初中北师大版3.5 探索与表达规律练习

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专题3.5探索与表达规律
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2019·全国初一单元测试）有一列数，，，，，，，（ ）根据规律这一列数的第8个数为（ ）
A．22 B． C． D．
【答案】C
【解析】解：这列数，，，，，，，（ ）
我们发现从第4个数开始是前3个数去中间这个数后两数的绝对值的和，奇位上是负数，偶位上是正数，
∴第8个数是，第8个是偶位上的数，故为25，
故选：C．
2．（2020·全国初一课时练习）如图，用黑白两种颜色的纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案．若第n个图案中有2020个白色纸片，则n的值为( )

A．671 B．672 C．673 D．674
【答案】C
【解析】
∵第1个图案中白色纸片有4=1+1×3（张）；
第2个图案中白色纸片有7=1+2×3（张）；
第3个图案中白色纸片有10=1+3×3（张）；
…
∴第个图案中白色纸片有（张），
根据题意得：，
解得：，
故选：C．
3．（2020·湖北武汉初三二模）大多数植物的花，其每层花瓣数按层从内往外是按照下列数排列的1，1，2，3，5，8，……，现有层数相同的“雅苏娜"玫瑰花朵．花瓣总数为264．假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成按照上面规律排列，则一朵该种玫瑰花最多有（ ）
A．3层 B．8层 C．9层 D．10层
【答案】C
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……，
∵，
，
，，（不合），
∴最小为3，每朵玫瑰花最多有9层，选C．
4．（2020·山东泗水初三期中）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（ ）．

A．106 B．96 C．86 D．76
【答案】D
【解析】图形棋子数为：1
图形棋子数为：1+5=6
图形棋子数为：
∴图形棋子数为：
∴图形棋子数为：
∴图形棋子数为：
故选：D．
5．（2019·全国初一课时练习）在棋盘上的米粒故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格中加倍至4粒米……，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在 第12格中所放的米粒数是( )
A．22 B．24 C．2 D．2
【答案】C
【解析】解：设第n格中放的米粒数是an，则
a1=1，
a2=a1×2，
a3=a2×2=a1×22，
…
an=a1×2n-1，
∴a12=a1×211=211．
故选：C．
6．（2020·全国初一课时练习）找出以下图形变化的规律，计算第2019个图形中黑色正方形的个数是（　　）

A．3027 B．3028 C．3029 D．3030
【答案】C
【解析】由图可得，
第（1）个图中黑色正方形的个数为：2，
第（2）个图中黑色正方形的个数为：2+1=3，
第（3）个图中黑色正方形的个数为：2×2+1=5，
第（4）个图中黑色正方形的个数为：2×2+1×2=6，
第（5）个图中黑色正方形的个数为：2×3+1×2=8，
∵2019÷2=1009…1，
∴第2019个图形中黑色正方形的个数是：2×（1009+1）+1×1009=3029，
故选C．
7．（2020·内蒙古呼伦贝尔初三一模）“数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9═25＝52
解答下列问题：请用上面得到的规律计算：1+3+7+……+101＝（　　）

A．2601 B．2501 C．2400 D．2419
【答案】A
【解析】观察下面的图形和算式：
1＝1＝12
1+3＝4＝22
1+3+5＝9＝32
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9═25＝52
发现规律：1+3+5+…+（2n+1）＝（n+1）2
∵2n+1＝101，
解得n＝50，
∴1+3+7+……+101＝（50+1）2＝2601．
故选：A．
8．（2020·金昌市金川总校第五中学初一期中）如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，图1中面积为1 的正方形有9个，图2中面积为1的正方形有14个，…，按此规律，图10中面积为1的正方形的个数为（ ）

A．44 B．54 C．59 D．64
【答案】B
【解析】第1个图形面积为1的小正方形有9个，
第2个图形面积为1的小正方形有9＋5＝14个，
第3个图形面积为1的小正方形有9＋5×2＝19个，
…第n个图形面积为1的小正方形有9＋5×（n−1）＝5n＋4个，
所以第10个图形中面积为1的小正方形的个数为5×10＋4＝54个．
故选：B．
9．（2020·湖北阳新初二期末）根据如图数字之间的规律，问号处应填(　　)

