2020-2021年安徽省宣城市高一（下）3月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021年安徽省宣城市高一（下）3月月考数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列命题正确的个数是( )
①AB→+BA→=0→，②0→⋅AB→=0→，③AB→−AC→=BC→，④0⋅AB→=0.
A.1B.2C.3D.4

2. 将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，则这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一个点B.一条线段C.一个圆D.两个点

3. 已知向量a→与b→反向，下列等式中成立的是( )
A.|a→|−|b→|=|a→−b→|B.|a→+b→|=|a→−b→|
C.|a→|+|b→|=|a→−b→|D.|a→|+|b→|=|a→+b→|

4. 若向量a→=(1, 1)，b→=(1, −1)，c→=(−1, 2)，则c→等于( )
A.−12a→+32b→B.12a→−32b→C.32a→−12b→D.−32a→+12b→

5. e1→和e2→是表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四个向量中，不能作为一组基底的是( )
A.e1→+e2→和e1→−e2→B.3e1→−2e2→和4e2→−6e1→
C.e1→+2e2→和e2→+2e1→D.e2→和 e2→+e1→

6. 已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→+OB→+OC→=0→，那么( )
A.AO→=OD→B.AO→=2OD→C.AO→=3OD→D.2AO→=OD→

7. 下列命题中：①若a→⋅b→=0，则a→=0→或b→=0→；
②若不平行的两个非零向量a→，b→满足 |a→|=|b→|，则(a→+b→)⋅(a→−b→)=0；
③若a→与b→平行，则|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|；
④若a→ // b→，b→ // c→，则a→ // c→.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4

8. 已知P1(−4,7)，P2(−1,0)，且点P在线段P1P2的延长线上，且|P1P→|=2|PP2→|，则点P的坐标( )
A.(−2,11)B.(43,1)C.(23,3)D.(2,−7)

9. 已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB|→+AC→|AC|→⋅BC→=0，且AB→|AB|→⋅AC→|AC|→=12，则△ABC为( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰非等边三角形D.等边三角形

10. 已知平面上三点A，B，C满足|AB→|=3，|BC→|=4，|CA→|=5，则AB→⋅BC→+BC→⋅CA→+CA→⋅AB→的值等于( )
A.25B.24C.−25D.−24

11. 在△ABC中，Q是AC的中点，P在BC上且BP→=2PC→，若PA→=(4,3)，PQ→=(1,5)，则BC→=( )
A.(−6, 21)B.(−2, 7)C.(6, −21)D.(2, −7)

12. 若点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM→=34AB→+14AC→，则△ABM与△ABC的面积之比等于( )
A.34B.14C.13D.12
二、填空题

已知向量a→，b→满足a→与b→的夹角是120∘，|a→|=1，|b→|=2，向量b→在向量a→上的投影向量是________.

已知a→，b→都是非零向量，且a→+3b→与7a→−5b→垂直，a→−4b→与7a→−2b→垂直，则a→与b→的夹角为________．

已知a→=−2,1与b→=λ,−1的夹角是钝角，则λ的取值范围是________.

设向量a→，b→，c→满足a→+b→+c→=0→，(a→−b→)⊥c→，a→⊥b→．若|a→|=1，则|a→|2+|b→|2+|c→|2的值是________．
三、解答题

已知向量a→，b→，c→满足a→+b→+c→=0→，且|a→|=3，|b→|=5，|c→|=7，求a→，b→的夹角θ.

在边长为1的正三角形ABC中，设BC→=2BD→，CA→=3CE→，试求AD→⋅BE→.

已知A2,1，B3,2，D−1,4，O0,0.
(1)求证： AB→⊥AD→；

(2)若四边形ABCD为矩形，试确定点C的坐标；

(3)若M为直线OD上的一个动点，当MA→⋅MB→取最小值时，求OM→的坐标.

设a→，b→是两个不共线的非零向量， t∈R.
(1)若OA→=a→，OB→=tb→，OC→=13a→+b→，则当t为何值时，A，B，C不能构成三角形；

(2)若|a→|=|b→|，且a→与b→的夹角为60∘ ，则t为何值时， |a→−tb→|的值最小？

已知函数f(x)=sin2x+cs2x+12csx．
(1)求f(x)的定义域和值域；

(2)若α∈(−π4,π4)，且f(α)=325，求cs2α的值．

已知函数f(x)=csx(3sinx−csx)+m(m∈R)，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位后得到g(x)的图象，且y=g(x)在区间[π4, π3]内的最小值为32．
(1)求m的值；

