九年级上册5 相似三角形判定定理的证明课堂检测

这是一份九年级上册5 相似三角形判定定理的证明课堂检测，共22页。

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，且FB＝2DF，连接 DE、EF、EC△DEF：S△CBE＝（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．3：4
2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC△DOE：S△AOC＝1：16，则S△BDE：S△CDE等于（ ）
A．1：5B．1：4C．1：3D．1：2
3．如图，E是▱ABCD的AD边上一点，CE与BA的延长线交于点F＝；②＝；③＝；④＝，其中一定成立的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②
4．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1（ ）
A．4B．4C．2D．8
5．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME交AD的延长线于点E，若AB＝12，则DE的长为（ ）
A．B．18C．D．
二．填空题（共8小题）
6．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，点P为BC上任意一点，连接PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ ．
7．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，垂足为G，BG＝4 ．
8．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AE，CD相交于点O△DOE：S△COA＝1：9，则S△DBE与S△OCE的比是 ．
9．如图，△ABC的面积为36cm2，边BC＝12cm，矩形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，E，F在BC上，则DG＝ cm．
10．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，CD相交于点P，则△PBD与△PAC的面积比为 ．
11．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，BD＝3，则AC的长 ．
12．如图，直线l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为 ．
13．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，则小正方形的周长为 ．
三．解答题（共11小题）
14．定义：如图①，若点P在△ABC的边AB上，且满足∠1＝∠2
（1）如图②，若点D是△ABC的边AB的中点，AC＝，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，若点D是△ABC的“理想点”
15．如图，矩形ABCD中，点E在BC上
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，求GC的长．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AD，垂足为E．
（1）求证：CD2＝DE•AD；
（2）求证：∠BED＝∠ABC．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，且DC＝DE．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若AB＝5，AE＝1，DE＝3
19．如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点
（1）求证：△PCQ∽△RDQ；
（2）求BP：PQ：QR的值．
20．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB•CE．
（1）说明：△ADB∽△EAC；
（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度数．
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
22．如图，D是△ABC的边AB上的点，DB＝3AD
（1）若AE＝2，则EC＝ ；
（2）求：的值．
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°．
（1）求证：△ADE∽△BEC．
（2）若AD＝1，BC＝3，AE＝2
24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC边于E点，若AB＝10，AC＝8，四边形PECB的周长为y，
（1）试证明：△AEP∽△ABC；
（2）求y与x之间的函数关系式．
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为AB边中点，
∴S△ADE＝S△BDE＝S△CBE＝S平行四边形ABCD，
∵FB＝8DF，
∴S△BDE＝3S△DEF，
∴S△DEF＝S△BDE＝S平行四边形ABCD，
∴S△DEF：S△CBE＝S平行四边形ABCD：S平行四边形ABCD＝1：6．
故选：B．
2．解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：16，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：5，
故选：C．
3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴，即＝；故①正确；
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDE，
∴，即＝，故②正确；
∵AE∥BC，
∴△AEF∽△FBC，
∴，即＝，故③正确；
∵AF∥CD，
∴，故④错误，
故选：B．
4．解：∵AB⊥AD，AD⊥DE，
∴∠BAD＝∠ADE＝90°，
∴DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，
∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，
∵DE＝1，AB＝2，
∴S△DEC：S△ACB＝3：4，
∴S四边形ABDE：S△ACB＝3：4，
∵S四边形ABDE＝S△ABD+S△ADE＝×7×2+，
∴S△ACB＝4，
故选：B．
5．解：由已知可得，
AB＝12，BM＝5，∠AMF＝90°，
∴AM＝13，
∵∠BAM+∠MAE＝90°，∠BAM+∠BMA＝90°，
∴∠MAE＝∠BMA，
∵∠B＝∠AME＝90°，
∴△ABM∽△EMA，
∴，
即，
解得，EA＝，
∵AD＝12，
∴DE＝EA﹣AD＝，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
6．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，
∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，求得OP′．
故答案为：．
7．解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DF，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠F＝∠DAF，
∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；
∵AD∥BC，
∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE．
∴EC＝FC＝2﹣6＝3，
∴AB＝BE．
∴在△ABG中，BG⊥AE，BG＝，
可得：AG＝2，
又∵BG⊥AE，
∴AE＝3AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵▱ABCD，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：5，
∴△CEF的周长为8．
故答案为8．
8．解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
又∵S△DOE：S△COA＝1：9，
∴＝＝，
即S△OCE＝S△DEC，
