2021届“陕西名校”高三理数5月检测试卷及答案

这是一份2021届“陕西名校”高三理数5月检测试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数5月检测试卷
一、单项选择题
1.集合 ，那么 〔    〕
A.           B.           C.           D. 
2.复数 的共轭复数为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
3.袋中有红､黄､绿，蓝颜色的球各一个，每次随机取一个后放回袋中，连续取四次，那么取出的球颜色完全不相同的概率为〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
4.实数 满足约束条件 ，那么目标函数 的最小值为〔    〕
A. -5                                        B.                                         C.                                         D. 4
5. 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，假设 ，那么以下不等式错误的选项是〔    〕
A.                      B.                      C.                      D. 
6. ，那么 〔    〕
A.                                          B. -1                                         C. 1                                         D. 2
7.如图，边长都为 的正方形 与正方形 的中心分别为 ，点 分别是 的中点，那么 〔    〕

A. -4                                         B. 8                                         C. 10                                         D. 
8.如以下列图的是某多面体的三视图，其中A和B分别对应该多面体的两个顶点，那么这两个顶点的距离为〔    〕

A.                                         B. 2                                        C.                                         D. 
9.在 中，角 的对边分别为 那么 边上的高为〔    〕
A. 1                                         B.                                          C.                                          D. 2
10.函数 图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，且 ，那么不等式 的解集为〔    〕
A.                               B. 
C.                            D. 
11.设 分别为双曲线 的左､右焦点，双曲线上存在一点 使得 ，那么该双曲线的离心率为〔    〕
A.                                         B. 3                                        C.                                         D. 
12.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，由美籍华人建筑师贝聿铭设计，已成为巴黎的城市地标.金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，假设该四棱锥的五个顶点都在一个球面上，那么球心到四棱锥侧面的距离为〔    〕

A.                                    B.                                    C.                                    D. 
二、填空题
13.曲线 在 处的切线方程为________.
14.的展开式中， 的系数为________.
15.抛物线 焦点为 为坐标原点，直线 过点 与抛物线交于 两点，与 轴交于 ，假设 ，那么 的面积为________.
16. ，设函数 假设关于 的不等式 在 上恒成立，那么 的取值范围________.
三、解答题
局部居民，调查他们对今年春节期间社区组织文艺和体育活动的意见(每人只选择其中一项)，调查结果如下表所示：

文艺活动
体育活动
男性居民
15
20
女性居民
25
10
〔1〕判断能否有95%的把握认为居民选择的活动类型与性别有关；
〔2〕用分层抽样方法，在样本中选择文艺活动的居民中按性别抽取8人，再从这8人中随机选3人，记这3人中男性居民的人数为 ，求 的分布列和数学期望.
附： ，其中 .
P〔K2≥k0〕



k0



18.公差不为0的等差数列 满足 ，且 成等比数列.
〔1〕求 的通项公式；
〔2〕设 ，求数列 的前 项和 .
19.如图，在正三棱柱 中， 分别是 的中点.

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的余弦值.
20.函数
〔1〕假设 对任意 恒成立，求 的最大值；
〔2〕假设 ，求 在 上的极值点的个数.
21.椭圆 过点 ，且离心率为 .
〔1〕求椭圆 的标准方程.
〔2〕设椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 在椭圆 外且位于第一象限，直线 和 分别交椭圆 于另外两点 和 在 轴的异侧 假设 ，求点 的横坐标的取值范围.
22.在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点为直角坐标系的原点，极轴为 轴正半轴建立直角坐标系
〔1〕求曲线 的直角坐标方程，并说明 是什么曲线；
〔2〕直线 的参数方程为 为参数， ，点 的直角坐标为 ，直线 与曲线 交于 两点，求 的最大值.
23.    
〔1〕设 ，证明 ；
〔2〕求满足方程 的实数 的值.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解 得 ，即 ，
解 得 ，即 ，
于是有 ，
所以 .
故答案为：B

【分析】先化简集合A,B，再根据交集的定义进行运算，即可得出答案。
2.【解析】【解答】 ，
故
故答案为：B

【分析】 首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，要求复数的共轭复数只要把复数的虚部变化为相反数.
3.【解析】【解答】解：依题意根本领件总数为 ，取出的球颜色完全不相同，即将红､黄､绿，蓝四个球全排列，那么满足条件的根本领件数为
故连续取四次，那么取出的球颜色完全不相同的概率
故答案为：C

【分析】依题意根本领件总数为 ，取出的球颜色完全不相同，即将红､黄､绿，蓝四个球全排列，那么满足条件的根本领件数为 ， 根据古典概率即可求出答案。
4.【解析】【解答】画出约束条件 表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区域，含边界，

目标函数 ，即 ，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l0： ，平移直线l0使其过点A时的直线纵截距最小，z最小，
由 得 ，即点 ，于是得 ，
所以目标函数 的最小值为-5.
故答案为：A

【分析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化为斜截式，找到截距的最小值可得答案。
5.【解析】【解答】根据题意可得函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
对A，由 在 上为增函数，且 ，
所以 ，A符合题意；
对B，由 ， ，B符合题意；
对C，由函数 在 上为增函数，所以 ，C符合题意；
对D，由函数 在 上为增函数，所以 ，D不符合题意.
故答案为：D

【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质分别进行转化判断，即可得出答案。
6.【解析】【解答】解：因为 ，所以




故答案为：C

【分析】利用二倍角公式及同角三角函数根本关系将弦化切，再代入计算可得。
7.【解析】【解答】解： ，

所以



故答案为：C
【分析】根据平面向量的线性运算得到 ，， 再根据平面向量数量积的运算，计算可得。
8.【解析】【解答】根据题意可得如以下列图直观图，为一组合体，

底面为直角梯形，侧棱垂直底面，
所以 ，
由高 ，
所以两个顶点的距离为 ，
故答案为：D.