(2)在锐角△ABC中，若g(C2)=−12+3，求sinA+csB的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年安徽省宣城市高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
向量数乘的运算及其几何意义
零向量
向量的加法及其几何意义
向量的减法及其几何意义
【解析】
①AB→+BA→=AB→−AB→=0→；
②0→⋅AB→=0≠0→；
③AB→−AC→=CB→≠BC→；
④0⋅AB→=0→≠0．
【解答】
解：①AB→+BA→=AB→−AB→=0→，正确；
②0→⋅AB→=0≠0→，不正确；
③AB→−AC→=CB→≠BC→，不正确；
④0⋅AB→=0→≠0，不正确．
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
单位向量
平行向量的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为平行向量是方向相同或相反的，又因为都是单位向量，所以将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点，这些向量的终点所构成的图形是两个点.
故选D.
3.
【答案】
C
【考点】
向量的模
平行向量的性质
【解析】
向量a→与b→反向，可得：|a→|−|b→|<|a→−b→|，|a→+b→|<|a→−b→|，|a→|+|b→|=|a→−b→|，即可判断出．
【解答】
解：∵ 向量a→与b→反向，
∴ |a→|−|b→|<|a→−b→|，|a→+b→|<|a→−b→|，
可知只有C正确．
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
平面向量的坐标运算
向量的线性运算性质及几何意义
相等向量与相反向量
【解析】
利用向量相等、线性运算即可得出．
【解答】
解：设c→=ma→+nb→，
则(−1, 2)=m(1, 1)+n(1, −1)=(m+n, m−n)，
所以m+n=−1，m−n=2，
解得m=12，n=−32，
所以c→=12a→−32b→．
故选B.
5.
【答案】
B
【考点】
平面向量的正交分解及坐标表示
【解析】
由题意，e1→和e2→是表示平面内所有向量的一组基底，找出不能作为一组基底的向量方法就是验证它们共线，故对四个选项进行考查，找出共线的那一组即可找到正确选项
【解答】
解：由题意 e1→和e2→是表示平面内所有向量的一组基底，
A，找不到一个非零实数λ使得 e1→+e2→=λ(e1→−e2→)成立，所以两个向量是不共线的，可以作为一组基底，故
A不符合题意；
B，存在一个实数−2使得4e2→−6e1→=−2(3e1→−2e2→)，两向量共线，故不能作为基底，故B符合题意；
C与D中的两个向量是不共线的，可以作为一组基底，故CD不符合题意.
故选B.
6.
【答案】
A
【考点】
向量的三角形法则
【解析】
先根据所给的式子进行移项，再由题意和向量加法的四边形法则，得到OB→+OC→=2OD→，即有AO→=OD→成立．
【解答】
解：因为2OA→+OB→+OC→=0→，
所以OB→+OC→=−2OA→.
因为D为BC边中点，
所以OB→+OC→=2OD→，
所以AO→=OD→.
故选A.
7.
【答案】
B
【考点】
命题的真假判断与应用
向量的模
平行向量的性质
向量的共线定理
零向量
【解析】
根据向量垂直的充要条件，可判断①；根据向量模的定义及向量的数量积运算法则，可判断②，根据向量数量积的定义，可判断③；根据零向量的特殊性，可判断④
【解答】
解：若a→⋅b→=0，则a→=0→或b→=0→或a→⊥b→，故①错误；
若两个向量a→，b→满足|a→|=|b→|，
则(a→+b→)⋅(a→−b→)=a→2−b→2=|a→|2−|b→|2=0，故②正确；
若a→与b→同向或反向，都满足|a→⋅b→|=|a→|⋅|b→|，故③正确；
当b→=0→，由零向量与任意向量平行，可知a→ // c→不一定成立，故④错误.
故选B.
8.
【答案】
D
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为P在线段P1P2的延长线上，且|P1P→|=2|PP2→|，
所以P1P→=−2PP2→.
因为P1(−4, 7)，P2(−1, 0)，
设P(m,n)，
所以P1P→=(m+4, n−7)，PP2→=(−1−m,−n)，
所以m+4=2+2m，n−7=2n，
解得m=2，n=−7，
所以点P的坐标为(2,−7)．
故选D.
9.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
向量的加法及其几何意义
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
