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2020-2021学年山东省临沂市高二（下）7月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年山东省临沂市高二（下）7月月考数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2+6x−16<0}，则A∩B=（ ）
A.{x|−8
2. 箱子里有8个黑球和2个红球（球都有编号），从中依次摸出，红球全被摸出时即停止摸球．若恰好摸了3次就停止了，则不同的摸出方案的种数为（ ）
A.32B.36C.40D.48
3. 设x∈R，则“1x<1”是“12x>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 函数①y=x2②y=3x3③y=2lg2x④y=lg22x⑤y=x2⑥y=x3x中与函数y=x（x>0）是同一函数的有（ ）个
A.1B.2C.3D.4
5. 在x+1x2021−26的展开式中，x3的系数为 （ ）
A.−8B.−120C.−160D.160
6. 某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（ ）
7. 已知函数fx=2x−lg12x，且实数a>b>c>0满足fa⋅fb⋅fc<0，若实数x0是函数y=fx的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A.x0aC.x0
8. 已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)=xf(x)，则( )
A.g(lg314)>g(2−32)>g(2−23)B.g(lg314)>g(2−23)>g(2−32)
C.g(2−32)>g(2−23)>g(lg314)D.g(2−23)>g(2−32)>g(lg314)
二、多选题
已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′x，如图是函数y=xf′x的图像，则下列说法正确的有( )
A.函数fx的减区间是−∞,−2B.函数fx的增区间是−2,+∞
C.x=−2是函数的极小值点D.x=2是函数的极小值点
如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，⋯，6，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A.PX=1=PX=6=164B.PX=2=PX=5=532
C.PX=3=PX=4=516D.DX=32
下列结论正确的是（ ）
A.若函数y=fx+1，y=fx+4都是奇函数，则y=fx的周期T=6
B.若函数y=fx+1，y=fx+4都是偶函数，则y=fx的周期T=12
C.若函数y=fx+1是奇函数， y=fx+4是偶函数，函数则y=fx的周期T=6
D.若函数y=fx+1是奇函数， y=fx+4是偶函数，函数则y=fx的周期T=12
对于定义域为D的函数fx，若存在区间m,n⊆D，同时满足下列条件：①fx在m,n上是单调的；②当定义域是m,n时，fx 的值域也是m,n，则称m,n为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的有（ ）
A.fx=2x3+1B.fx=2xC.fx=lnx+1D.fx=ex−2
三、填空题
命题p:∀x∈R，x2−ax+a>0是假命题，则实数a的取值范围是________.
函数fx，gx分别由下表给出，则满足fgx>gfx的x的值为________．
函数fx=lg2x2−2x−3的单调减区间是________.
奇函数f(x)满足f1+x=f1−x，当0四、解答题
已知幂函数fx过点(2,4)，gx=fx+x4+|x|+1.
(1)指出gx的奇偶性及在区间0,+∞上的单调性（不用证明）；
(2)求满足gm+2>g2m−1的实数m的取值范围.
2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为x．
(1)分析发现，学生劳动常识竞赛成绩ξ∼N71,81，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；
(2)某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为34，通过后两关的的概率均为23，且每关是否通过相互独立，求X的分布列及数学期望．
附：若随机变量X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ<ξ≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ<ξ≤μ+3σ≈0.9973．
求函数fx=x2+2x+1ex在区间−4,0上的最小值和最大值.
文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月——5月不依规行驶的次数统计：
(1)求y关于x的经验回归方程y=bx+a，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；
(2)交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：
依据a=0.05的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？
附：①对于一组数据xi,yii=1,2,⋯n，其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为： b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，
②临界值表：
计算公式： X2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d，其中n=a+b+c+d.
已知函数fx=12x2−ax+lnxa∈R,gx=lnx−1ex．（其中e是自然对数的底数）
(1)若fx单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数fx有两个极值点x1,x2x1
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高二（下）7月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：集合A={x∈N|x≤3}={0, 1, 2, 3}，
B={x|x2+6x−16<0}={x|−8A∩B={0, 1}．
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
【解答】
解：根据题意，摸出方案的种数为：
共有C21C81A22=32．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由1x<1得x<0或x>1，
由12x>1得x<0，
则“1x<1”是“12x>1" 的必要不充分条件．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
由题意，对每个结论中的函数解析式进行整理，再结合其定义域和函数解析式进行求解即可.
【解答】
解：对于①；因为y=(x)2=x（x≥0）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于②；因为y=3x3=x（x∈R）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于③；因为y=2lg2x=x（x>0）其与函数y=x（x>0）为同一函数；
对于④；因为y=lg22x=x（x∈R）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于⑤；因为y=x2=|x|（x∈R）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于⑥；因为y=x3x=x（x>0）其与函数y=x（x>0）为同一函数，
综上得，满足条件的同一函数共有两个.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
由题意，利用二项式定理进行求解即可.
【解答】
解：已知二项式x+1x2021−26的展开式的通项为
Tr+1=C6r⋅xr(1x2021−2)6−r
=C6r⋅xr⋅C6−rk⋅x−2021k⋅(−2)6−r−k
=C6r⋅C6−rk⋅x−2021k+r⋅(−2)6−r−k，
不妨令−2021k+r=3，即r=2021k+3，
因为r≤6，
所以当k=0时，r=3，
则x3的系数为C63⋅C6−30⋅(−2)6−3−0=−160.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意，先计算出获奖人数的均值，再代入概率公式中求解即可.
