2020-2021学年河南省郑州市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省郑州市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若sin2θ<0，则角θ是（ ）
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第二或第四象限角

2. 若点(sin2π3, cs2π3)在角α的终边上，则sinα的值为( )
A.32B.12C.−12D.−32

3. 已知向量a→=(2, 0)，a→−b→=(3,1)，则下列结论正确的是( )
A.a→⋅b→=2B.a→//b→
C.b→⊥(a→+b→)D.|a→|=|b→|

4. 下列函数中最小正周期是π且图象关于直线x=π6对称的是( )
A.y=2sin(2x+π6)B.y=2cs(2x−π6)C.y=2cs(x2+π3)D.y=2sin(2x−π3)

5. 若csα(1+3tan10∘)=1，则α的一个可能值为( )
A.10∘B.40∘C.50∘D.70∘

6. 执行如图所示的程序框图，若输入n=7，则输出C=( )

A.5B.8C.13D.21

7. 已知向量a→=sinθ,−4，b→=2,csθ，且a→⊥b→，则sin2θ+6cs2θ的值为( )
A.2B.3C.4D.5

8. 已知tanα，tanβ是x2+33x+4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则α+β为( )
A.π6B.−23πC.π6或−56πD.−π3或23π

9. 曲线y=2csx+π4csx−π4和直线y=13在y轴右侧的交点按照横坐标从小到大的顺序依次记作A1，A2，A3，⋯，则|A2017A2021|=( )
A.πB.2πC.3πD.4π

10. 当x=θ时，函数fx=5sinx+12csx取得最小值，则sinθ=( )
A.−513B.−1213C.513D.1213

11. 已知函数fx=sinπ4x−1在区间0,10上的所有零点之和等于( )
A.5B.10C.15D.20

12. 直角坐标系中，角α0<α<π2和角β−π2<β<0的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为−513，且满足S△AOB=34，则sinα23csα2−sinα2+12的值( )
A.513B.1213C.32D.12
二、填空题

已知向量a→，b→，若a→在b→方向上的投影为2，|b→|=3，则a→⋅b→=________．

在△ABC中，若tanA=−34，则csA=________．

已知向量a→，b→满足|a→|=|b→|=2，且(a→+2b→)⋅(a→−b→)=−2，则向量a→与b→的夹角为________．

某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为10cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与秒针上标12的点B重合，将A、B两点间距离d(cm)表示成ts的函数，则d=________．其中t∈0,60
三、解答题

已知3π2<α<2π，csα=35．
(1)求sinα．

(2)求sinα+π−2csπ2−αsin−α−csπ−α的值．

在平面直角坐标系xOy中，已知A−2,3，B1,1，C1,5．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长．

(2)当t为何值时，AB→+tOB→与AC→垂直？

已知向量m→=sinx,−1，n→=csx,32，函数fx=m→+n→⋅m→．
(1)求函数fx的周期和单调递增区间；

(2)将函数fx的图象向左平移π4个单位得到gx的图象，当x∈0,π2时，若方程gx+m=0有根，求m的取值范围．

已知0(1)求fx的解析式；

(2)若tan2α−π3=2，求fα2+2f2α−π6的值．

主动降噪耳机工作的原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）．已知某噪声的声波曲线fx=Asin2π3x−φA>0,0≤φ<π2的振幅为2，且经过点(1,2).

(1)求降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式gx；

(2)试探究gt+gt+1+gt+2是否为定值．若是，求出定值；若不是，说明理由.

某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表所示．

(1)直接写出表格中空格处的数以及fx的解析式；

(2)将y=fx图象上所有的点向右平移θ0<θ<π个单位长度，得到y=gx的图象，若y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，求θ的值；