利用单位向量的定义及向量的数量积为0两向量垂直，得到等腰三角形；利用向量的数量积求出三角形的夹角，得到非等边三角形．
【解答】
解：因为AB→|AB→|+AC→|AC→|⋅BC→=0，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．
又因为AB→|AB→|⋅AC→|AC→|=12，
所以∠BAC=60∘，
所以三角形是正三角形．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的加法及其几何意义
【解析】
通过勾股定理判断出∠B＝90，利用向量垂直的充要条件求出 AB→⋅BC→=0，利用向量的运算法则及向量的运算律求出值．
【解答】
解：因为|AB→|=3，|BC→|=4，|CA→|=5，
且|AB→|2+|BC→|2=|AC→|2，
所以AB⊥BC，
所以AB→⋅BC→=0，
所以AB→⋅BC→+BC→⋅CA→+CA→⋅AB→
=0+CA→⋅(AB→+BC→)
=CA→⋅AC→
=−|AC→|2
=−25.
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用向量的坐标形式的运算法则求出AQ→，利用向量共线的充要条件求出AC→，利用向量共线的充要条件求出BC→
【解答】
解：由题意得AQ→=PQ→−PA→=(−3, 2)，
又∵ 点Q是AC的中点，
∴ AC→=2AQ→=(−6,4)，
∴ PC→=PA→+AC→=(−2,7).
∵ BP→=2PC→，
∴ BC→=3PC→=(−6, 21).
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，
因为点M是△ABC所在平面内一点，且满足AM→=34AB→+14AC→，
所以点M在边BC上，
所以S△ABMS△ABC=BMBC=14．
故选B.
二、填空题
【答案】
−a→
【考点】
向量的投影
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得向量b→在向量a→上的投影向量为
|b→|⋅cs⋅a→|a→|=2×(−12)a→=−a→.
故答案为：−a→.
【答案】
60∘
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
由a→+3b→与7a→−5b→垂直，a→−4b→与7a→−2b→垂直，我们不难得到(a→+3b→)•(7a→−5b→)=0(a→−4b→)•(7a→−2b→)=0，构造方程组，我们易得到a→2=b→2=2a→⋅b→，再结合csθ=|a→|⋅|b→|˙，我们求出a→与b→的夹角．
【解答】
解：因为a→+3b→与7a→−5b→垂直，
所以(a→+3b→)⋅(7a→−5b→)=7a→2−15b→2+16a→⋅b→=0①，
又因为a→−4b→与7a→−2b→垂直，
所以(a→−4b→)⋅(7a→−2b→)=7a→2+8b→2−30a→⋅b→=0②，
由①②得a→2=b→2=2a→⋅b→，
设a→与b→的夹角为θ，则csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=12.
因为θ∈[0,π]，
所以θ=60∘.
故答案为：60∘.
【答案】
λ>−12且λ≠2
【考点】
平面向量的夹角
平面向量的坐标运算
平面向量数量积的运算
【解析】
a→⋅b→<0且a→与b→不共线，列不等式求解即可.
【解答】
解：∵ a→=−2,1与b→=λ,−1的夹角为钝角，
∴ a→⋅b→<0且a→与b→不共线，
∴ −2λ−1<0且−2×−1≠λ，
解得λ>−12且λ≠2.
故答案为：λ>−12且λ≠2.
【答案】
4
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
向量的模
【解析】
由已知向量垂直，它们的数量积为0，结合平面向量数量积的运算性质，求出得|b→|=|a→|=1，从而求得计算结果．
【解答】
解：∵ a→+b→+c→=0→，
∴ c→=−a→−b→.
又∵ (a→−b→)⊥c→，
∴ (a→−b→)⋅c→=0，
即(a→−b→)⋅(−a→−b→)=0，
∴ (−b→)2−a→2=0，
∴|b→|=|a→|=1.
又∵ a→⊥b→，
∴ a→⋅b→=0，
∴ c→2=(−a→−b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=1+0+1=2，
∴ |a→|2+|b→|2+|c→|2=1+1+2=4.
故答案为：4．
三、解答题
【答案】
解：由题意得c→=−a→−b→，
则|c→|2=(−a→−b→)2，
∴ 49=9+25+30csθ，
∴csθ=12.
∵θ∈[0,π]，∴θ=π3.
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得c→=−a→−b→，