【解答】
解：已知获奖人数的均值为20×0.9+12×0.8+8×0.7=33.2，
所以从中随机选出一名同学，他获奖的概率P=33.240=0.83.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx是定义域上的增函数．且a>b>c>0，
∴ f(c)∵ f(a)⋅f(b)⋅f(c)<0，
∴ f(a)，f(b)，f(c)中一项为负的、两项为正的，或者三项都是负的，
即f(c)<0，0由于实数x0是函数y=f(x)的一个零点，
当f(c)<0，0当f(c)a，此时B成立．
综上可得，D不可能成立.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
对数值大小的比较
【解析】
先构造函数g(x)＝xf(x)，可判断出g(x)为偶函数，x>0时单调递增，x<0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，即可比较大小．
【解答】
解：由奇函数f(x)是R上的增函数可得，
f(x)=−f(−x)，且当x>0时，f(x)>0，
又g(x)=xf(x)，
则g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，
即g(x)为偶函数，且当x>0时单调递增；当x<0时，函数单调递减.
因为g(lg314)=g(lg34)，
且2−32<2−23<20=1所以g(lg314)>g(2−23)>g(2−32).
故选B.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
函数的图象变换
【解析】
讨论x≥0,−2【解答】
解：当x≥0时，y=xf′x≥0，故f′x≥0，函数单调递增；
当−20，函数单调递增；
当x=−2时，y=xf′x=0，故f′−2=0;
当x<−2时，y=xf′x>0，故f′x<0，函数单调递减.
对比选项知：故ABC正确．
故选ABC．
【答案】
B,C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由题意，列出满足X的所有概率，再计算出其标方差，结合选项进行逐一分析即可.
【解答】
解：已知X表示小球落入格子的号码，则X的所有取值范围为1，2，3，4，5，6，
则P(X=1)=(12)5=132，
由对称性可知P(X=6)=P(X=1)=132，
而P(X=2)=P(X=5)=C51⋅(12)4⋅12=532，
P(X=3)=P(X=4)=C52⋅(12)3⋅(12)2=516，
所以E(X)=(1+6)×132+(2+5)×532+(3+4)×516=72，
D(X)=(1−72)×132+(6−72)×132+(2−72)×532
+(5−72)×532+(3−72)×516+(4−72)×516=54，
综上得只有选项BC满足条件.
故选BC.
【答案】
A,D
【考点】
抽象函数及其应用
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
【解答】
解：根据y=fx+1，y=fx+4都是奇函数可知：
f(x+1)=−f(−x+1)，fx+4=−f(−x+4)，
即f(x)=−f(−x+2)，f(x)=−f(−x+8)，
∴ T=8−2=6.故A正确；
根据函数y=fx+1是奇函数， y=fx+4是偶函数可知：
f(x+1)=−f(−x+1)①，fx+4=f(−x+4)②，
由②知：f(x+7)=f(−x+1)，
则f(x+1)=−f(x+7)，
由①知：f(x+7)=−f(−x−5)，
则f(x+1)=f(−x−5)，
由②知：f(x+13)=f(−x−5)，
则f(x+1)=f(x+13).
∴ T=13−1=12.故D正确.
其他选项均无法证明.
故选AD.
【答案】
B,D
【考点】
函数的值域及其求法
函数单调性的判断与证明
利用导数研究与函数零点有关的问题
函数零点的判定定理
【解析】
根据和谐区间的定义，建立方程，转化为对应方程有两个不同的根即可．
【解答】
解：A． fx 是R上的增函数，
若满足条件则fm=m,fn=n.
即m，n是方程fx=x的两个不同的根，
则2x3+1=x，得2x3−x+1=0，
设gx=2x3−x+1，
则g′x=6x2−1=0，
由g′x=0，得x=±66，
且当x=66时，函数gx 取得极小值，
此时g66>0，即gx=0只有一个根，不满足条件．
B．fx 在 0,+∞ 和 −∞,0 上是减函数，
则fm=n,fn=m.
即2m=n,2n=m.
得mn=2，
则m，n同号，当m=1时，n=2，此时满足条件．
C． fx 是R上的增函数，
若满足条件则fm=m,fn=n.
即m，n是方程fx=x的两个不同的根，
由lnx+1=x得lnx−x+1=0，
设g(x)=lnx−x+1x>0，
则g′x=1x−1=1−xx.
由g′x=0得x=1，且当x=1时，函数gx取得极大值，此时g 1 =ln1−1+1=0，
则gx=0只有一个根，不满足条件．
D．fx是R上的增函数，
若满足条件则fm=m,fn=n.
即m，n是方程fx=x的两个不同的根，
由ex−2=x 得ex=x+2，
作出函数y=ex和y=x+2，
则两个函数有两个交点，满足条件，
故存在“和谐区间”的函数是BD.
故选BD.
三、填空题
【答案】
a≤0或a≥4
【考点】
命题的真假判断与应用
函数恒成立问题
全称命题与特称命题
【解析】
考虑命题的否定为真，运用判别式不小于0，解出a即可判断．
【解答】
解：∵ 命题p:∀x∈R，x2−ax+a>0是假命题，
∴ 则命题的否定”∃x∈R，x2−ax+a≤0”为真命题，
则Δ=a2−4a≥0 ，
解得a≤0或a≥4.
故答案为：a≤0或a≥4.
【答案】
2
【考点】
函数的求值
【解析】
结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；分别将x=1，2，3代入f[g(x)]，g[f(x)]，判断出满足f[g(x)]>g[f(x)]的x．
【解答】
解：当x=1时f[g(1)]=f(3)=1，g[f(1)]=g(1)=3不满足f[g(x)]>g[f(x)]；
当x=2时，f[g(2)]=f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1满足f[g(x)]>g[f(x)]；
当x=3时f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3不满足f[g(x)]>g[f(x)].