(3)在(2)的条件下，若对任意的0≤x1参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省郑州市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
二倍角的正弦公式
三角函数值的符号
象限角、轴线角
【解析】
利用二倍角的正弦公式可得sinθ与csθ异号，故θ是第二或第四象限角，从而得出结论．
【解答】
解：若sin2θ<0，则sinθ⋅csθ<0，
故sinθ与csθ异号，
故θ是第二或第四象限角.
故选D．
2.
【答案】
C
【考点】
三角函数线
【解析】
由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．
【解答】
解：由题意，x=sin2π3=32，
y=cs2π3=−12，r=1，
∴ sinα=yr=−12．
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量模长的计算
【解析】
根据题意，求出b→=(−1, −1)，据此分析选项，综合即可得答案．
【解答】
解：根据题意，向量a→=(2, 0)，a→−b→=(3, 1)，
则b→=(−1, −1)，
依次分析选项：
对于A，a→⋅b→=2×(−1)+0×(−1)=−2，错误；
对于B，0×(−1)≠2×(−1)，a→与b→不平行，错误；
对于C，a→+b→=(1, −1)，
b→⋅(a→+b→)=(−1)×1+(−1)×(−1)=0，
则b→⊥(a→+b→)，正确；
对于D，|a→|=2，|b→|=1+1=2，错误.
故选C.
4.
【答案】
A
【考点】
三角函数的周期性及其求法
正弦函数的对称性
【解析】
根据函数的周期性和对称性即可得到结论．
【解答】
解：由最小正周期为π可排除选项C；
对于选项A，当x=π6时，函数取得最大值，显然符合题意；
对于选项B，当x=π6时，函数值得3，不符合题意；
对于选项D，当x=π6时，函数值得0，不符合题意.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
二倍角的正弦公式
诱导公式
【解析】
直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果．
【解答】
解：将csα(1+3tan10∘)=1整理得：
csα(1+3sin10∘cs10∘)=1，
⇒csα(cs10∘+3sin10∘cs10∘)=1，
即csα⋅2sin(10∘+30∘)cs10∘=1，
则csα⋅2sin40∘cs10∘=1．
当α=40∘时，
cs40∘⋅2sin40∘cs10∘=2sin40∘cs40∘cs10∘
=sin80∘cs10∘=cs10∘cs10∘=1，两边相等．
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量C的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得
n=7，A=1，B=1, k=3
满足条件k<7，执行循环体，C=2，
A=1，B=2，k=4
满足条件k<7，执行循环体，C=3，
A=2，B=3，k=5，
满足条件k<7，执行循环体，C=5，
A=3，B=5，k=6，
满足条件k<7，执行循环体，C=8，
A=5，B=8，k=7，
此时，不满足条件k<7，退出循环，输出C的值为8．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
利用平面向量的垂直，求出正切值，利用同角关系，即可得出答案.
【解答】
解：∵ a→⊥b→，
∴ 2sinθ−4csθ=0，即tanθ=2，
∴ sin2θ+6cs2θ=2sinθcsθ+6cs2θsin2θ+cs2θ
=2tanθ+6tan2θ+1=2×2+622+1=2.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
一元二次方程的根的分布与系数的关系
两角和与差的正切公式
【解析】
先根据韦达定理求得tanα⋅tnaβ和tanα+tanβ的值，进而利用正切的两角和公式求得tan(α+β)的值，根据tanα⋅tnaβ>0，tanα+tanβ<0推断出tanα<0，tanβ<0，进而根据已知的α，β的范围确定α+β的范围，进而求得α+β的值．
【解答】
解：依题意可知tanα+tanβ=−33，tanα⋅tanβ=4，
∴ tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3.
∵ tanα⋅tanβ>0，tanα+tanβ<0，
∴ tanα<0，tanβ<0.
∵ −π2<α<π2，−π2<β<π2，
∴ −π2<α<0，−π2<β<0，
∴ −π<α+β<0，
∴ α+β=−2π3.
故选B.
9.
【答案】
B
【考点】
余弦函数的图象
三角函数的化简求值
【解析】