A．61 B．52 C．43 D．37
【答案】A
【解析】∵由图可知每个圆中的规律为：1×2+2=4，2×3+3=9，3×5+4=19，4×7+5=33，
∴最后一个圆中5×11+6=61，
∴？号所对应的数是61．
故选：A．
10．（2020·河南新野初三三模）如图，在一张白纸上画1条直线，最多能把白纸分成2部分[如图（1）]，画2条直线，最多能把白纸分成4部分[如图（2）]，画3条直线，最多能把白纸分成7部分[如图（3）]，当在一张白纸上画20条直线，最多能把白纸分成（ ）部分．

A．190 B．191 C．210 D．211
【答案】D
【解析】解： 依题意得：
，；
，；
，…；
，；
以上式子相加整理得，
．
∴20条直线最多能把白纸分为：部分．
故选：D．
11．（2020·广西八步初三三模）如图，第（1）个图案由个点组成，第（2）个图案由个点组成，第（3）个图案由个点组成，第（4）个图案由个点组成，第（5）个图案由个点组成，……，依此类推，根据图案中点的排列规律，第个图形由多少个点组成……（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：设第（n）个图案由an个点组成，
由图可知，第（n）个图案由n个分支组成，每个分支有中间1个点和分支上的（n-1）个点组成．
所以an=1+n（n-1），
所以a50=1+50×49=2451，
故选：B．
12．（2016·浙江初一课时练习）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a﹣b的值是（ ）

A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】解：∵每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，
∴8+5=a+9，a+8=5+b
∴a=4，b=7
∴a﹣b=4-7=-3
故选A．
13．（2019·全国初一单元测试）一列数，其中， ， ，……， ，则=（　　）
A．1 B．-1 C．2020 D．
【答案】A
【解析】解： ，


，
所以这列数是-1、、2、−1、、2…，发现这列数每三个循环，
由 且
所以：
故选A．
14．（2020·内蒙古东胜初三二模）瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第10个数据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：光谱数据第一个数为：，第二个数为：，第三个数为：，第四个数为：，第五个数为：，
观察上述的五个数字，发现分子依次为：、、、、，故第n项的分子为：，第n项数字的分母为：，故第n项数字为：，
即第10项数字为：，
故选：C．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（浙江初一课时练习）下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为________.

【答案】C4H10
【解析】解：第四种化合物的分子式为C4H10 ．
故答案为：C4H10.
16．（2020·安徽铜陵初二期末）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含、代数式表示）.

【答案】a+8b
【解析】观察图形可知两个拼接时，总长度为2a-(a-b)，
三个拼接时，总长度为3a-2(a-b)，
四个拼接时，总长度为4a-3(a-b)，
…，
所以9个拼接时，总长度为9a-8(a-b)=a+8b，
故答案为a+8b.
17．（2020·宿迁市钟吾初级中学初一期末）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…由以上规律可以得出第n个等式为_____．
【答案】（2n+1）2﹣12=4n（n+1）．
【解析】通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，第n个等式为：（2n+1）2﹣12=4n（n+1）．
通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8的倍数，
第n个等式为：（2n+1）2﹣12=4n（n+1）．
故答案为（2n+1）2﹣12=4n（n+1）．
18．（2020·浙江长兴初三一模）“天干地支”纪年法是中国古老的纪年法，由“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十天干与“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”十二地支依次相配组成．如：甲子、乙丑、丙寅、…．10年后天干从“甲”重新开始纪年，12年后地支从“子”重新开始纪年，依次下去．公元2020年对应“庚子”年，下一次出现“庚子”年是公元______年．
【答案】2080
【解析】解：天干与地支的汉字相差2个，十二地支代表12年，则有每12年地支比天干多2，当地支比天干多10时，重新开始为一个循环，
，因此60年为一个循环，
2020+60=2080，
故答案为：2080．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2019·全国初一课时练习）观察下列等式：2=2，22=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，…，通过观察，用你所发现的规律确定2的个位数字．
【答案】22017的个位数字是2．
【解析】
观察可知：24n+1的个位数字是2，24n+2的个位数字是4，24n+3的个位数字是8，24n+4的个位数字是6（n为自然数），每四个一循环，
∵22017=，
∴22017的个位数字是2.
20．（2019·全国初一课时练习）观察下列等式：2=2，22=4，2=8，2=16，2=32，2=64，2=128，…，通过观察，用你所发现的规律确定2的个位数字．
【答案】22017的个位数字是2．
【解析】观察可知：24n+1的个位数字是2，24n+2的个位数字是4，24n+3的个位数字是8，24n+4的个位数字是6（n为自然数），每四个一循环，
∵22017=，
∴22017的个位数字是2.
21．（2019·全国初一课时练习）观察图形（每个的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律