故满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.
故答案为：2．
【答案】
−∞,−1
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
由对数式的真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内层函数二次函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3，
∴ 函数fx=lg2x2−2x−3的定义域为−∞,−1∪3,+∞，
令t=x2−2x−3，该函数在−∞,−1上为减函数，
而外层函数y=lg2t是增函数，
由复合函数的单调性可得，函数
fx=lg2x2−2x−3的单调递减区间为−∞,−1．
故答案为：−∞,−1．
【答案】
2
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化进行求解即可．
【解答】
解：由f(1+x)=f(1−x)，
则f(x)=f(2−x)，
又f(x)为奇函数，
故f(x)=f(2−x)=−f(x−2)，
故f(x+4)=−f(x+2)=f(x),
所以函数为周期为4的周期函数，
故f152=f(−12)=−f(12)=−2，
故−lg2(2+a)=−2，
解得a=2，
又f(2)=f(−2),f(2)+f(−2)=0，
故f(2)=0,
即a+f(a)=2+f(2)=2.
故答案为：2.
四、解答题
【答案】
解：(1)设fx=xα代入2,4得α=2，
∴ fx=x2，gx=x2+x4+|x|+1，
所以gx为偶函数，在0,+∞上为增函数．
(2)由gx为偶函数，在0,+∞上为增函数得
gm+2>g2m−1⇔|m+2|>|2m−1|
⇔m+22>2m−12⇔2m−12−m+22<0
⇔3m+1(m−3)<0⇔−13【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：(1)设fx=xα代入2,4得α=2，
∴ fx=x2，gx=x2+x4+|x|+1，
所以gx为偶函数，在0,+∞上为增函数．
(2)由gx为偶函数，在0,+∞上为增函数得
gm+2>g2m−1⇔|m+2|>|2m−1|
⇔m+22>2m−12⇔2m−12−m+22<0
⇔3m+1(m−3)<0⇔−13【答案】
解：(1)依题意，μ=71，σ=9，
所以μ+σ=80，
所以P(ξ=80)=1−0.68272=0.15865，
所以估计参加劳动技能过关考核的人数为4000×0.15865=634.6≈635．
(2)依题意，X的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．
因为Px=0=1−34×1−232=136，
PX=20=34×1−232=112，
PX=40=1−34×C211−23×23=19，
PX=60=34×C211−23×23=13，
PX=80=1−34×232=19，
P(X=100)=34×(23)2=13，
所以X的分布列为：
E(X)=20×112+(80+40)×19+(60+100)×13=2053．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)依题意，μ=71，σ=9，
所以μ+σ=80，
所以P(ξ=80)=1−0.68272=0.15865，
所以估计参加劳动技能过关考核的人数为4000×0.15865=634.6≈635．
(2)依题意，X的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．
因为Px=0=1−34×1−232=136，
PX=20=34×1−232=112，
PX=40=1−34×C211−23×23=19，
PX=60=34×C211−23×23=13，
PX=80=1−34×232=19，
P(X=100)=34×(23)2=13，
所以X的分布列为：
E(X)=20×112+(80+40)×19+(60+100)×13=2053．
【答案】
解：f′x=2x+2ex+x2+2x+1ex
=x2+4x+3ex=x+3x+1ex，
由f′x>0得x<−3或x>−1，
由f′x<0得−3∴ fx在−∞,−3上为增函数，在−3,−1为减函数，−1,+∞上为增函数，
∴ fx极大值=f−3=4e−3，
∴ f(x)极小值=f(−1)=0，
又f−4=9e−4，f0=1，
∴ fx最小值=0，fx最大值=1．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：f′x=2x+2ex+x2+2x+1ex
=x2+4x+3ex=x+3x+1ex，
由f′x>0得x<−3或x>−1，
由f′x<0得−3∴ fx在−∞,−3上为增函数，在−3,−1为减函数，−1,+∞上为增函数，
∴ fx极大值=f−3=4e−3，
∴ f(x)极小值=f(−1)=0，
又f−4=9e−4，f0=1，
∴ fx最小值=0，fx最大值=1．
【答案】
解：(1)∵x¯=1+2+3+4+55=3 ，y¯=51+40+35+28+215=35，
∴b=(1×51+2×40+3×35+4×28+5×21)−5×3×35(12+22+32+42+52)−5×32=−7.2，
a=35+7.2×3=56.6，
∴y关于x的经验回归方程y=−7.2x+56.6，
把x=6代入，
得y=−7.2×6+56.6=13.4≈13，
∴预测6月份不依规行驶的次数约为13．
(2)零假设为H0：依规行驶与年龄无关.
根据列联表中的数据．经计算得到X2=50×22×12−8×82302×202≈5.556>3.841=x0.05，
根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为1115，415，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更好违规行驶．
【考点】
求解线性回归方程
独立性检验
【解析】
【解答】
解：(1)∵x¯=1+2+3+4+55=3 ，y¯=51+40+35+28+215=35，
∴b=(1×51+2×40+3×35+4×28+5×21)−5×3×35(12+22+32+42+52)−5×32=−7.2，
a=35+7.2×3=56.6，
∴y关于x的经验回归方程y=−7.2x+56.6，
把x=6代入，
得y=−7.2×6+56.6=13.4≈13，
∴预测6月份不依规行驶的次数约为13．
(2)零假设为H0：依规行驶与年龄无关.
