高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试复习练习题

第五章  三角函数

章末测试

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）

1．（2020·涡阳县第九中学高一月考）已知角的终边经过点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】角的终边经过点，由，可得，所以.

所以.故选D.

2．（2020·浙江高三专题练习）已知，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得，故选D．.

3．（2020·浙江高一单元测试）如果函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵函数y＝3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称.

∴∴当时，有.故选：A.

4．（2020·河南高一月考（理））已知函数，则在下列区间使函数单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】依题意，函数，令，

解得，

所以函数 在 上先增后减，在 上单调递增，在  上单调递减，

在  上先增后减.故选C.

5．（2020·全国高一专题练习）若为锐角，，则等于（        ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由角的关系可知

根据同角三角函数关系式，可得

所以选A

6．（2020·钦州市第三中学）函数的部分图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增

C．在上单调递增 D．直线是曲线的一条对称轴

【答案】C

【解析】由图可知，，该三角函数的最小正周期，故A项正确；

所以，则.

因为，所以该函数的一条对称轴为，

将代入，则，解得，

故.

令，

得，

令，则

故函数在上单调递增.故B项正确；

令，

得，

令，

故函数在上单调递减.故C项错误；

令，得，

令，

故直线是的一条对称轴.故D项正确.故选C.

7．（2019·全国高一课时练习）已知，则=（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，

所以，

所以

．

故选B．

8．（2019·全国高一课时练习）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】易得.因为函数的图象过点,,所以代入函数解析式得.

所以.根据题意,得,

又因为的图象也经过点,

所以代入得,

将、、或代入,只有成立.

故选B.

二、多选题（每题有多个选项为正确答案，每题5分，共20分）

9．（2020·浙江高一单元测试）设函数，给出下列命题，不正确的是（    ）．

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点对称

C．把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象

D．的最小正周期为，且在上为增函数

【答案】ABD

【解析】因为，所以A不正确；

因为，所以B不正确；

因为函数的最小正周期为，但，所以D不正确；把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，函数为偶函数，所以C正确．

故选：ABD.

10．（2020·琼山·海南中学高一期中）设函数，则(    )

A．是偶函数 B．在区间上单调递增

C．最大值为2 D．其图象关于点对称

【答案】AD

【解析】 . 

选项A： ，它是偶函数，正确； 

选项B： ，所以，因此 是单调递减，错误； 

选项C： 的最大值为，错误；

选项D：函数的对称中心为 ，，当，图象关于点 对称， 

错误.  故选：AD

11．（2020·浙江高一单元测试）如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（    ）．

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标仲长到原来的，纵坐标不变

C．把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

【答案】AC

【解析】由图象知，A=1,T=π，所以=2，y=sin（2x+），将（，0）代入得：sin()=0，所以=kπ，，取=，得y=sin（2x+），

向左平移，得．然后各点的横坐标缩短到原来的，得．故A正确．

各点的横坐标缩短到原来的，得．然后向左平移个单位，得．故C正确．

故选：AC

12．（2020·山东高三其他）函数的部分图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像，则下列说法正确的是（    ）

A．函数为奇函数

B．函数的最小正周期为

C．函数的图像的对称轴为直线

D．函数的单调递增区间为

【答案】BD

【解析】由图象可知

，，

∴，则.

将点的坐标代入中，整理得，

∴，即.，∴，

∴.

∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，

∴.

∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；

∴的最小正周期，故B正确.

令，解得

.则函数图像的对称轴为直线.故C错误；

由，可得，

∴函数的单调递增区间为.故D正确.

故选：BD.

第II卷（非选择题）

三、填空题（每题5分，共20分）

13．（2020·辉县市第二高级中学高一月考）已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．

【答案】二

【解析】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，

则角α的终边在第二象限，故答案为二．

14．（2020·绥德中学高一月考（理））函数=的最小值为_________．

【答案】

【解析】由函数

，

当时，即时，函数取得最小值.

15．（2019·深州长江中学高二期中）已知，则______．

【答案】

【解析】因为，则．

16．（2020·榆林市第二中学高三月考（理））已知函数的相邻两个对称中心距离为，且，将其上所有点的再向右平移个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得的图像，则的表达式为_______

【答案】.

【解析】由题意，函数的相邻两个对称中心距离为，解得，

且，即，因为，解得，

所以，

将图象上的点向右平移个单位，可得，

再把所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得的图象，

即函数的解析式为.

故答案为：.

四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）

17．（2018·福建高一期中）已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】解：（Ⅰ），解得；

（Ⅱ）=

．

18．（2020·玉龙纳西族自治县田家炳民族中学高二期中（文））已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .

【解析】Ⅰ）由角的终边过点得，

所以.

（Ⅱ）由角的终边过点得，

由得.

由得，

所以或.

19．（2020·陕西高三三模（文））已知函数.

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在上的值域.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意，函数

，

所以函数的最小正周期为。

（2）因为，则，可得，

所以，

故在上的值域为。

20．（2020·湖北武汉·高一期末）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.

（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？

【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米.

【解析】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：

设，由，，可得，所以.

，，，

由题意可知，函数的最小正周期为，，

所以点距离水面的高度关于时间的函数为；

（2）由，得，

令，则，

由，解得，又，

所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.

21．（2019·大名县第一中学高一月考）已知函数的图象在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由题意可知函数的周期，且，所以，故.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为，因为函数的图象关于原点对称，所以，即.

又，所以，故.

（2）由（1）得函数，其周期为，

又，所以.令，因为，所以，

若在上有两个不同的解，则，

所以当时，方程在上恰有两个不同的解，即实数的取值范围是.

22．（2020·山东潍坊·高一期末）已知函数的图象如图所示.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作.

（i）求函数的最大值；

（ii）若函数在内恰有2015个零点，求、的值.

【答案】（1），；（2）（i）；（ii），.

【解析】（1）由图象可得，最小正周期，则，

由，所以，，

又，则易求得，所以，

由，，

得，，

所以单调递增区间为，.

（2）（i）由题意得，

，

所以的最大值为；

（ii）令，可得，令，

得，易知，方程必有两个不同的实数根、，

由，则、异号，

①当且或者且时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；

②当且0时，则方程和在区间均有偶数个根，不合题意，舍去；

③当且，当时，，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有2013个根，由于方程在区间上只有一个根，方程在区间上两个根，因此，不合题意，舍去；

④当时，则，当时，只有一根，有两根，

所以，关于的方程在上有三个根，

由于，则方程在上有2013个根，由于方程在区间上有两个根，方程在区间上有一个根，此时，满足题意；

因此，，，

得，

综上，，.