由三角函数的诱导公式化简曲线解析式，由此得到去下为周期函数，得到|P2017P2021|的距离．
【解答】
解：∵y=2csx+π4csx−π4=cs2x−sin2x=cs2x，
∴函数y为周期函数， T=π，
∵曲线y和直线y=13在y轴右侧的每个周期的图象都有两个交点，
A2017和A2021相隔2个周期，
故|A2017A2021|=2π．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
辅助角公式
【解析】
利用辅助角公式化简fx的解析式，再根据正弦函数的最值，求得fx 在x=θ函数取得最小值时sinθ的值．
【解答】
解：函数fx=5sinx+12csx
=13513sinx+1213csx
=13sin(x+α)，
其中csα=513，sinα=1213，
又函数fx在x=θ时取得最小值，
所以当sin(θ+α)=−1时，函数fx取得最小值，
此时θ+α=2kπ−π2，
所以θ=2kπ−π2−α时，
所以sinθ=sin2kπ−π2−α
=−sinπ2+α=−csα=−513.
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
正弦函数的图象
【解析】
首先确定函数的零点，然后求解零点之和即可.
【解答】
解：函数fx=sinπ4x−1的零点满足：
π4x−1=kπ,k∈Z，
解得x=4k+1k∈Z，
取k=0,1,2可得函数在区间0,10上的零点为：1,5,9，
则所有零点之和为1+5+9=15.
故选C.
12.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的正弦公式
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图：
由图易知∠xOA=α，∠xOB=−β．
由题可知，sinβ=−513，
∵ S△AOB=34，
∴ ∠AOB=π3，即α−β=π3，即α=π3+β.
则sinα23csα2−sinα2+12
=3sinα2csα2−sin2α2+12
=32sinα−12(1−csα)+12
=32sinα+12csα
=sin(α+π6)
=sin(π3+β+π6)
=sin(β+π2)=csβ=1−sin2β=1213.
故选B.
二、填空题
【答案】
6
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的投影
【解析】
利用向量的数量积公式以及已知条件求解即可．
【解答】
解：向量a→，b→，若a→在b→方向上的投影为2，
可得|a→|cs⟨a→,b→⟩=2，
|b→|=3，
则a→⋅b→=|a→||b→|cs⟨a→,b→⟩=3×2=6．
故答案为：6．
【答案】
−45
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sinA和csA的值，可得sinA+csA的值．
【解答】
解：△ABC中，
∵ tanA=−34=sinAcsA，A∈(0, π)，sin2A+cs2A=1，
∴ sinA=35，csA=−45.
故答案为：−45．
【答案】
π3
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
将(a→+2b→)•(a→−b→)=−2展开，得出a→⋅b→，代入夹角公式计算．
【解答】
解：∵ (a→+2b→)⋅(a→−b→)=−2，
∴ a→2+a→⋅b→−2b→2=−2，
∴ a→⋅b→=2，
∴ cs=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=12，
∴ 向量a→与b→的夹角为π3．
故答案为：π3．
【答案】
20sinπt60
【考点】
三角函数模型的应用
【解析】
由题意知可以先写出秒针转过的角度，整个圆周对应的圆心角是2π，可以算出1秒转过的角度，再乘以时间，把要求的线段分成两部分，用直角三角形求得结果．
【解答】
解：如图，
由题意知，∠AOB=t60×2π=πt30,
根据直角三角形的边长求法得：
d=2×10×sin12∠AOB=20sinπt60，t∈[0,60]．
故答案为：20sinπt60．
三、解答题
【答案】
(1)∵3π2<α<2π，csα=35，
∴sinα=−1−cs2α
=−1−352=−45．
(2)sinα+π−2csπ2−αsin−α−csπ−α
=−sinα−2sinα−sinα+csα
=−3sinα−sinα+csα
=−3×−4545+35
=127．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
运用诱导公式化简求值
【解析】
(1)由已知直接利用同角三角函数基本关系式求解sinα的值；
(2)利用三角函数的诱导公式化简求值．
【解答】
(1)∵3π2<α<2π，csα=35，
∴sinα=−1−cs2α
=−1−352=−45．
(2)sinα+π−2csπ2−αsin−α−csπ−α