则|c→|2=(−a→−b→)2，
∴ 49=9+25+30csθ，
∴csθ=12.
∵θ∈[0,π]，∴θ=π3.
【答案】
解：如图，
AD→⋅BE→
=(AB→+BD→)⋅(BC→+CE→)
=(AB→+12BC→)⋅(BC→+13CA→)
=AB→⋅BC→+13AB→⋅CA→+12BC→2+16BC→⋅CA→
=−12−16+12−112
=−14．
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的加法及其几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
根据向量加法及条件便有：AD→=AB→+12BC→，BE→=BC→+13CA→，由条件可得到AB→，BC→，CA→三向量的长度及其夹角，从而进行数量积的运算即可．
【解答】
解：如图，
AD→⋅BE→
=(AB→+BD→)⋅(BC→+CE→)
=(AB→+12BC→)⋅(BC→+13CA→)
=AB→⋅BC→+13AB→⋅CA→+12BC→2+16BC→⋅CA→
=−12−16+12−112
=−14．
【答案】
(1)证明：由A2,1，B3,2，D−1,4，
则AB→=1,1， AD→=−3,3，
由AB→⋅AD→=1×−3+1×3=0，
则有AB→⊥AD→.
解：(2)若四边形ABCD为矩形，
则BC→⊥DC→，BC→⊥AB→，
设Cm,n ，
则AB→=1,1，BC→=m−3,n−2，DC→=m+1,n−4，
即有BC→⋅DC→=m−3⋅m+1+n−2n−4=0，
BC→⋅AB→=m−3+n−2=0，
解得m=3，n=2（舍去）或m=0，n=5，
所以C(0,5).
(3)由题意得直线OD的方程为y=−4x，
设Mx,−4x，
则MA→=2−x,1+4x，MB→=3−x,2+4x，
MA→⋅MB→=2−x3−x+1+4x2+4x
=17x2+7x+8=17x+7342+49568，
当x=−734时，MA→⋅MB→取最小值．
即有OM→的坐标为−734,1417.
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积的运算
二次函数的性质
【解析】
(1)运用向量的坐标运算和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
(2)设Cm,n ，求得向量BC，DC的坐标，再由向量垂直的条件，解方程即可得到C的坐标；
(3)直线OD的方程为y=−4x，设Mx,−4x ，求出向量MA，MB的坐标，再由数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到向量OM的坐标．
【解答】
(1)证明：由A2,1，B3,2，D−1,4，
则AB→=1,1， AD→=−3,3，
由AB→⋅AD→=1×−3+1×3=0，
则有AB→⊥AD→.
解：(2)若四边形ABCD为矩形，
则BC→⊥DC→，BC→⊥AB→，
设Cm,n ，
则AB→=1,1，BC→=m−3,n−2，DC→=m+1,n−4，
即有BC→⋅DC→=m−3⋅m+1+n−2n−4=0，
BC→⋅AB→=m−3+n−2=0，
解得m=3，n=2（舍去）或m=0，n=5，
所以C(0,5).
(3)由题意得直线OD的方程为y=−4x，
设Mx,−4x，
则MA→=2−x,1+4x，MB→=3−x,2+4x，
MA→⋅MB→=2−x3−x+1+4x2+4x
=17x2+7x+8=17x+7342+49568，
当x=−734时，MA→⋅MB→取最小值．
即有OM→的坐标为−734,1417.
【答案】
解：(1)由题意可得A，B，C三点共线，
必存在一个常数λ，使得AB→=λBC→ ，
则有OB→−OA→=λOC→−OB→，
又OA→=a→，OB→=tb→，OC→=13a→+b→，
∴ tb→−a→=13λa→+b→−λtb→
又a→，b→是两个不共线的非零向量，
∴ t+λt−13λ=0,13λ=−1,
解得 λ=−3,t=12,
故存在t=12时，A，B，C不能构成三角形.
(2)设|a→|=|b→|=k，
∵a→，b→两向量的夹角60∘，
∴ |a→−tb→|2=a→2−2ta→⋅b→+t2b→2
=k2−k2t+k2t2=k2t−122+34，
∴ 当t=12时， |a→−tb→|的值最小.
【考点】
向量的共线定理
向量模长的计算
【解析】
(1)由题意可得：A，B，C三点共线，必存在一个常数λ，使得AB→=λBC→，由此等式建立起关于λ，t的方程求出t的值；
(2)由题设条件，可以|a→−tb→|表示成关于实数tx的函数，根据所得的函数判断出它取出最小值时的t的值．
【解答】
解：(1)由题意可得A，B，C三点共线，
必存在一个常数λ，使得AB→=λBC→ ，
则有OB→−OA→=λOC→−OB→，
又OA→=a→，OB→=tb→，OC→=13a→+b→，
∴ tb→−a→=13λa→+b→−λtb→