（1）写第五个等式，并画出与之对应的图示；
（2）猜想并写与第n个图形相对应的等式．
【答案】（1），图形见解析；（2）n×=n-．
【解析】
解：（1）根据已知式子可得，
∴可得第五个式子和图形为：
．
（2）根据已知式子可得．
22．（2019·全国初一课时练习）探索规律

（1）按图示规律填写下表：

（2）按这种方式，摆第n个正方形需要多少棋子？
【答案】（1）4；8；12；16；20；24；（2）4n
【解析】（1）∵后面的图总比前面的图多四个点，
∴依次为：4；8；12；16；20；24；
（2）根据（1）中的结论可知：摆第n个正方形需要4n个棋子．
23．（2019·全国初一课时练习）观察下面各组数：
①3，9，27，243，729，……
②1，7，25，79，241，727，……
③1，3，9，81，243，……
（1）第①组数按什么规律排列？,
（2）第②③组数与第①组数有关系吗？
【答案】（1）第①组数的规律排列是3n；（2）第②组数是第①组相应的数减2，第③组数是第①组相应的数除以3（或乘）．
【解析】
（1）第①组数的规律排列是31，32，33，33，34，35，……3n；故第①组数按3n规律排列；
（2）第②组数是第①组相应的数减2，第③组数是第①组相应的数除以3（或乘）.
24．（2020·河北迁西初三三模）如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等．

尝试　求x＋y的值；
应用　若n＝22，则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少？
发现　用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．
【答案】尝试：x＋y＝9；应用：99；发现：装有“4个球”的小桶序号为4k－1．
【解析】尝试：根据题意可得6＋3＋4＋5＝4＋5＋x＋y，
∴x＋y＝9；
应用：∵6＋3＋4＋5＝3＋4＋5＋x，
又∵x＋y＝9，
∴x＝6，y＝3，
∴小桶内所放置的小球数每四个一循环，
∵22÷4＝5⋯⋯2，
∴（6+3+4+5）×5+9=99
发现：装有“4个球”的小桶序号分别为3＝4×1－1，7＝4×2－1，11＝4×3－1…，
∴装有“4个球”的小桶序号为4k－1．
25．（2019·全国初一课时练习）观察下列等式．
第1个等式：a1＝＝×；
第2个等式：a2＝＝×；
第3个等式：a3＝＝×；
第4个等式：a4＝＝×；
…
请解答下列问题．
（1）按以上规律列出第5个等式：a5＝____＝____；
（2）求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
【答案】（1）；×；（2）．
【解析】（1）由观察知，
左边：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为序号的2倍减1和序号的2倍加1，
右边：这两个奇数的倒数差的一半，
∴第5个式子是：；
故答案为：；×；
（2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100





．
26．（2020·山东青岛初三二模）（问题提出）：有同样大小正方形256个，拼成如图1所示的的一个大的正方形．请问如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过多少个小正方形？

（问题探究）：我们先考虑以下简单的情况：一条直线穿越一个正方形的情况．（如图2）

从图中我们可以看出，当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线最多与正方形上、下、左、右四条边中的两个边相交，所以当一条直线穿过一个小正方形时，这条直线会与其中某两条边产生两个交点，并且以两个交点为顶点的线段会全部落在小正方形内．
这就启发我们：为了求出直线最多穿过多少个小正方形，我们可以转而去考虑当直线穿越由小正方形拼成的大正方形时最多会产生多少个交点.然后由交点数去确定有多少根小线段，进而通过线段的根数确定下正方形的个数．
再让我们来考虑正方形的情况（如图3）：