【分析】根据题意可得如以下列图直观图，为一组合体，底面为直角梯形，侧棱垂直底面，根据勾股定理即可得出答案。
9.【解析】【解答】因为 所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 边上的高为 ，
故答案为：D.

【分析】先根据余弦定理求得a，再由余弦定理求得cosB，进而求得sinB，从而可得答案。
10.【解析】【解答】由题知，函数的周期 ，那么 ，
又 ， ，
那么 ，函数解析式为
那么
由正弦函数性质知， ，
解得
故答案为：C

【分析】由相邻两条对称轴间的距离求得， 由函数值求得， 写出函数解析式，解出解集即可。
11.【解析】【解答】设P点在双曲线右支上，由双曲线定义知， ，
那么由题知， ，
那么 ，
化简得 ，那么 ，
那么 ，离心率
故答案为：A

【分析】 由双曲线的定义可得，两边平方，再由条件,即可得到a, b的关系，再由双曲线的a, b, c的关系式，结合离心率公式，即可求得.
12.【解析】【解答】解：设 为 在面 内的投影，那么 ，

，设 为外接球的球心，那么 ， ， ，所以 ，解得 ，取 的中点 ，连接 、 ，过 作 ，依题意可得 ， ， ， 面 ，所以 面 ，又 面 ，所以面 面 ，又面 面 ， 面 ，所以 面 ，即 为点 到面 的距离，
因为
那么 ，即 ，所以
故答案为：A

【分析】设 为 在面 内的投影，那么 ，设 为外接球的球心，那么 ， ， 根据勾股定理解得，取 的中点 ，连接 、 ，过 作 ，依题意可得 ， 得 面 ， 所以面 面 ， ， 根据相似三角形的性质进行计算可得答案。
二、填空题
13.【解析】【解答】解： ，那么 ， ，所以 ，即切线的斜率 ，所以切线方程为 ，即
故答案为：

【分析】 求出函数的导数,求出切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程.
14.【解析】【解答】对于式子 取 的二项展开式中的含 的项，
此项为 ，
对于式子 取 的二项展开式中含 的项，
此项为 ，
所以含 的项为 ，
所以 的系数为13.
故答案为：13.

【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可得出   的系数 。
15.【解析】【解答】抛物线 焦点 ，而直线l过点 ，那么直线l的斜率为 ，其方程为 ，即 ，
由 消去x得 ，
显然 ，设 ，那么 ，而 ，
由抛物线定义知， ，解得 ，
即 ， ，而 ，于是得 ，
所以 的面积为32.
故答案为：32

【分析】 根据条件，直线l过点F、C两点，可得直线l的方程为，联立直线与抛物线
方程，即可得结合韦达定理和弦长公式，可求得p的值，再运用三角形面积公式，即可求解.
16.【解析】【解答】当 时， 等价于 ，
当 时，
当且仅当 那么 时，等号成立，那么 得 ；
当 时， 等价于 恒成立，
令 ，那么 ，
当 时， 递增，
当 时， 递减，
∴ 时， 取得最小值 ，
∴ ，
综上：a的取值范围是 .
故答案为： .

【分析】 把f(x)≥0在R上恒成立看成各段函数≥0恒成立分别求a的范围,再取交集即可得到答案.
三、解答题
17.【解析】【分析】 (1 )由题意中的数据，求出K2的值，对照临界表中的数据进行分析，即可得到答案；
(2 )先求出随机变量X的可能取值,然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可.
18.【解析】【分析】〔1〕 设等差数列的公差为   ， 由  成等比数列可得   ，  根据等差数列的通项公式即可求出  的通项公式；
〔2〕 由〔1〕可得 ，利用裂项求和法即可求出数列  的前  项和  .
19.【解析】【分析】〔1〕 建立空间直角坐标系， 求出面  的法向量，根据平面向量数量积的运算，即可证得  平面  ；
〔2〕求出平面AEF与平面CEF的法向量,利用向量的夹角公式求解即可.
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕将原不等式转化为 ， 构造函数设 ， 求   在(1,2)上的值域即可求m的最大值；
〔2〕求导   ，设 ， 那么 变号零点的个数即函数f (x )极值点的个数，结合导数研究函数的零点，即可求解.
 
 
21.【解析】【分析】 (1)根据椭圆的离心率，可设出方程，再代入点 ， 即可求解；
(2)设点  ， 由于M, N在x轴的异侧，可得 ， 将条件∠MBN>90°,转化为∠MBP< 90°,即 ， 再结合A，M, P三点共线和点M在椭圆上的条件，即可求解.
22.【解析】【分析】 (1)由 ， 利用三角函数的诱导公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程，化为标准方程可知曲线C表示以(0, - 2)为圆心，以2为半径的圆；
(2)点P(1,-2)在圆 内，把直线的参数方程代入圆 ， 化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解.
 
 
23.【解析】【分析】〔1〕利用根本不等式可知 ， 利用 ，计算可得结论；
〔2〕由 得 ， 计算可得满足方程  的实数  的值.