根据列联表中的数据．经计算得到X2=50×22×12−8×82302×202≈5.556>3.841=x0.05，
根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为1115，415，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更好违规行驶．
【答案】
解：(1)由题意可知，f′x=x−a+1x≥0恒成立，
所以x−a+1x≥2−a≥0，即a≤2，
当且仅当x=1时，上述等号成立，所以a的取值范围为(−∞,2].
(2)f′x=x−a+1x=x2−ax+1x，
由题意可知f′x1=f′x2=0，
所以Δ=a2−4>0，且a2>0，解得a>2，且x1x2=1，
所以01，
gx=lnx−1ex，则g′x=1x−1e，
曲线y=gx在(x1,g(x1))处的切线为
y=1x1−1ex−x1+lnx1−1ex1
=1x1−1ex+lnx1−1，
同理，在x2,gx2处的切线为
y=1x2−1ex+lnx2−1=x1−1ex−lnx1−1，
令1x1−1ex+lnx1−1=x1−1ex−lnx1−1，
解得xA=2x1lnx1x12−1>0，
所以yA=1x1−1exA+lnx1−1
=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1，
由题意可知，yA=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1>0，
整理得x12−2ex1+1lnx1−x12+1<0，
设ℎx=x2−2ex+1lnx−x2+1（x∈0,1），
则ℎ′x=2x−1elnx+1x−x−2e，
设Hx=ℎ′x，则H′(x)=2lnx−2ex−1x2+1<0，
所以Hx=ℎ′x在0,1上单调递减，
因为ℎ′(1)=−2e<0，ℎ′1e=e−3e>0，
所以存在x0∈1e,1，使得ℎ′x0=0，
且当x∈0,x0时，ℎ′x>0，当x∈x0,1时，ℎ′x<0，
所以ℎx在0,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
因为ℎ1e=ℎ1=0，所以ℎx<0的解集为0,1e，即x1∈0,1e，
因为x12−ax1+1=0，所以a=x1+1x1∈e+1e,+∞.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可知，f′x=x−a+1x≥0恒成立，
所以x−a+1x≥2−a≥0，即a≤2，
当且仅当x=1时，上述等号成立，所以a的取值范围为(−∞,2].
(2)f′x=x−a+1x=x2−ax+1x，
由题意可知f′x1=f′x2=0，
所以Δ=a2−4>0，且a2>0，解得a>2，且x1x2=1，
所以01，
gx=lnx−1ex，则g′x=1x−1e，
曲线y=gx在(x1,g(x1))处的切线为
y=1x1−1ex−x1+lnx1−1ex1
=1x1−1ex+lnx1−1，
同理，在x2,gx2处的切线为
y=1x2−1ex+lnx2−1=x1−1ex−lnx1−1，
令1x1−1ex+lnx1−1=x1−1ex−lnx1−1，
解得xA=2x1lnx1x12−1>0，
所以yA=1x1−1exA+lnx1−1
=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1，
由题意可知，yA=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1>0，
整理得x12−2ex1+1lnx1−x12+1<0，
设ℎx=x2−2ex+1lnx−x2+1（x∈0,1），
则ℎ′x=2x−1elnx+1x−x−2e，
设Hx=ℎ′x，则H′(x)=2lnx−2ex−1x2+1<0，
所以Hx=ℎ′x在0,1上单调递减，
因为ℎ′(1)=−2e<0，ℎ′1e=e−3e>0，
所以存在x0∈1e,1，使得ℎ′x0=0，
且当x∈0,x0时，ℎ′x>0，当x∈x0,1时，ℎ′x<0，
所以ℎx在0,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
因为ℎ1e=ℎ1=0，所以ℎx<0的解集为0,1e，即x1∈0,1e，
因为x12−ax1+1=0，所以a=x1+1x1∈e+1e,+∞.
【答案】
解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，
且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，
故g(x)=2x是“依赖函数”.
(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，
即(m−1)2(n−1)2=1，
由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，
由n>m>1，得1从而mn=m2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).
【考点】
函数新定义问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
【解答】
解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，
且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，
故g(x)=2x是“依赖函数”.
