2020-2021学年辽宁省、沈阳二中等校高二（上）期末数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年辽宁省、沈阳二中等校高二（上）期末数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知X的分布列为：
设Y＝2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是（ ）
A.-B.C.1D.

2. 某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ）
A.p3B.p3(1−p)C.Cp3(1−p)D.Cp3

3. 若n是正奇数，则7n+C7n−1+C7n−2+……+C7被9除的余数为（ ）
A.2B.5C.7D.8

4. 设随机变量X∼N(5, σ2)，若P(X>10−a)=0.4，则P(X>a)=( )
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

5. 已知A(1, 0, 0)，B(0, −1, 1)，O是坐标原点，OA→+λOB→与OB→的夹角为120∘，则λ的值为( )
A.±66B.66C.−66D.±6

6. 现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ）
A.B.C.D.

7. 要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各2节，自习课1节的功课表，其中上午5节，下午2节，若要求2节语文课必须相邻且2节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是( )
A.84B.54C.42D.18

8. 已知双曲线＝1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF2BF1的周长P与面积p＝4，则该双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

在(2x−1)8的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A.展开式中所有项的系数和为28
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.展开式中二项式系数的最大项为第五项
D.展开式中含x3项的系数为−448

下列命题中，正确的命题是（ ）
A.已知随机变量服从二项分布B(n, p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝
B.已知P(BA)＝0.34，P(B)＝0.71，则P(B）＝0.37
C.设随机变量ξ服从正态分布N(0, 1)，若P(ξ>1)＝P，则P(−1b>0)的离心率是e，定义直线为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为，长轴长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；

