2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）7月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（下）7月月考数学试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合A={x|−30)的左、右焦点，若点F2关于渐近线的对称点M也在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.52B.2C.2D.5

10. 定义在(0, +∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0，f(2)=52，则关于x的不等式f(lnx)>1lnx+2的解集为（ ）
A.(e2, +∞)B.(0, e2)C.(e, e2)D.(1, e2)
二、填空题

若x，y满足约束条件 x−y+4≤0,x−2≤0,x+y−2≥0, 则z=x+2y的最小值为________.

已知曲线f(x)=23x3在点（1, f(1)）处的切线的倾斜角为α，则sin2α−cs2α2sinαcsα+cs2α的值为________.

已知边长为23的菱形ABCD中，∠BAD=60∘，沿对角线BD折成二面角A−BD−C为120∘的四面体ABCD，则该四面体的外接球的表面积为________．

已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE=3OF（O为坐标原点），若抛物线C上存在一点Mx0,y0，其中x0≠0，使过点M
的切线l⊥ME，则切线l在y轴上的截距为________．
三、解答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bsin(C−π3)−csinB=0．
(1)求角C；

(2)若a=4，c=27，求△ABC的面积.

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2.

(1)求证：AB⊥BC；

(2)若直线AC与平面A1BC所成角的大小为30∘，求锐二面角A−A1C−B的大小．

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+tcsα，y=tsinα(其中t为参数，01lnx+2⇒f(lnx)−1lnx>2⇒g(lnx)>g(2)，
又由g(x)在(0, +∞)上为增函数，则有lnx>2，解得x>e2，
即不等式的解集为(e2, +∞).
故选A.
二、填空题
【答案】
5
【考点】
简单线性规划
求线性目标函数的最值
【解析】
先由约束条件作出可行域，再由z=x+2y，得y=−12x+z2，因此直线y=−12x+z2在y轴上截距最小时，z=x+2y取最小，结合图象即可求得结果.
【解答】
解：根据约束条件作出可行域如下：
由z=x+2y，得y=−12x+z2，
因此直线y=−12x+z2在y轴上截距最小时，z=x+2y取最小，
由x+y−2=0，x−y+4=0得x=−1，y=3，因此A(−1,3)，
由图象易得当直线y=−12x+z2过点A(−1,3)时，在y轴上截距最小时，
即zmin=−1+2×3=5.
故答案为：5.
【答案】
35
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
求出函数的导数，求得f(x)在点（1, f(1)）处切线斜率，利用同角三角函数关系式即可化简得解．
【解答】
解：因为曲线f(x)=23x3．
所以函数f(x)的导函数f′(x)=2x2，可得：f′(1)=2，
因为曲线f(x)=23x3在点（1, f(1)）处的切线的倾斜角为α，
所以tanα=f′(1)=2，
所以sin2α−cs2α2sinαcsα+cs2α=tan2α−12tanα+1=4−14+1=35．
故答案为：35．
【答案】
28π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】