(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，
即(m−1)2(n−1)2=1，
由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，
由n>m>1，得1从而mn=m2m−1=m−1+1m−1+2在m∈(1, 2)上单调递减，故mn∈(4, +∞).x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
月份x
1
2
3
4
5
违章人数y
51
40
35
28
21
X
0
20
40
60
80
100
P
136
112
19
13
19
13
X
0
20
40
60
80
100
P
136
112
19
13
19
13
1. 已知集合A={x∈N|x≤3}，B={x|x2+6x−16<0}，则A∩B=（ ）
A.{x|−8
2. 箱子里有8个黑球和2个红球（球都有编号），从中依次摸出，红球全被摸出时即停止摸球．若恰好摸了3次就停止了，则不同的摸出方案的种数为（ ）
A.32B.36C.40D.48
3. 设x∈R，则“1x<1”是“12x>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4. 函数①y=x2②y=3x3③y=2lg2x④y=lg22x⑤y=x2⑥y=x3x中与函数y=x（x>0）是同一函数的有（ ）个
A.1B.2C.3D.4
5. 在x+1x2021−26的展开式中，x3的系数为 （ ）
A.−8B.−120C.−160D.160
6. 某班级有40名同学，为庆祝中国共产党建党100周年，他们拟参加“学习强国”平台上的党史知识竞赛，因为前期准备情况不同，所以他们获奖的概率也不同，其中，有20名同学获奖概率为0.9，12名同学获奖概率为0.8，8名同学获奖概率为0.7，现从中随机选出一名同学，他获奖的概率为（ ）
7. 已知函数fx=2x−lg12x，且实数a>b>c>0满足fa⋅fb⋅fc<0，若实数x0是函数y=fx的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A.x0
8. 已知奇函数f(x)是R上的增函数，g(x)=xf(x)，则( )
A.g(lg314)>g(2−32)>g(2−23)B.g(lg314)>g(2−23)>g(2−32)
C.g(2−32)>g(2−23)>g(lg314)D.g(2−23)>g(2−32)>g(lg314)
二、多选题
已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′x，如图是函数y=xf′x的图像，则下列说法正确的有( )
A.函数fx的减区间是−∞,−2B.函数fx的增区间是−2,+∞
C.x=−2是函数的极小值点D.x=2是函数的极小值点
如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，⋯，6，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A.PX=1=PX=6=164B.PX=2=PX=5=532
C.PX=3=PX=4=516D.DX=32
下列结论正确的是（ ）
A.若函数y=fx+1，y=fx+4都是奇函数，则y=fx的周期T=6
B.若函数y=fx+1，y=fx+4都是偶函数，则y=fx的周期T=12
C.若函数y=fx+1是奇函数， y=fx+4是偶函数，函数则y=fx的周期T=6
D.若函数y=fx+1是奇函数， y=fx+4是偶函数，函数则y=fx的周期T=12
对于定义域为D的函数fx，若存在区间m,n⊆D，同时满足下列条件：①fx在m,n上是单调的；②当定义域是m,n时，fx 的值域也是m,n，则称m,n为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的有（ ）
A.fx=2x3+1B.fx=2xC.fx=lnx+1D.fx=ex−2
三、填空题
命题p:∀x∈R，x2−ax+a>0是假命题，则实数a的取值范围是________.
函数fx，gx分别由下表给出，则满足fgx>gfx的x的值为________．
函数fx=lg2x2−2x−3的单调减区间是________.
奇函数f(x)满足f1+x=f1−x，当0
已知幂函数fx过点(2,4)，gx=fx+x4+|x|+1.
(1)指出gx的奇偶性及在区间0,+∞上的单调性（不用证明）；
(2)求满足gm+2>g2m−1的实数m的取值范围.
2019年7月8日，中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》，提出坚持“五育（德、智、体、美、劳）”并举，全面发展素质教育．某学校共有学生4000人，为加强劳动教育，开展了以下活动：全体同学参加劳动常识竞赛，满分100分．其中，成绩高于80分的同学，有资格到指定农场参加劳动技能过关考核，劳动技能过关考核共设三关，通过第一关得20分，未通过不得分，后两关通过一关得40分，未通过不得分，每位同学三关考核都要参加，记考核结束后学生的得分之和为x．
(1)分析发现，学生劳动常识竞赛成绩ξ∼N71,81，试估计参加劳动技能过关考核的人数（精确到个位）；
(2)某参加技能过关考核的同学通过第一关的概率为34，通过后两关的的概率均为23，且每关是否通过相互独立，求X的分布列及数学期望．
附：若随机变量X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ<ξ≤μ+σ≈0.6827，Pμ−2σ<ξ≤μ+2σ≈0.9545，Pμ−3σ<ξ≤μ+3σ≈0.9973．
求函数fx=x2+2x+1ex在区间−4,0上的最小值和最大值.
文明交通，安全出行，是一座城市文明的重要标志．驾驶非机动车走机动车道（简称：不依规行驶）是一大交通顽疾，某市加大整治力度，不依规行驶现象明显减少，下表是2021年1月——5月不依规行驶的次数统计：
(1)求y关于x的经验回归方程y=bx+a，并预测6月份不依规行驶的次数（精确到个位）；
(2)交警随机抽查了非机动车司机50人，得到如下2×2列联表：
依据a=0.05的独立性检验，能否认为依规行驶与年龄有关联？
附：①对于一组数据xi,yii=1,2,⋯n，其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计分别为： b=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，
②临界值表：
计算公式： X2=nad−bc2a+ba+cb+dc+d，其中n=a+b+c+d.
已知函数fx=12x2−ax+lnxa∈R,gx=lnx−1ex．（其中e是自然对数的底数）
(1)若fx单调递增，求a的取值范围；
(2)若函数fx有两个极值点x1,x2x1
若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)=1成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判断函数g(x)=2x是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数f(x)=(x−1)2在定义域[m, n](m>1)上为“依赖函数”，求实数m，n乘积mn的取值范围.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省临沂市高二（下）7月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：集合A={x∈N|x≤3}={0, 1, 2, 3}，
B={x|x2+6x−16<0}={x|−8
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
【解答】
解：根据题意，摸出方案的种数为：
共有C21C81A22=32．
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：由1x<1得x<0或x>1，
由12x>1得x<0，
则“1x<1”是“12x>1" 的必要不充分条件．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
由题意，对每个结论中的函数解析式进行整理，再结合其定义域和函数解析式进行求解即可.
【解答】
解：对于①；因为y=(x)2=x（x≥0）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于②；因为y=3x3=x（x∈R）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于③；因为y=2lg2x=x（x>0）其与函数y=x（x>0）为同一函数；
对于④；因为y=lg22x=x（x∈R）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于⑤；因为y=x2=|x|（x∈R）其与函数y=x（x>0）不为同一函数；
对于⑥；因为y=x3x=x（x>0）其与函数y=x（x>0）为同一函数，
综上得，满足条件的同一函数共有两个.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
二项式系数的性质
二项式定理的应用
【解析】
由题意，利用二项式定理进行求解即可.
