2020-2021学年湖南省郴州市高一（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高一（下）期中考试数学试卷人教A版，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知向量a→=−1,2，b→=2,m，若a→与b→共线，则m=（ ）
A.−4B.−12C.12D.4

2. 设复数z=2−3i3，则复数z的虚部是( )
A.2B.−3iC.3D.−3

3. 在△ABC中，若a=8，b=7，csC=1314，则最大角的余弦值是( )
A.−15B.−16C.−17D.−18

4. 已知|b→|=3，a→在b→方向上的投影为−32，则a→⋅b→的值为( )
A.92B.−92C.2D.−2

5. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）
[V棱台=13(S上底+S上底S下底+S下底)×高]

A.16B.163C.183D.21

6. 已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→⋅(PB→+PC→)的最小值是( )
A.−2B.−32C.−3D.−6

7. 复数z在复平面内对应点为Z，O为原点，以Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为θ，|z|=r，则z=rcsθ+isinθ．法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1csθ1+isinθ1，z2=r2csθ2+isinθ2，则z1z2=r1r2csθ1+θ2+isinθ1+θ2，由棣莫弗定理导出了复数的乘方公式： rcsθ+isinθn=rncsnθ+isinnθ．则32+12i5=（ ）
A.32−12iB.−32+12iC.−32−12iD.32+12i

8. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcsA=c−12a，点D在AC上，2AD=DC，BD=2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A.332B.3C.4D.6
二、多选题

已知向量a→=2,1，b→=−3,1， 则（ ）
A.a→+b→⊥a→
B.向量a→在向量b→上的投影向量是 −102 a→
C.|a→+2b→|=5
D.与向量a→方向相同的单位向量是255,55

在△ABC中，如下判断正确的是（ ）
A.若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
B.若A>B，则sinA>sinB
C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
D.若sinA>sinB，则A>B

已知复数z1=2−1+i（i为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A.z1对应的点在第三象限
B.z1的虚部为−1
C.z14=4
D.满足|z|=|z1|的复数z对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上

如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中AB=1，∠ACB=π6，∠D=π4，则下列结论正确的是( )

A.AE→+DC→=AC→+DE→B.AE→=13AB→+23AC→
C.AD→⋅AB→=6D.AD→⋅BC→=3
三、填空题

设复数z=1+ii，则在复平面内复数z的共轭复数z¯所对应的点在第________象限．

水平放置的△ABC的斜二测直观图△A′B′C′如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则原三角形ABC的面积为________.


如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB=AD=32BD，BC=2BD，则sinC的值是________．


鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90∘榫卯起来．若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为________.

四、解答题

已知A1,−2，B2,1，C3,2，Dx,y．
(1)求3AB→−2AC→+BC→的坐标；

(2)若A、B、C、D四点构成平行四边形ABCD，求点D的坐标．

已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(−1,b)，(a,b∈R)是复平面上的四个点，且向量AB→，CD→对应的复数分别为z1，z2.
(1)若z1+z2=1+i，求z1，z2；

(2)若z1+z2=2，z1−z2为实数，求a，b的值.