=−sinα−2sinα−sinα+csα
=−3sinα−sinα+csα
=−3×−4545+35
=127．
【答案】
解：(1)∵ AB→=(3,−2)，AC→=(3,2)，
∴ AB→+AC→=(6,0)，且AB→−AC→=(0,−4)，
∴ |AB→+AC→|=6，|AB→−AC→|=4，
所以，所求的两条对角线长分别是6和4．
(2)∵ AB→+tOB→=(3+t,−2+t)，AC→=(3,2)，
AB→+tOB→与AC→垂直，
∴ 3(3+t)+2(−2+t)=0，
∴ t=−1．
【考点】
向量的模
向量加减混合运算及其几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ AB→=(3,−2)，AC→=(3,2)，
∴ AB→+AC→=(6,0)，且AB→−AC→=(0,−4)，
∴ |AB→+AC→|=6，|AB→−AC→|=4，
所以，所求的两条对角线长分别是6和4．
(2)∵ AB→+tOB→=(3+t,−2+t)，AC→=(3,2)，
AB→+tOB→与AC→垂直，
∴ 3(3+t)+2(−2+t)=0，
∴ t=−1．
【答案】
解：1fx=sinx+cs,12⋅sinx,−1
=sin2x+sinxcsx−12
=12sin2x+121−cs2x−12
=12sin2x−cs2x
=22sin2x−π4，
∴T=π．
令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，
即：−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，
∴fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπk∈Z．
2由题意gx=22sin2x+π4，
∵0∴π4<2x+π4<5π4，
即：−22即：−12∵gx+m=0有根，
∴gx=−m有解，
∴−12<−m≤22，
即：m∈−22,12．
【考点】
正弦函数的单调性
正弦函数的周期性
二倍角的正弦公式
两角和与差的正弦公式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：1fx=sinx+cs,12⋅sinx,−1
=sin2x+sinxcsx−12
=12sin2x+121−cs2x−12
=12sin2x−cs2x
=22sin2x−π4，
∴T=π．
令−π2+2kπ≤2x−π4≤π2+2kπ，k∈Z，
即：−π8+kπ≤x≤3π8+kπ，
∴fx的单调递增区间为−π8+kπ,3π8+kπk∈Z．
2由题意gx=22sin2x+π4，
∵0∴π4<2x+π4<5π4，
即：−22即：−12∵gx+m=0有根，
∴gx=−m有解，
∴−12<−m≤22，
即：m∈−22,12．
【答案】
解：1∵fx=f5π6−x，
∴fx关于x=512π对称，
∴5π12m−π3=π2+kπ，
∴m=2+125kk∈Z，
∵0∴m=2，
∴fx=sin2x−π3．
2fα2+2f2α−π6
=sin22α−π3+2sin22α−π6−π3
=sin22α−π3+2sin4α−2π3sin22α−π3+cs22α−π3
=sin22α−π3+4sin2α−π3cs2α−π3sin22α−π3+cs22α−π3
=tan22α−π3+4tan2α−π3tan22α−π3+1
=125．
【考点】
正弦函数的对称性
三角函数的化简求值
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：1∵fx=f5π6−x，
∴fx关于x=512π对称，
∴5π12m−π3=π2+kπ，
∴m=2+125kk∈Z，
∵0∴m=2，
∴fx=sin2x−π3．
2fα2+2f2α−π6
=sin22α−π3+2sin22α−π6−π3
=sin22α−π3+2sin4α−2π3sin22α−π3+cs22α−π3
=sin22α−π3+4sin2α−π3cs2α−π3sin22α−π3+cs22α−π3
=tan22α−π3+4tan2α−π3tan22α−π3+1
=125．
【答案】
解：(1)由振幅为2，得A=2.
又因为曲线f(x)经过点1,2，
所以2sin2π3−φ=2，
即2π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，
所以φ=π6−2kπ(k∈Z).
因为0≤φ<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=2sin2π3x−π6，
故gx=−2sin2π3x−π6 .
(2)因为gx=−2sin2π3x−π6，
所以gt=−2sin2π3t−π6=−3sin2π3t+cs2π3t，
gt+1=−2sin2π3t+2π3−π6=−2cs2π3t，
gt+2=−2sin2π3t+4π3−π6=2sin2π3t+π6