【解答】
解：已知二项式x+1x2021−26的展开式的通项为
Tr+1=C6r⋅xr(1x2021−2)6−r
=C6r⋅xr⋅C6−rk⋅x−2021k⋅(−2)6−r−k
=C6r⋅C6−rk⋅x−2021k+r⋅(−2)6−r−k，
不妨令−2021k+r=3，即r=2021k+3，
因为r≤6，
所以当k=0时，r=3，
则x3的系数为C63⋅C6−30⋅(−2)6−3−0=−160.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
由题意，先计算出获奖人数的均值，再代入概率公式中求解即可.
【解答】
解：已知获奖人数的均值为20×0.9+12×0.8+8×0.7=33.2，
所以从中随机选出一名同学，他获奖的概率P=33.240=0.83.
故选D.
7.
【答案】
D
【考点】
函数零点的判定定理
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ fx是定义域上的增函数．且a>b>c>0，
∴ f(c)
∴ f(a)，f(b)，f(c)中一项为负的、两项为正的，或者三项都是负的，
即f(c)<0，0
当f(c)<0，0
综上可得，D不可能成立.
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
对数值大小的比较
【解析】
先构造函数g(x)＝xf(x)，可判断出g(x)为偶函数，x>0时单调递增，x<0时，函数单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，即可比较大小．
【解答】
解：由奇函数f(x)是R上的增函数可得，
f(x)=−f(−x)，且当x>0时，f(x)>0，
又g(x)=xf(x)，
则g(−x)=−xf(−x)=xf(x)=g(x)，
即g(x)为偶函数，且当x>0时单调递增；当x<0时，函数单调递减.
因为g(lg314)=g(lg34)，
且2−32<2−23<20=1
故选B.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
函数的图象变换
【解析】
讨论x≥0,−2
解：当x≥0时，y=xf′x≥0，故f′x≥0，函数单调递增；
当−2
当x=−2时，y=xf′x=0，故f′−2=0;
当x<−2时，y=xf′x>0，故f′x<0，函数单调递减.
对比选项知：故ABC正确．
故选ABC．
【答案】
B,C
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
由题意，列出满足X的所有概率，再计算出其标方差，结合选项进行逐一分析即可.
【解答】
解：已知X表示小球落入格子的号码，则X的所有取值范围为1，2，3，4，5，6，
则P(X=1)=(12)5=132，
由对称性可知P(X=6)=P(X=1)=132，
而P(X=2)=P(X=5)=C51⋅(12)4⋅12=532，
P(X=3)=P(X=4)=C52⋅(12)3⋅(12)2=516，
所以E(X)=(1+6)×132+(2+5)×532+(3+4)×516=72，
D(X)=(1−72)×132+(6−72)×132+(2−72)×532
+(5−72)×532+(3−72)×516+(4−72)×516=54，
综上得只有选项BC满足条件.
故选BC.
【答案】
A,D
【考点】
抽象函数及其应用
函数的周期性
函数奇偶性的性质
【解析】
【解答】
解：根据y=fx+1，y=fx+4都是奇函数可知：
f(x+1)=−f(−x+1)，fx+4=−f(−x+4)，
即f(x)=−f(−x+2)，f(x)=−f(−x+8)，
∴ T=8−2=6.故A正确；
根据函数y=fx+1是奇函数， y=fx+4是偶函数可知：
f(x+1)=−f(−x+1)①，fx+4=f(−x+4)②，
由②知：f(x+7)=f(−x+1)，
则f(x+1)=−f(x+7)，
由①知：f(x+7)=−f(−x−5)，
则f(x+1)=f(−x−5)，
由②知：f(x+13)=f(−x−5)，
则f(x+1)=f(x+13).
∴ T=13−1=12.故D正确.
其他选项均无法证明.
故选AD.
【答案】
B,D
【考点】
函数的值域及其求法
函数单调性的判断与证明
利用导数研究与函数零点有关的问题
函数零点的判定定理
【解析】
根据和谐区间的定义，建立方程，转化为对应方程有两个不同的根即可．
【解答】
解：A． fx 是R上的增函数，
若满足条件则fm=m,fn=n.
即m，n是方程fx=x的两个不同的根，
则2x3+1=x，得2x3−x+1=0，
设gx=2x3−x+1，
则g′x=6x2−1=0，
由g′x=0，得x=±66，
且当x=66时，函数gx 取得极小值，
此时g66>0，即gx=0只有一个根，不满足条件．
B．fx 在 0,+∞ 和 −∞,0 上是减函数，
则fm=n,fn=m.
即2m=n,2n=m.
得mn=2，
则m，n同号，当m=1时，n=2，此时满足条件．
C． fx 是R上的增函数，
若满足条件则fm=m,fn=n.
即m，n是方程fx=x的两个不同的根，
由lnx+1=x得lnx−x+1=0，
设g(x)=lnx−x+1x>0，
则g′x=1x−1=1−xx.
由g′x=0得x=1，且当x=1时，函数gx取得极大值，此时g 1 =ln1−1+1=0，
则gx=0只有一个根，不满足条件．
D．fx是R上的增函数，
若满足条件则fm=m,fn=n.
即m，n是方程fx=x的两个不同的根，
由ex−2=x 得ex=x+2，
作出函数y=ex和y=x+2，
则两个函数有两个交点，满足条件，
故存在“和谐区间”的函数是BD.
故选BD.
三、填空题
【答案】
a≤0或a≥4
【考点】
命题的真假判断与应用
函数恒成立问题
全称命题与特称命题
【解析】
考虑命题的否定为真，运用判别式不小于0，解出a即可判断．
【解答】
解：∵ 命题p:∀x∈R，x2−ax+a>0是假命题，
∴ 则命题的否定”∃x∈R，x2−ax+a≤0”为真命题，
则Δ=a2−4a≥0 ，
解得a≤0或a≥4.