∵DE∥AC，
∴△ABE∽△BCA，
∴＝＝，
即S△DEC＝3S△BED，
∴S△DBE与S△OCE的比是S△DEC：S△DEC＝2：4，
故答案为：2：3．
9．解：过A作AH⊥BC于H，交DG于M，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，
∴AM⊥DG，
∵△ABC的面积为36cm2，边BC＝12cm，
∴AH＝6，
∵EF＝6DE，
∴设DE＝x，则EF＝2x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝3，
∴DG＝8cm，
故答案为：6．
10．解：∵BD∥AC，BD＝1，
∴△DBP∽△CAP，
∴＝（）2＝，
故答案为．
11．解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC8＝AD×AB＝2×5＝10，
∴AC＝．
故答案为：．
12．解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE＝BF＝3，CF＝AE＝4，
∵l1与l5的距离为1，l2与l6的距离为3，
∴AG＝1，BG＝EF＝CF+CE＝2
∴AB＝＝7，
∵l2∥l5，
∴＝
∴DG＝CE＝，
∴BD＝BG﹣DG＝7﹣＝，
∴＝．
故答案为：．
13．解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，
∴BC＝CD＝2，∠B＝∠C＝90°，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠EFG＝90°，
∵∠EFB+∠DFC＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，
∴∠BEF＝∠DFC，
∵∠EBF＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CFD，
∴＝，
∵BF＝，CF＝＝，
∴＝，
∴EF＝，
∴小正方形的周长为；
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
14．解：（1）点D是△ABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB＝2，
∴AD＝BD＝1，AD•AB＝4，
∵AC＝，
∴AC2＝6，
∴AC2＝AD•AB，
∴＝，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∴点D是△ABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠ACD＝∠B或∠BCD＝∠A，
当∠ACD＝∠B时，
∵∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠BCD+∠B＝90°，
∴∠CDB＝90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD＝∠A时，同理可证∠CDB＝90°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB•CD＝，
∴CD＝，
②∵AC＝4，BC＝3，
∴AC＞BC有∠B＞∠A，
∴“理想点”D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是△ABC的“理想点”，
∴∠DBC＝∠A，
又∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴＝，即＝，
∴CD＝，
综上所述，点D是△ABC的“理想点”或．
15．证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
（2）∵△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴EC＝4，
∵AE＝EF，∠AED＝90°，
∴AD＝DF，
又∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，
∴DG＝EG，
∵DG2＝DC2+GC2，
∴（4﹣GC）5＝4+GC2，
∴GC＝．
16．证明（1）∵CE⊥AD，
∴∠CED＝∠ACB＝90°，
∵∠CDE＝∠ADC，
∴△CDE∽△ADC，
∴CD：AD＝DE：CD，
∴CD2＝DE•AD．
（2）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD；
∵CD2＝DE•AD，
∴BD8＝DE•AD
∴BD：AD＝DE：BD；
又∵∠ADB＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴∠BED＝∠ABC．
17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH＝，
∴CH＝＝＝2，
由△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，
由△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
18．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DC＝DE，
∴∠DEC＝∠C，
∴∠DEC＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵AB＝AC＝5，AE＝1，
∴CE＝AC﹣AE＝3，
∵△ABC∽△DEC，
∴，
即＝．
解得：BC＝．
19．（1）证明：∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC∥DE，
∴△PCQ∽△RDQ；
（2）解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，AC∥DE，
∴△PBC∽△RBE，
∴，，
∴RB＝4PB，
∵点R为DE的中点，△PCQ∽△RDQ，
∴，
∴QR＝7PQ，
∵BP＝PR＝PQ+QR＝3PQ，
∴BP：PQ：QR＝3：2：2．
20．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB2＝DB•CE
∴
∴
∴△ADB∽△EAC．
（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，
∵∠DAE＝∠BAD+∠BAC+∠CAE，
∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC，
∵∠BAC＝40°，AB＝AC，
∴∠ABC＝70°，
∴∠D+∠BAD＝70°，
∴∠DAE＝∠D+∠BAD+∠BAC＝70°+40°＝110°．
21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAF＝∠AEB，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝∠B＝90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）∵E是BC的中点，BC＝4，
∴BE＝2，
∵AB＝2，
∴AE＝，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝4，
∵△ABE∽△DFA，
∴，
∴．
22．解：（1）∵DB＝3AD，
∴＝．
∵DE∥BC，AE＝2，
∴＝＝，即＝．
∴EC＝6．
故答案是：6．
（2）由（1）知，＝＝，则＝＝．
∵DE∥BC，
∴△EFD∽△BFC．
∴＝＝．即．
23．（1）证明：∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB⊥AD，∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°．
∵∠DEC＝90°，
∴∠AED+∠BEC＝90°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∴△ADE∽△BEC．
（2）解：∵△ADE∽△BEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝，
∴AB＝AE+BE＝．
24．证明：（1）∵PE⊥AB，
∴∠APE＝90°，
又∵∠C＝90°，
∴∠APE＝∠C，
又∵∠A＝∠A，
∴△AEP∽△ABC；
解：（2）在Rt△ABC中，AB＝10，
∴BC＝，
由（1）可知，△APE∽△ACB
∴，
又∵AP＝x，
即＝＝，
∴PE＝x，，
∴＝．（6＜x＜6.4）