人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）同步测试题

3.4 函数的应用（一）

【题组一 一次函数模型】

1．（2020·全国高一课时练习）为了保护学生的视力，课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌和椅子的高度：

（1）请你确定y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；

（2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？

【答案】（1）；（2）给出的这套桌椅是配套的．详见解析

【解析】（1）因为课桌高度（cm）是椅子高度（cm）的一次函数，所以可设为，将符合条件的两套课桌椅的高度代如上述函数解析式，

得，解得，与的函数关系式是．

（2）把代入上述函数解析式中，得，

给出的这套桌椅是配套的．

2.夏季高山上温度从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则山的相对高度是（    ）

A．1800米                               B．1700米

C．1600米                               D．1500米

【答案】B

【解析】设山的相对高度为，单位为百米，相应的温度为，单位为℃，则，令，解得，所以山的相对高度为1700米.

【题组二 二次函数模型】

1．（2020·福建高三其他（文））“熔喷布”是口罩生产的重要原材料，1吨熔喷布大约可供生产100万只口罩.2020年，制造口罩的企业甲的熔喷布1月份的需求量为100吨，并且从2月份起，每月熔喷布的需求量均比上个月增加10%.企业乙是企业甲熔喷布的唯一供应商，企业乙2020年1月份的产能为100吨，为满足市场需求，从2月份到月份（ 且），每个月比上个月增加一条月产量为50吨的生产线投入生产，从月份到9月份不再增加新的生产线.计划截止到9月份，企业乙熔喷布的总产量除供应企业甲的需求外，还剩余不少于990吨的熔喷布可供给其它厂商，则企业乙至少要增加___条熔喷布生产线.

（参考数据：，）

【答案】5

【解析】依题意得，企业甲从2020年1月到9月的需求量为

（吨）.

易知，企业乙增加1条熔喷布生产线，不符合题意；

依题意，当企业乙增加k-1（ 且）条熔喷布生产线时，从2020年1月

到9月的“熔喷布”产量为，

所以，即，

记，则在上为减函数，

又因为，

所以最小值为6，所以企业乙至少需要增加5条生产线.故答案为：5

2．（2020·全国高一专题练习）某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.

（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？

【答案】（1）；

（2）；

（3）55元时，最大利润为1125

【解析】（1）根据题意，得，化简得.

（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，

所以.

（3）因为，

所以当时，随x的增大而增大.

又，，所以当时，有最大值，最大值为1125.

所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润为1125元.

【题组三 分段函数模型】

1．（2020·浙江高一课时练习）已知甲、乙两地相距，某人开汽车以的速度从甲地到达乙地，在乙地停留一小时后再以的速度返回甲地，把汽车距甲地的距离表示为时间的函数，则此函数的表达式为__________．

【答案】

【解析】根据题意此人运动的过程分为三个时段，

当时，；

当时，；

当时，.

综上所述，

故答案为

2．（2020·广西北流市实验中学高一开学考试）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．

（1）设一次订购件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；

（2）当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？

【答案】（1）

（2）当一次订购550件服装时，该厂获得的利润最大，最大利润为6050元

【解析】

【分析】(1)当0<x≤100时，p＝60；

当100<x≤600时，p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.

∴p＝

(2)设利润为y元，则

当0<x≤100时，y＝60x－40x＝20x；

当100<x≤600时，y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.

∴y＝

当0<x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；

当100<x≤600时，

y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，

∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.显然6 050>2 000.

所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．

3．（2019·涟水县第一中学）经过市场调查,某种商品在销售中有如下关系:第x(1≤x≤30,x∈N+)天的销售价格(单位:元/件)为f(x)=第x天的销售量(单位:件)为g(x)=a-x(a为常数),且在第20天该商品的销售收入为1 200元(销售收入=销售价格×销售量).

(1)求a的值,并求第15天该商品的销售收入;

(2)求在这30天中,该商品日销售收入y的最大值.

【答案】(1) a=50. 第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2) 当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.

【解析】(1)当x=20时,由f(20)g(20)=(60-20)(a-20)=1 200,

解得a=50.

从而可得f(15)g(15)=(60-15)(50-15)=1 575(元),

即第15天该商品的销售收入为1 575元.

(2)由题意可知

y=

即y=

当1≤x≤10时,y=-x2+10x+2 000=-(x-5)2+2 025.

故当x=5时y取最大值,ymax=-52+10×5+2 000=2 025.

当10<x≤30时,y<102-110×10+3 000=2 000.

故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2 025元.

4．（2020·安徽铜陵.高一期末）暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？

【答案】（1）（2）当人数为45人时，最大收入为20250元

【解析】（1）由题意可知每人需交费关于人数的函数：

（2）旅行社收入为，则，

即，

当时，为增函数，

所以，

当时，为开口向下的二次函数，

对称轴，所以在对称轴处取得最大值，.

综上所述：当人数为45人时，最大收入为20250元.