故答案为：a≤0或a≥4.
【答案】
2
【考点】
函数的求值
【解析】
结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；分别将x=1，2，3代入f[g(x)]，g[f(x)]，判断出满足f[g(x)]>g[f(x)]的x．
【解答】
解：当x=1时f[g(1)]=f(3)=1，g[f(1)]=g(1)=3不满足f[g(x)]>g[f(x)]；
当x=2时，f[g(2)]=f(2)=3，g[f(2)]=g(3)=1满足f[g(x)]>g[f(x)]；
当x=3时f[g(3)]=f(1)=1，g[f(3)]=g(1)=3不满足f[g(x)]>g[f(x)].
故满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.
故答案为：2．
【答案】
−∞,−1
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
由对数式的真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内层函数二次函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案．
【解答】
解：由x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3，
∴ 函数fx=lg2x2−2x−3的定义域为−∞,−1∪3,+∞，
令t=x2−2x−3，该函数在−∞,−1上为减函数，
而外层函数y=lg2t是增函数，
由复合函数的单调性可得，函数
fx=lg2x2−2x−3的单调递减区间为−∞,−1．
故答案为：−∞,−1．
【答案】
2
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化进行求解即可．
【解答】
解：由f(1+x)=f(1−x)，
则f(x)=f(2−x)，
又f(x)为奇函数，
故f(x)=f(2−x)=−f(x−2)，
故f(x+4)=−f(x+2)=f(x),
所以函数为周期为4的周期函数，
故f152=f(−12)=−f(12)=−2，
故−lg2(2+a)=−2，
解得a=2，
又f(2)=f(−2),f(2)+f(−2)=0，
故f(2)=0,
即a+f(a)=2+f(2)=2.
故答案为：2.
四、解答题
【答案】
解：(1)设fx=xα代入2,4得α=2，
∴ fx=x2，gx=x2+x4+|x|+1，
所以gx为偶函数，在0,+∞上为增函数．
(2)由gx为偶函数，在0,+∞上为增函数得
gm+2>g2m−1⇔|m+2|>|2m−1|
⇔m+22>2m−12⇔2m−12−m+22<0
⇔3m+1(m−3)<0⇔−13
奇偶性与单调性的综合
【解析】
无
【解答】
解：(1)设fx=xα代入2,4得α=2，
∴ fx=x2，gx=x2+x4+|x|+1，
所以gx为偶函数，在0,+∞上为增函数．
(2)由gx为偶函数，在0,+∞上为增函数得
gm+2>g2m−1⇔|m+2|>|2m−1|
⇔m+22>2m−12⇔2m−12−m+22<0
⇔3m+1(m−3)<0⇔−13
解：(1)依题意，μ=71，σ=9，
所以μ+σ=80，
所以P(ξ=80)=1−0.68272=0.15865，
所以估计参加劳动技能过关考核的人数为4000×0.15865=634.6≈635．
(2)依题意，X的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．
因为Px=0=1−34×1−232=136，
PX=20=34×1−232=112，
PX=40=1−34×C211−23×23=19，
PX=60=34×C211−23×23=13，
PX=80=1−34×232=19，
P(X=100)=34×(23)2=13，
所以X的分布列为：
E(X)=20×112+(80+40)×19+(60+100)×13=2053．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)依题意，μ=71，σ=9，
所以μ+σ=80，
所以P(ξ=80)=1−0.68272=0.15865，
所以估计参加劳动技能过关考核的人数为4000×0.15865=634.6≈635．
(2)依题意，X的可能取值分别为0，20，40，60，80，100．
因为Px=0=1−34×1−232=136，
PX=20=34×1−232=112，
PX=40=1−34×C211−23×23=19，
PX=60=34×C211−23×23=13，
PX=80=1−34×232=19，
P(X=100)=34×(23)2=13，
所以X的分布列为：
E(X)=20×112+(80+40)×19+(60+100)×13=2053．
【答案】
解：f′x=2x+2ex+x2+2x+1ex
=x2+4x+3ex=x+3x+1ex，
由f′x>0得x<−3或x>−1，
由f′x<0得−3
∴ fx极大值=f−3=4e−3，
∴ f(x)极小值=f(−1)=0，
又f−4=9e−4，f0=1，
∴ fx最小值=0，fx最大值=1．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
【解答】
解：f′x=2x+2ex+x2+2x+1ex
=x2+4x+3ex=x+3x+1ex，
由f′x>0得x<−3或x>−1，
由f′x<0得−3
∴ fx极大值=f−3=4e−3，
∴ f(x)极小值=f(−1)=0，
又f−4=9e−4，f0=1，
∴ fx最小值=0，fx最大值=1．
【答案】
解：(1)∵x¯=1+2+3+4+55=3 ，y¯=51+40+35+28+215=35，
∴b=(1×51+2×40+3×35+4×28+5×21)−5×3×35(12+22+32+42+52)−5×32=−7.2，
a=35+7.2×3=56.6，
∴y关于x的经验回归方程y=−7.2x+56.6，
把x=6代入，
得y=−7.2×6+56.6=13.4≈13，
∴预测6月份不依规行驶的次数约为13．
(2)零假设为H0：依规行驶与年龄无关.