又a→，b→是两个不共线的非零向量，
∴ t+λt−13λ=0,13λ=−1,
解得 λ=−3,t=12,
故存在t=12时，A，B，C不能构成三角形.
(2)设|a→|=|b→|=k，
∵a→，b→两向量的夹角60∘，
∴ |a→−tb→|2=a→2−2ta→⋅b→+t2b→2
=k2−k2t+k2t2=k2t−122+34，
∴ 当t=12时， |a→−tb→|的值最小.
【答案】
解：(1)f(x)=2sinxcsx+2cs2x−1+12csx
=sinx+csx=2sin(x+π4)，
由2csx≠0，得x≠kπ+π2(k∈Z)，
∴ x+π4≠kπ+3π4(k∈Z)，
则f(x)的值域为{y|−2≤y≤2}.
(2)∵ f(α)=325，
∴ 2sin(α+π4)=325，
∴ sin(α+π4)=35.
∵ −π4<α<π4，
∴ 0<α+π4<π2，
∴ cs(α+π4)=45，
∴ cs2α=sin(2α+π2)=2sin(α+π4)cs(α+π4)=2425.
【考点】
正弦函数的定义域和值域
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
【解析】
（1）根据分式有意义的条件可得，csx≠0，求解即可得函数的定义域；利用二倍角公式及辅助角对函数化简可得f(x)=2sin(x+π4)，结合正弦函数性质可求函数的值域，
（2）由于cs2x=sin(2x+π2)=sin[2(x+π4)]，故需要求sin(x+π4)，cs(x+π4)，由f(x)=325代入可求sin(x+π4)，结合已知条件中 x的范围可求cs(x+π4)，然后代入可求，
【解答】
解：(1)f(x)=2sinxcsx+2cs2x−1+12csx
=sinx+csx=2sin(x+π4)，
由2csx≠0，得x≠kπ+π2(k∈Z)，
∴ x+π4≠kπ+3π4(k∈Z)，
则f(x)的值域为{y|−2≤y≤2}.
(2)∵ f(α)=325，
∴ 2sin(α+π4)=325，
∴ sin(α+π4)=35.
∵ −π4<α<π4，
∴ 0<α+π4<π2，
∴ cs(α+π4)=45，
∴ cs2α=sin(2α+π2)=2sin(α+π4)cs(α+π4)=2425.
【答案】
解：(1)f(x)=3sinxcsx−cs2x+m
=32sin2x−12cs2x+m−12
=sin(2x−π6)+m−12，
∴ g(x)=sin[2(x+π6)−π6]+m−12
=sin(2x+π6)+m−12.
∵ x∈[π4, π3]，
∴ 2x+π6∈[2π3, 5π6]，
∴ 当2x+π6=5π6时，g(x)取得最小值12+m−12=m，
∴ m=32．
(2)∵ g(C2)=sin(C+π6)+32−12=−12+3，
∴ sin(C+π6)=32.
∵ C∈(0, π2)，
∴ C+π6∈(π6, 2π3)，
∴ C+π6=π3，即C=π6．
∴ sinA+csB=sinA+cs(5π6−A)
=sinA−32csA+12sinA
=32sinA−32csA
=3sin(A−π6)．
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ 0解得π3∴ A−π6∈(π6, π3)，
∴ 12∴ 32<3sin(A−π6)<32，
∴ sinA+csB的取值范围是(32, 32)．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
三角函数的最值
【解析】
（1）根据二倍角公式化简f(x)，利用平移规律得出g(x)的解析式，根据最小值列方程求出m；
（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+csB得出关于A函数，根据A的范围得出正弦函数的性质得出sinA+csB的范围．

【解答】
解：(1)f(x)=3sinxcsx−cs2x+m
=32sin2x−12cs2x+m−12
=sin(2x−π6)+m−12，
∴ g(x)=sin[2(x+π6)−π6]+m−12
=sin(2x+π6)+m−12.
∵ x∈[π4, π3]，
∴ 2x+π6∈[2π3, 5π6]，
∴ 当2x+π6=5π6时，g(x)取得最小值12+m−12=m，
∴ m=32．
(2)∵ g(C2)=sin(C+π6)+32−12=−12+3，
∴ sin(C+π6)=32.
∵ C∈(0, π2)，
∴ C+π6∈(π6, 2π3)，
∴ C+π6=π3，即C=π6．
∴ sinA+csB=sinA+cs(5π6−A)
=sinA−32csA+12sinA
=32sinA−32csA
=3sin(A−π6)．
∵ △ABC是锐角三角形，
∴ 0解得π3∴ A−π6∈(π6, π3)，
∴ 12∴ 32<3sin(A−π6)<32，
∴ sinA+csB的取值范围是(32, 32)．