已知函数fx=Msinωx+φM>0,ω>0,−π2B，则a>b，
由正弦定理可得2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，故B正确；
选项C，若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，
所以π2>A>π2−B>0，
所以sinA>sinπ2−B=csB，故C正确；
选项D，在△ABC中，若sinA>sinB，
由正弦定理可得a2R>b2R，
即a>b，所以A>B，故D正确．
故选BCD．
【答案】
A,B
【考点】
复数的模
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
【解析】
先化简复数，再逐项验证求解即可.
【解答】
解：z1=2−1+i=2−1−i−1+i−1−i=−1−i，
对于A，z1对应的点为−1,−1，在第三象限，故正确；
对于B，z1的虚部为−1，故正确；
对于C，z14=−1−i4=−4，故错误；
对于D，z1=2，则对应的点在以原点为圆心，半径为2的圆上，故错误.
故选AB.
【答案】
A,D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
向量加减法的应用
【解析】
无
【解答】
解：对于A，由AE→−AC→=CE→，DE→−DC→=CE→，
所以AE→+DC→=AC→+DE→，A正确；
对于B，由AB=1，∠ACB=π6，∠D=π4，
可得AC=3，BC=DE=2，CE=DC=2，
所以CE→=22CB→，
所以AE→=AC→+CE→=AC→+22CB→
=AC→+22(AB→−AC→)
=22AB→+1−22AC→，B不正确；
对于C，AD→⋅AB→=(AC→+CD→)⋅(AC→+CB→)
=AC→2+AC→⋅CB→+CD→⋅AC→+CD→⋅CB→，
因为AB=1，∠ACB=π6，∠D=π4，
所以AC=3，BC=DE=2，⟨CD→,AB→⟩=π6，
所以AC→⋅CB→=3×2×−32=−3，
CD→⋅AC→=3×2×12=62，CD→⋅CB→=0，
所以AD→⋅AB→=3−3+62=62，C不正确；
对于D，AD→⋅BC→=(AC→+CD→)⋅(AC→−AB→)
=AC→2−AC→⋅AB→+CD→⋅AC→−CD→⋅AB→
=3−0+3×2×12−2×1×32=3，D正确．
故选AD．
三、填空题
【答案】
一
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
【解析】
无
【解答】
解：z=1+ii=(1+i)(−i)i×(−i)=−i+1，
共轭复数为1+i，对应点坐标是(1,1)，在第一象限．
故答案为：一．
【答案】
6
【考点】
斜二测画法画直观图
三角形的面积公式
【解析】
将直观图还原成平面图形，根据斜二侧画法原理求出平面图形的边长，计算面积．
【解答】
解：根据条件由斜二测画法得出原平面图形，如图，
则|AC|=3，|BC|=4，
所以S△ABC=12×4×3=6．
故答案为：6．
【答案】
66
【考点】
正弦定理
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设AB=x，则AD=x，BD=233x，BC=433x.
在△ABD中，由余弦定理，得csA=x2+x2−43x22x2=13，
则sinA=1−(13)2=223.
在△ABC中，由正弦定理，得ABsinC=BCsinA，
即xsinC=433x223，
解得sinC=66.
故答案为：66.
【答案】
41π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
由题意，该球形容器的半径的最小值为：，即可求出该球形容器的体积的最小值．
【解答】
解：由题意，该球形容器的半径的最小值为并在一起的两个长方体体对角线的一半，
即为12×36+4+1=412，
∴ 该球形容器表面积的最小值为：4π×(412)2=41π．
故答案为：41π.
四、解答题
【答案】
解：1∵ AB→=1,3，AC→=2,4，BC→=1,1，
∴3AB→−2AC→+BC→=31,3−22,4+1,1=0,2．
2∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD→=BC→，
又AD→=x−1,y+2，
∴x−1=1，y+2=1，
∴x=2，y=−1，
即D2,−1．
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
1利用平面向量加减法和数乘的坐标运算求解即可；
2由已知可得AD→＝BC→，利用坐标列出方程组求解即可．
【解答】
解：1∵ AB→=1,3，AC→=2,4，BC→=1,1，
∴3AB→−2AC→+BC→=31,3−22,4+1,1=0,2．
2∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD→=BC→，
又AD→=x−1,y+2，
∴x−1=1，y+2=1，
∴x=2，y=−1，
即D2,−1．
【答案】
解：(1)向量AB→=(a−1,−1)，CD→=(−3,b−3)对应的复数分别为z1=(a−1)−i，z2=−3+(b−3)i.
∴ z1+z2=(a−4)+(b−4)i=1+i.
∴ a−4=1，b−4=1.
解得a=b=5.
∴ z1=4−i，z2=−3+2i.
(2)∵ z1+z2=2，z1−z2为实数，
z1+z2=(a−4)+(b−4)i，
z1−z2=(a+2)+(2−b)i，
∴ (a−4)2+(b−4)2=2，2−b=0，
∴ a=4，b=2.
【考点】
复数代数形式的混合运算
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)向量AB→=(a−1,−1)，CD→=(−3,b−3)对应的复数分别为z1=(a−1)−i，z2=−3+(b−3)i.
∴ z1+z2=(a−4)+(b−4)i=1+i.
∴ a−4=1，b−4=1.
解得a=b=5.
∴ z1=4−i，z2=−3+2i.
(2)∵ z1+z2=2，z1−z2为实数，
z1+z2=(a−4)+(b−4)i，
z1−z2=(a+2)+(2−b)i，
∴ (a−4)2+(b−4)2=2，2−b=0，
∴ a=4，b=2.
【答案】
解：(1)由图知M=2，
T2=11π12−5π12=π2，
∴ T=π，
∴ ω=2πT=2．
可知2×5π12+φ=π2+2kπk∈Z，
又−π2