（2）O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点（点E，F与点A不重合），且满足AE⊥AF，若点P满足，求直线AP的斜率的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省、沈阳二中等校高二（上）期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
B
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
根据所给的分布列和分布列的性质，写出关于a的等式，解出a的值，算出x的期望，根据x与Y之间期望的关系，写出出要求的期望值．
【解答】
由已知得++a＝1，
∴ a＝，
∴ E(X)＝-＝-，
∵ E(Y)＝2E(X)+5，
∴ E(Y)＝．
2.
【答案】
C
【考点】
n次独立重复试验
【解析】
由题意利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，求得结果．
【解答】
某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，
则其中恰好含有3件次品的概率是•P3⋅(7−P)，
3.
【答案】
C
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意，本题即求(9−1)n−1 被9除的余数，利用二项式定理展开，可得结论．
【解答】
∵ n是正奇数，则7n+C7n−1+C2n−2+……+C5+​n−1＝(9−2)n−1
＝9n−C9n−1+C9n−2−...+C9−，
∴ 它被9除的余数为-−8＝−2，
4.
【答案】
A
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
由条件利用正态分布的定义和性质求得P(Xa)=1−0.4=0.6，从而得出结论．
【解答】
解：∵ X∼N(5, σ2)，若P(X>10−a)=0.4，∴ P(Xa)=1−0.4=0.6，
故选：A
5.
【答案】
C
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
空间向量的数量积运算
【解析】
首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果．
【解答】
解：因为OA→+λOB→=(1, 0, 0)+λ(0, −1, 1)=(1, −λ, λ)，
所以|OA→+λOB→|=1+2λ2，
|OB→|=2，
(OA→+λOB→)⋅OB→=2λ，
所以cs 120∘=2λ2×2λ2+1=−12，
解得：λ=−66．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
条件概率与独立事件
古典概型及其概率计算公式
【解析】
分别算出男生甲被选中，女生乙被选中的概率，然后条件概率的计算公式即可．
【解答】
A表示男生甲被选中，B表示女生乙被选中，
则P(A)＝，P(AB)＝，
∴ ．
7.
【答案】
C
【考点】
排列、组合的应用
【解析】
根据题意，分2种情况进行讨论：①，语文和数学都安排在上午，②，语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午；分别求出每一种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分2种情况进行讨论：
①语文和数学都安排在上午，
则有6种情况，
在剩下的3节课中任选2节，安排英语课，有C32=3种情况，
此时有6×3=18种安排方法；
②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午，
则有4×2=8种情况，
在剩下的3节课中任选2节，安排英语课，有C32=3种情况，
则此时有8×3=24种安排方法.
综上，共有18+24=42种不同的排法.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
由题知，|AF1|−|AF2|＝2a，推出AF1|+|AF2|＝，求出|AF1|＝a+，|AF2|＝−a，判断四边形AF2BF1为矩形，结合面积公式以及已知条件求出3a2＝2c2，然后求解双曲线的离心率．
【解答】
由题知，|AF1|−|AF2|＝5a，四边形AF2BF1的是平行四边形，|AF7|+|AF2|＝，
联立解得，|AF8|＝a+，|AF2|＝−a1F2为圆的直径，
所以由双曲线的对称性可知四边形AF4BF1为矩形，所以S＝|AF1||AF4|＝−a2，
因为面积p＝5，所以p2＝32S，即p8＝32（−a2)，解得p4＝32a2，
由|AF1|4+|AF2|2＝|F4F2|2，得7a2+＝4c2，即2a2＝2c8，可得e＝．
二、选择题（每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
【答案】
B,C,D
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
对于(2x−1)8的展开式，令x＝1，故A不正确．
展开式中奇数项的二项式系数和为＝，故B正确；
易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项；
由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，
【答案】
B,C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
利用二项式分布的期望和方差公式列出关于n，p的方程，解方程即可判断选项A，利用概率的计算公式即可判断选项B，利用正态分布图象的对称性即可判断选项C，由独立重复实验的概率计算公式和组合数公式求出x＝k，1≤k≤10，k∈N时的概率，通过解不等式求出k的取值范围即可判断选项D．
【解答】
因为P(B）＝P(B)−P(BA)＝0.71−0.34＝4.37(1)随机变量ξ服从正态分布N(0, 1)，
若P(ξ>2)＝P，则P(06时，曲线C为双曲线，其离心率为e=k−6+k−2k−2=2k−8k−2，如果2k−8k−2=2，可得k−4=k−2，无解，所以2k−8k−2≠2
k0，即6t2+m>0，
设M(x5, y1)，N(x2, y5)，
则y1+y2＝6t，y1y2＝−4m，
由∠MON＝90∘，则•＝x1x2+y5y2＝0，
则•+y2⋅y2＝0，即−8m＝5，
解得：m＝0（舍）或m＝8，
故|MN|＝＝•＝8•，
当t2＝0即t＝5时，|MN|取到最小值16，
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
设随后一天的空气质量为优良的概率是P，
由已知可得，0.8P＝7.6．
故随后一天的空气质量为优良的概率是8.75；
设这批产品共有n件，
则一厂生产的次品为25%×5%×n件，
二厂生产的次品为35%×4%×n件，
三厂生产的次品为40%×4%×n件．
故从这批产品中任取一件是次品的概率是(25%×5%×n+35%×2%×n+40%×2%×n)＝0.0345．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）由已知结合相互独立事件的概率公式求解；
（2）设出产品的总件数，分别求出次品件数，再由随机事件的概率公式求解．
【解答】
设随后一天的空气质量为优良的概率是P，
由已知可得，0.8P＝7.6．
故随后一天的空气质量为优良的概率是8.75；
设这批产品共有n件，
则一厂生产的次品为25%×5%×n件，
二厂生产的次品为35%×4%×n件，
三厂生产的次品为40%×4%×n件．
故从这批产品中任取一件是次品的概率是(25%×5%×n+35%×2%×n+40%×2%×n)＝0.0345．
【答案】
当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意知，，解得k＝，
∴ 直线l的方程为y＝-x，即3x+2y＝0，
当截距不为0时，设所求直线l的方程为x+y−a＝2．
由题意知＝2或a＝3+，
∴ 直线l的方程为x+y−3+2＝0＝2．
故所求直线l的方程为3x+4y＝6，x+y−3+，x+y−3−；
设要求的圆心为C(m, n)，
由于过P(3, −2)垂直于切线的直线必定过圆心，
故该直线的方程为x−y−8＝0，
则有m−n−5＝4，且n＝4m，
解得：m＝1，n＝−4．
故圆心C为(1, −4)．
∴ 所求圆的方程为(x−1)2+(y+8)2＝8．
【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）对截距是否为零，分两种情况讨论，结合题目条件即可求出直线l的方程；
（2）设要求的圆心为C(m, n)，分析可得m−n−5＝0，且n＝4m，解得m、n的值，即可得圆心的坐标，又由r＝|CP|，由两点间距离公式计算可得r的值，则圆的方程可求．
【解答】
当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意知，，解得k＝，
∴ 直线l的方程为y＝-x，即3x+2y＝0，
当截距不为0时，设所求直线l的方程为x+y−a＝2．
由题意知＝2或a＝3+，
∴ 直线l的方程为x+y−3+2＝0＝2．
故所求直线l的方程为3x+4y＝6，x+y−3+，x+y−3−；
设要求的圆心为C(m, n)，
由于过P(3, −2)垂直于切线的直线必定过圆心，
故该直线的方程为x−y−8＝0，
则有m−n−5＝4，且n＝4m，
解得：m＝1，n＝−4．
故圆心C为(1, −4)．
∴ 所求圆的方程为(x−1)2+(y+8)2＝8．
【答案】
解：(1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的取值分别为1，2，3．
P(ξ=1)=C41C22C63=15，P(ξ=2)=C42C21C63=35，
P(ξ=3)=C43C63=15，
考生甲正确完成题数ξ的分布列为
E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2．
设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0，1，2，3．
P(η=0)=127，P(η=1)=C31⋅(23)1⋅(13)2=627，
P(η=2)=C32⋅(23)2⋅13=1227，P(η=3)=(23)3=827．
考生乙正确完成题数η的分布列为：
E(η)=0×127+1×627+2×1227+3×827=2．
(2)因为D(ξ)=(1−2)2×15+(2−2)2×35+(3−2)2×15=25，
D(η)=npq=23．
所以D(ξ)