=3sin2π3t+cs2π3t，
所以gt+gt+1+gt+2=0，为定值.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数模型的选择与应用
两角和与差的正弦公式
【解析】
（1）由振幅为2，得A=2，
又因曲线经过点1,2，可知sin2π3−φ=1，
因为0≤φ<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin2π3x−π6，故gx=−2sin2π3x−π6 .
（2）gt=−2sin2π3t=π6=−3sin2π3+cs2π3．
gt+1=−2sin2π3t+2π3−π6=−2cs2π3，
gt+2=−2sin2π3t+4π3−π6=2sin2π3t+π6=3sin2π3+cs2π3t .
所以gt+gt+1+gt+2=0，为定值．
【解答】
解：(1)由振幅为2，得A=2.
又因为曲线f(x)经过点1,2，
所以2sin2π3−φ=2，
即2π3−φ=π2+2kπ(k∈Z)，
所以φ=π6−2kπ(k∈Z).
因为0≤φ<π2，
所以φ=π6，
所以f(x)=2sin2π3x−π6，
故gx=−2sin2π3x−π6 .
(2)因为gx=−2sin2π3x−π6，
所以gt=−2sin2π3t−π6=−3sin2π3t+cs2π3t，
gt+1=−2sin2π3t+2π3−π6=−2cs2π3t，
gt+2=−2sin2π3t+4π3−π6=2sin2π3t+π6
=3sin2π3t+cs2π3t，
所以gt+gt+1+gt+2=0，为定值.
【答案】
解：(1)根据表格得A=2.
当x=−π3时，ωx+φ=0，即−π3ω+φ=0，
当x=2π3时，ωx+φ=π2，2π3ω+φ=π2，
所以ω=12，φ=π6，
所以f(x)的解析式为fx=2sin12x+π6，
当12x+π6=π时，解得x=5π3，
所以表格中空格处的数为5π3.
(2)由(1)得fx=2sin12x+π6，
所以gx=2sin12x−θ+π6=2sin12x−θ2+π6.
因为y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，
则−π3−θ2+π6=π2+kπk∈Z，
所以θ=−2kπ−4π3k∈Z.
因为0<θ<π，
所以θ=2π3 .
(3)由(2)知，gx=fx−2π3=2sin12x−π6.
因为fx1−fx2所以fx1+gx1可知函数fx+gx在[0,t]上单调递增.
令Fx=fx+gx，
则Fx=fx+gx
=2sin12x+π6+2sin12x−π6
=3sin12x+cs12x+3sin12x−cs12x
=23sin12x．
易知Fx在[0,π]上单调递增，所以t的最大值为π.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
两角和与差的正弦公式
函数恒成立问题
【解析】
（1）表格中空格处的数为5π3，解析式为fx=2sin12x+π6 .
（2）由条件知gx=2sin12x−0+π6=2sin12x−β2+π6，
y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，
则−π3−θ2+π6=π2+kπk∈Z，
所以θ=−2kπ−4π3k∈Z，
因为0<0<π，所以θ=2π3 .
（3）由（2）知，gx=fx−2π3=2sin12x−π6，
由fx1−fx2可知函数fx=fx+gx在[0,1]上单调递增，
Fx=fx+gx=2sin12x+π6+2sin12x−π6
=3sin12x+cs12x+3sin12x−cs12x
=23sin12x．
易知Fx在[0,x)上单调递增，所以t的最大值为π .
【解答】
解：(1)根据表格得A=2.
当x=−π3时，ωx+φ=0，即−π3ω+φ=0，
当x=2π3时，ωx+φ=π2，2π3ω+φ=π2，
所以ω=12，φ=π6，
所以f(x)的解析式为fx=2sin12x+π6，
当12x+π6=π时，解得x=5π3，
所以表格中空格处的数为5π3.
(2)由(1)得fx=2sin12x+π6，
所以gx=2sin12x−θ+π6=2sin12x−θ2+π6.
因为y=gx图象的一条对称轴方程为x=−2π3，
则−π3−θ2+π6=π2+kπk∈Z，
所以θ=−2kπ−4π3k∈Z.
因为0<θ<π，
所以θ=2π3 .
(3)由(2)知，gx=fx−2π3=2sin12x−π6.
因为fx1−fx2所以fx1+gx1可知函数fx+gx在[0,t]上单调递增.
令Fx=fx+gx，
则Fx=fx+gx
=2sin12x+π6+2sin12x−π6
=3sin12x+cs12x+3sin12x−cs12x
=23sin12x．
易知Fx在[0,π]上单调递增，所以t的最大值为π.ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
−π3
2π3
8π3
11π3
fx
0
2
0
−2
0