项 ；
当 时， ， 不具有单调性， 不单调，但 ， ， ， 且 ，所以 有最小项 ；
故答案为：C

【分析】由分析等比数列的公比范围，然后结合求和公式分析的单调性，结合选项可求。
12.【解析】【解答】∵ 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，
∴ ，当 时为增函数，
∴ ，
那么 等价于 ，
即 ，即 对任意 恒成立，
设 ，
那么有 ，解得 ，
又∵ ，∴ .
故答案为：A.

【分析】首先根据函数是偶函数，求出函数的解析式，结合不等式的关系进行转化，利用单调性转化为不等式恒成立问题即可得出答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】∵ ，∴ ，
两边平方可得 ，
又∵ ， ， 是单位向量，
∴ ，∴ ，
∴ .
故答案为： .

【分析】两边平方可得 ，由    ，    ，   是单位向量得， 再根据模长公式可得答案。
14.【解析】【解答】解： ， 均为锐角，
，
，
，
，
，
.
故答案为： .

【分析】由求得， 结合诱导公式可得.
15.【解析】【解答】由题意得 ，
抛物线 的准线方程方程为 ，点 在准线上，如下列图，

过 向抛物线的准线 作垂线，垂足为 ，
根据抛物线的定义知 ，
所以 ，
即问题转化为当直线 的倾斜角的正弦值最小时，求 的值；
设 ，当直线与抛物线相切时，倾斜角的正弦值最小.
联立 ，
判别式 时，解得 ，
此时 ，∴ .
故答案为： .

【分析】由题意得 ，抛物线 的准线方程方程为 ， 根据抛物线的定义知 ，所以 ，即问题转化为当直线 的倾斜角的正弦值最小时，求 的值，把直线与抛物线联立，当直线与抛物线相切时，倾斜角的正弦值最小，即可求出 。
16.【解析】【解答】根据正方体的对称性，可把正方体的12条棱分成四类：(1)棱AB ， BC ， CD ， DA；(2)棱AA1 ， CC1；(3)棱BB1 ， DD1；(4)棱A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1 ， 如图：

(1)当点P在棱AB ， BC ， CD ， DA中任意一条上时，不妨是如图中P1位置，令|P1B|=x(0≤x≤1)，
|P1A|=1-x ， ， ，
，d(x)在[0，1]上递减， ，当且仅当P1与A ， C之一重合时 ，P1与B重合时 ；
(2)当点P在棱AA1 ， CC1中任意一条上时，不妨是如图中P2位置，令|P2A|=x(0 ， 在(0，1]上递增， ，
当且仅当P2与A1 ， C1之一重合时 ；
(3)当点P在棱BB1 ， DD1中任意一条上时，不妨是如图中P3位置，令|P3B|=x(0 ， 在(0，1]上递增， ，当且仅当P3与B1 ， D1之一重合时 ；
(4)当点P在棱A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1中任意一条上时，不妨是如图中P4位置，令|P4A|=x(0 ，
， ，
由 得 ，d(x)在 上递减，其值从 减到 ，
在 上递增，其值从 增到 ， 时 ，
因为
综上： ，n=2(P与A ， C之一重合)，
，n=6(P在AB ， BC ， CD ， DA ， AA1 ， CC1上各一个)，
d=2，n=2(P与B ， D之一重合)，
，n=4(P在AA1 ， CC1 ， BB1 ， DD1上各一个)，
，n=8(P在AA1 ， CC1 ， BB1 ， DD1 ， A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1上各一个)，
，n=12(P在AA1 ， CC1 ， BB1 ， DD1上各一个，在A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1上各两个)，
，n=8(P在AA1 ， CC1 ， BB1 ， DD1 ， A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1上各一个)，
，n=6(P在BB1 ， DD1 ， A1B1 ， B1C1 ， C1D1 ， D1A1上各一个)，
，n=2(P与B1 ， D1之一重合).
故答案为：①②③

【分析】根据正方体的结构特征以及对称性，代入特殊值逐项进行验证，即可得出答案。
三、解答题
17.【解析】【分析】 (1)选①②③主要利用关系式的应用求出数列的通项公式；
(2 ) 由〔1〕可知  ， 令 ，   ， 进一步利用二次函数性质的应用求出结果.
 
18.【解析】【分析】〔1〕由圆的性质得到 ， 证得 ，得到   ，再因为  圆面   得到   ，利用线面垂直的判定定理，证得  平面 ， 进而得到 平面  平面 ；
〔2〕 以  为坐标原点，分别以   ，    ，   所在直线分别为   ，    ，   轴建立如下列图的空间坐标系   ， 求得 和平面 的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解。
19.【解析】【分析】〔1〕 由  得  ，又  ，所以  ， 根据双曲线的定义，即可 ，   ，即可求出  的方程；
〔2〕设直线  的方程为  ，  ，  ，由  得 ， 利用韦达定理可得 ， 再由 ，得   ，可证得
 平分   。
20.【解析】【分析】 (1)根据频率分布直方图画法和中位数的计算公式，即可求解；
(2)求得总分不低于190分的选手有4人,其中有2人总分高于195分，2人总分不高于195分,结合独立事件的概率计算公式，即可求解。
21.【解析】【分析】〔1〕   ，  ，对函数求导，分  ，  两种情况讨论可得  的单调性；
〔2〕    ，    ， 所以  分  ，  ，  三种情况即可得出实数  的取值范围。
22.【解析】【分析】  (1) 由曲线E的参数方程消去参数，得到    , 即可求得E的普通方程；
(2)由(1)求得E极坐标方程为    , 用与其联立方程组，求得   和 ， 结合 ,即可求解.
23.【解析】【分析】〔1〕巧用“1〞利用柯西不等式即可得证；
〔2〕利用均值不等式即可得证。