根据列联表中的数据．经计算得到X2=50×22×12−8×82302×202≈5.556>3.841=x0.05，
根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为1115，415，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更好违规行驶．
【考点】
求解线性回归方程
独立性检验
【解析】
【解答】
解：(1)∵x¯=1+2+3+4+55=3 ，y¯=51+40+35+28+215=35，
∴b=(1×51+2×40+3×35+4×28+5×21)−5×3×35(12+22+32+42+52)−5×32=−7.2，
a=35+7.2×3=56.6，
∴y关于x的经验回归方程y=−7.2x+56.6，
把x=6代入，
得y=−7.2×6+56.6=13.4≈13，
∴预测6月份不依规行驶的次数约为13．
(2)零假设为H0：依规行驶与年龄无关.
根据列联表中的数据．经计算得到X2=50×22×12−8×82302×202≈5.556>3.841=x0.05，
根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为依规行驶与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
不依规行驶者中老年人和青年人的频率分别为1115，415，可见老年人约是青年人的3倍，所以老年人更好违规行驶．
【答案】
解：(1)由题意可知，f′x=x−a+1x≥0恒成立，
所以x−a+1x≥2−a≥0，即a≤2，
当且仅当x=1时，上述等号成立，所以a的取值范围为(−∞,2].
(2)f′x=x−a+1x=x2−ax+1x，
由题意可知f′x1=f′x2=0，
所以Δ=a2−4>0，且a2>0，解得a>2，且x1x2=1，
所以0
gx=lnx−1ex，则g′x=1x−1e，
曲线y=gx在(x1,g(x1))处的切线为
y=1x1−1ex−x1+lnx1−1ex1
=1x1−1ex+lnx1−1，
同理，在x2,gx2处的切线为
y=1x2−1ex+lnx2−1=x1−1ex−lnx1−1，
令1x1−1ex+lnx1−1=x1−1ex−lnx1−1，
解得xA=2x1lnx1x12−1>0，
所以yA=1x1−1exA+lnx1−1
=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1，
由题意可知，yA=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1>0，
整理得x12−2ex1+1lnx1−x12+1<0，
设ℎx=x2−2ex+1lnx−x2+1（x∈0,1），
则ℎ′x=2x−1elnx+1x−x−2e，
设Hx=ℎ′x，则H′(x)=2lnx−2ex−1x2+1<0，
所以Hx=ℎ′x在0,1上单调递减，
因为ℎ′(1)=−2e<0，ℎ′1e=e−3e>0，
所以存在x0∈1e,1，使得ℎ′x0=0，
且当x∈0,x0时，ℎ′x>0，当x∈x0,1时，ℎ′x<0，
所以ℎx在0,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
因为ℎ1e=ℎ1=0，所以ℎx<0的解集为0,1e，即x1∈0,1e，
因为x12−ax1+1=0，所以a=x1+1x1∈e+1e,+∞.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
函数恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意可知，f′x=x−a+1x≥0恒成立，
所以x−a+1x≥2−a≥0，即a≤2，
当且仅当x=1时，上述等号成立，所以a的取值范围为(−∞,2].
(2)f′x=x−a+1x=x2−ax+1x，
由题意可知f′x1=f′x2=0，
所以Δ=a2−4>0，且a2>0，解得a>2，且x1x2=1，
所以0
gx=lnx−1ex，则g′x=1x−1e，
曲线y=gx在(x1,g(x1))处的切线为
y=1x1−1ex−x1+lnx1−1ex1
=1x1−1ex+lnx1−1，
同理，在x2,gx2处的切线为
y=1x2−1ex+lnx2−1=x1−1ex−lnx1−1，
令1x1−1ex+lnx1−1=x1−1ex−lnx1−1，
解得xA=2x1lnx1x12−1>0，
所以yA=1x1−1exA+lnx1−1
=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1，
由题意可知，yA=1x1−1e2x1lnx1x12−1+lnx1−1>0，
整理得x12−2ex1+1lnx1−x12+1<0，
设ℎx=x2−2ex+1lnx−x2+1（x∈0,1），
则ℎ′x=2x−1elnx+1x−x−2e，
设Hx=ℎ′x，则H′(x)=2lnx−2ex−1x2+1<0，
所以Hx=ℎ′x在0,1上单调递减，
因为ℎ′(1)=−2e<0，ℎ′1e=e−3e>0，
所以存在x0∈1e,1，使得ℎ′x0=0，
且当x∈0,x0时，ℎ′x>0，当x∈x0,1时，ℎ′x<0，
所以ℎx在0,x0上单调递增，在x0,1上单调递减，
因为ℎ1e=ℎ1=0，所以ℎx<0的解集为0,1e，即x1∈0,1e，
因为x12−ax1+1=0，所以a=x1+1x1∈e+1e,+∞.
【答案】
解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，
且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，
故g(x)=2x是“依赖函数”.
(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，
即(m−1)2(n−1)2=1，
由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，
由n>m>1，得1
【考点】
函数新定义问题
函数的单调性及单调区间
【解析】
【解答】
解：(1)对于函数g(x)=2x的定义域R内任意的x1，取x2=−x1，则g(x1)g(x2)=1，
且由g(x)=2x在R上单调递增，可知x2的取值唯一，
故g(x)=2x是“依赖函数”.
(2)因为m>1，f(x)=(x−1)2在[m, n]递增，故f(m)f(n)=1，
即(m−1)2(n−1)2=1，
由n>m>1，得(m−1)(n−1)=1，故n=mm−1，
由n>m>1，得1
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
月份x
1
2
3
4
5
违章人数y
51
40
35
28
21
X
0
20
40
60
80
100
P
136
112
19
13
19
13
X
0
20
40
60
80
100
P
136
112
19
13
19
13
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