【解答】
解：如图1，
取BD的中点E，连接AE，CE．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AE⊥BD，
AC在平面ABD上的投影为AE，所以AC⊥BD，所以平面ACE⊥平面BCD．
易得外接球的球心在平面ACE内，
如图2，在CE上取点G，使CG=2GE，过点G作l1垂直CE，过点E作l2垂直于AC．
设l1与l2交于点O，连接OA，
则OA=OC，
则O为球心．易得OG⊥CD，OE垂直平分AC，
其中CG=2GE=2，∠CEA=120∘，
所以OG=GE.tan60∘=3，
所以R=OC=OA=7，即外接球的表面积为28π.
故答案为：28π.
【答案】
−1
【考点】
抛物线的求解
直线的截距式方程
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
先对函数y=14x2求导，求出抛物线C在点Mx0,y0处的切线斜率，再根据OE=30F，得到E点坐标，由过点M的切
线1⊥ME，求出M点坐标，进而可得切线方程，即可求出结果
【解答】
解：因为抛物线方程x2=4y可化为y=14x2，所以y′=12x，
因此抛物线C在点Mx0,y0处的切线斜率为k=12x0.
又F为抛物线C:x2=4y的焦点，所以F0,1，
因为E为y轴正半轴上的一点，且OE=3OF，所以E0,3，
所以kME=y0−3x0，
因为过点M的切线l⊥ME，
所以k⋅kME=12x0⋅y0−3x0=−1，解得y0=1，
则x0=±2，
所以y−1=x−2或y−1=−x+2，
因此截距为−1.
故答案为：−1.
三、解答题
【答案】
解：(1) ∵ bsin(C−π3)−csinB=0，
∴ 由正弦定理可得，sinB(12sinC−32csC)−sinCsinB=0.
∵ sinB≠0，
∴ 12sinC+32csC=0.
∴ sin(C+π3)=0.
∵ C∈(0,π),
∴ C+π3∈(π3，4π3)，
∴ C+π3=π.
∴ C=2π3.
(2)∵ c2=a2+b2−2abcsC，
∴ b2+4b−12=0.
∵ b>0，
∴ b=2.
∴ S=12absinC=12×2×4×32=23.
【考点】
两角和与差的正弦公式
三角形的面积公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
(Ⅰ)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin(C+π3)=0．结合范围C∈(0, π)，可求C的值．
(Ⅱ)由已知利用余弦定理可求得b2+4b−12＝0，解得b的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．
【解答】
解：(1) ∵ bsin(C−π3)−csinB=0，
∴ 由正弦定理可得，sinB(12sinC−32csC)−sinCsinB=0.
∵ sinB≠0，
∴ 12sinC+32csC=0.
∴ sin(C+π3)=0.
∵ C∈(0,π),
∴ C+π3∈(π3，4π3)，
∴ C+π3=π.
∴ C=2π3.
(2)∵ c2=a2+b2−2abcsC，
∴ b2+4b−12=0.
∵ b>0，
∴ b=2.
∴ S=12absinC=12×2×4×32=23.
【答案】
(1)证明：取A1B的中点D，连接AD．
因为AA1=AB，
所以AD⊥A1B．
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
得AD⊥平面A1BC．
又BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC，
又AA1∩AD=A，
从而BC⊥侧面ABB1A1，
又AB⊂侧面A1ABB1，
故AB⊥BC．
(2)解：连接CD，由(1)知AD⊥平面A1BC，
则CD是AC在平面A1BC内的射影，
∴ ∠ACD即为直线AC与平面A1BC所的角，
则∠ACD=30∘．
在等腰直角△A1AB中，A1A=AB=2，
且点D是A1B中点，
∴ AD=12A1B=2，
又∠ADC=90∘，∠ACD=30∘，
∴ AC=22.
过点A作AE⊥A1C于点E，连接DE，
由(1)知AD⊥平面A1BC，
则AD⊥A1C，
又AE∩AD=A，
∴ A1C⊥DE，
∴ ∠AED即为二面角A−A1C−B的一个平面角．
在直角△A1AC中，AE=A1A⋅ACA1C=2×2223=263，
又AD=2，∠ADE=90∘，
∴ sin∠AED=ADAE=2263=32，
又二面角A−A1C−B为锐二面角，
∴ ∠AED=60∘，
即二面角A−A1C−B的大小为60∘．
【考点】
两条直线垂直的判定
二面角的平面角及求法
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：取A1B的中点D，连接AD．
因为AA1=AB，
所以AD⊥A1B．
由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，
得AD⊥平面A1BC．
又BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC．
因为三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱，
则AA1⊥底面ABC，
所以AA1⊥BC，
又AA1∩AD=A，
从而BC⊥侧面ABB1A1，
又AB⊂侧面A1ABB1，
故AB⊥BC．
(2)解：连接CD，由(1)知AD⊥平面A1BC，
则CD是AC在平面A1BC内的射影，
∴ ∠ACD即为直线AC与平面A1BC所的角，
则∠ACD=30∘．
在等腰直角△A1AB中，A1A=AB=2，
且点D是A1B中点，
∴ AD=12A1B=2，
又∠ADC=90∘，∠ACD=30∘，
∴ AC=22.
过点A作AE⊥A1C于点E，连接DE，
由(1)知AD⊥平面A1BC，
则AD⊥A1C，
又AE∩AD=A，
∴ A1C⊥DE，
∴ ∠AED即为二面角A−A1C−B的一个平面角．
在直角△A1AC中，AE=A1A⋅ACA1C=2×2223=263，
又AD=2，∠ADE=90∘，
∴ sin∠AED=ADAE=2263=32，
又二面角A−A1C−B为锐二面角，
∴ ∠AED=60∘，
即二面角A−A1C−B的大小为60∘．
【答案】
解：(1)当α=π2时，l:x=1；
当α≠π2时，l: y=tanα(x−1).
由ρsin2θ=4csθ得ρ2sin2θ=4ρcsθ，
因为x=ρcsθ, y=ρsinθ，
所以曲线C的直角坐标方程y2=4x.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：
sin2αt2−(4csα)t−4=0，
则t1+t2=4csαsin2α, t1t2=−4sin2α，
因为|AB|=|t1−t2|=(t1+t2)2−4t1t2=4sin2α=8，
所以sinα=22或−22，
因为0