为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线右上方至左下方穿过一个的正方形，我们从两个方向来分析直线穿过正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的两条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的四条线段；这样直线最多可穿过的大正方形中的六条线段，从而直线上会产生6个交点，这6个交点之间的5条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线最多能经过5个小正方形．
（问题解决）：
（1）有同样大小的小正方形16个，拼成如图4所示的的一个大的正方形．如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过_________个小正方形．

（2）有同样大小的小正方形256个，拼成的一个大的正方形.如果用一条直线穿过这个大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．
（3）如果用一条直线穿过的大正方形的话，最多可以穿过___________个小正方形．
（问题拓展）：
（4）如果用一条直线穿过的大长方形的话（如图5），最多可以穿过个___________小正方形．

（5）如果用一条直线穿过的大长方形的话（如图6），最多可以穿过___________个小正方形．

（6）如果用一条直线穿过的大长方形的话，最多可以穿过________个小正方形．
（类比探究）：
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，平面中的正方形中四条边可联想到正方体中的正方形的六个面，类比上面问题解决的方法解决如下问题：
（7）如图7有同样大小的小正方体8个，拼成如图所示的的一个大的正方体.如果用一条直线穿过这个大正方体的话，最多可以穿过___________个小正方体．

（8）如果用一条直线穿过的大正方体的话，最多可以穿过_________个小正方体．
【答案】（1）7；（2）31；（3）；（4）4；（5）6 ；（6）；（7）4；（8）
【解析】（1）再让我们来考虑4×4正方形的情况（如图4）：为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个4×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过4×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的3条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的8条线段，从而直线L上会产生8个交点，这8个交点之间的7条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过7个小正方形．
故答案为7
（2）我们发现直线穿越1×1正方形时最多经过1个正方形，直线穿越2×2正方形时最多经过3个正方形，直线穿越3×3正方形时最多经过5个正方形，
直线穿越4×4正方形时最多经过7个正方形，…直线穿越n×n正方形时最多经过2n-1个正方形．
∴直线穿越10×10正方形时最多经过19个正方形．
故答案为19．
（3）由（2）可知，有2×16-1=31个正方形，
故答案为31．
（4）由（2）可知有2n-1个正方形．
故答案为2n-1．
（5）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个2×3的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过2×3正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的1条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的4条线段；这样直线L最多可穿过2×3的大正方形中的5条线段，从而直线L上会产生5个交点，这5个交点之间的4条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过4个小正方形，
故答案为4．
（6）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个3×4的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过3×4正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的2条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的5条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的7条线段，从而直线L上会产生7个交点，这7个交点之间的6条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过6个小正方形．
故答案为6．
（7）为了让直线穿越更多的小正方形，我们不妨假设直线L右上方至左下方穿过一个m×n的正方形，我们从两个方向来分析直线l穿过m×n正方形的情况：从上下来看，这条直线由下至上最多可穿过上下平行的（m-1）条线段；从左右来看，这条直线最多可穿过左右平行的（n+1）条线段；这样直线L最多可穿过4×4的大正方形中的（m+n）条线段，从而直线L上会产生（m+n）个交点，这m+n个交点之间的（m+n-1）条线段，每条会落在一个不同的正方形内，因此直线L最多能经过（m+n-1）个小正方形，
故答案为（m+n-1）．
（8）用类似的方法可以得到：用一条直线穿过1×1×1正方体的话，最多可以穿过1个小正方体，用一条直线穿过，2×2×2正方体的话，最多可以穿过4个小正方体，用一条直线穿过，3×3×3正方体的话，最多可以穿过7个小正方体，用一条直线穿过4×4×4正方体的话，最多可以穿过10个小正方体，…用一条直线穿过，n×n×n正方体的话，最多可以穿过（3n-2）个小正方体．
故答案为4．
（9）由（8）可知有（3n-2）个正方形，
故答案为（3n-2）．