人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制随堂练习题

5.1  任意角和弧度制

【题组一 基本概念的辨析】

1．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝(　　)

A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}

C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对

【答案】D

【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，

∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，

对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；

对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；

对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，

故选D．

2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（    ）．

A．第一象限角一定不是负角 B．小于90°的角一定是锐角

C．钝角一定是第二象限角 D．终边和始边都相同的角一定相等

【答案】C

【解析】为第一象限角且为负角，故A错误；，但不是锐角，故B错误；终边与始边均相同的角不一定相等，它们可以相差，故D错误．钝角一定是第二象限角，C正确．

故选：C．

3．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））下列结论中正确的是(   )

A．小于90°的角是锐角 B．第二象限的角是钝角

C．相等的角终边一定相同 D．终边相同的角一定相等

【答案】C

【解析】对于A，小于可能是负角，不是锐角；对于B，第二象限的角可能是负角，不是钝角；

对于C，两个角相等，始边一致，则终边一定相同；对于D，终边相同的角，可能相差360°的倍数，不一定相等.故选C.

4．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③小于180°的角是钝角或直角或锐角.

其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)

（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.

【答案】②       

【解析】（1）①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；

②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；

③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；

故答案为：②

（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为

故答案为：

5．（2020·全国高一课时练习）给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；

②第一象限角一定不是负角；

③小于180°的角是钝角或直角或锐角．

其中正确说法的序号为________．(把正确说法的序号都写上)

【答案】①

【解析】锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③错误．故答案为：①

6．（2020·全国高一课时练习）下列命题正确的是____________(填序号).

①－30°是第一象限角；

②750°是第四象限角；

③终边相同的角一定相等；

④－950°12′是第二象限的角.

【答案】④

【解析】①是第四象限的角度，故①错误；

②750°的终边与的终边相同，故其为第一象限的角度，故②错误；

③终边相同的角度不一定相等，故③错误；

④－950°12′与－950°12′′的终边相同，其为第二象限的角，故④正确.

故答案为：④.

【题组二 角度与弧度转换】

1．（2019·伊美区第二中学高一月考）化为弧度是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

2．（2020·全国高一课时练习）把化为角度是(    )

A．270° B．280° C．288° D．318°

【答案】C

【解析】因为，故.故选：C.

3．（2020·灵丘县豪洋中学高一期中）化为弧度是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化为弧度是.故选：B

4．（2020·金华市江南中学高一期中）转化为弧度数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，所以故选：D

5．（2019·长沙铁路第一中学高一月考）将300o化为弧度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】．故选：B．

6．（2020·通榆县第一中学校高一期末）（    ）

A．70° B．75° C．80° D．85°

【答案】B

【解析】因为，故.故选：B.

7．（2020·全国高一课时练习）将下列角度与弧度进行互化.

（1）20°；（2）－15°；（3）（4）－.

【答案】（1）20°＝；（2）－15°＝－；（3）＝105°；（4）－＝－396°.

【解析】（1）20°＝＝.

（2）－15°＝－＝－.

（3）＝×180°＝105°.

(4)－＝－×180°＝－396°.

【题组三 终边相同】

1．（2020·浙江高一课时练习）与405°角终边相同的角是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由于，故与405°终边相同的角应为．故选：C

2．（2020·永州市第四中学高一月考）在的范围内，与终边相同的角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为,则在的范围内，与终边相同的角是,故选：B.

3．（2020·合肥市第八中学高一月考）下列各个角中与2020°终边相同的是(    )

A． B．680° C．220° D．320°

【答案】C

【解析】由题,,故选:C

4．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））在0°~360°范围内，与-1050°的角终边相同的角是（    ）

A．30° B．150° C．210° D．330°

【答案】A

【解析】因为所以在0°~360°范围内，与-1050°的角终边相同的角是

故选：A

5．（2020·北京延庆·高一期末）与角终边相同的角为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】与角终边相同的角可写成令，则故选：C

6．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）    下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋ (k∈Z)

【答案】C

【解析】与的终边相同的角可以写成2kπ＋ (k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.故答案为C

7．（2020·陕西大荔·高一月考）已知角是第一象限角，则的终边位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第一或第二象限 D．第一或第二象限或轴的非负半轴上

【答案】D

【解析】∵由角是第一象限角,∴可得,

∴.即的终边位于第一或第二象限或轴的非负半轴上.故选:D.

8．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.

【答案】.

【解析】在范围内，终边落在阴影内的角满足：或

满足题意的角为：

，，

本题正确结果：

【题组四 象限的判断】

1．（2020·广东高一期末）下列各角中，与2019°终边相同的角为（    ）

A．41° B．129° C．219° D．﹣231°

【答案】C

【解析】因为，所以与2019°终边相同.故选：C.

2．（2020·湖南隆回·高一期末）下列各角中，与终边相同的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】与终边相同的角的集合是，当时，.故选：C

3．（2020·河南项城市第三高级中学高一月考）设是第一象限角，且，则是第（    ）象限角

A．一 B．二 C．三 D．四

【答案】B

【解析】∵是第一象限角，∴，，

∴，，

∴为第一象限角或第二象限角或终边在轴正半轴上的轴线角，

∵，∴，∴是第二象限角.故选：.

4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）角弧度，则所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】角弧度，，∴α在第三象限，故选:C.

5．（2020·全国高一课时练习）若θ＝－5，则角θ的终边在（    ）

A．第四象限 B．第三象限

C．第二象限 D．第一象限

【答案】D

【解析】2π－5与－5的终边相同，∵2π－5∈，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角.

故选：D

6．（2020·浙江高一课时练习）若是第四象限角,则角的终边在(    )

A．第一象限 B．第一或第三象限 C．第四象限 D．第二或第四象限

【答案】D

【解析】取,则,在第四象限;取,则,在第二象限.

故选：D.

7．（2020·浙江高一课时练习）试求出终边在如图所示阴影区域内的角的集合．

【答案】．

【解析】因为，所以的终边与的终边相同，

则终边在题图所示阴影区域内的角的集合为．

8．（2020·上海高一课时练习）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）边界对应射线所在终边的角分别为

所以终边在阴影部分的角的集合为

（2）边界对应射线所在终边的角分别为

所以终边在阴影部分的角的集合为

=

【题组五 扇形】

1．（2020·山东潍坊·高一期末）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，

根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为.故选：B.

2．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（    ）

A．4 B．1 C． D．2

【答案】D

【解析】圆心角为，设扇形的半径为，，

解得.故选：D

3．（2020·武威第八中学高一期末）已知扇形的周长为8，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设此扇形半径为r，扇形弧长为l=2r则2r+2r＝8，r=2，∴扇形的面积为r=故选A

4．（2020·辉县市第二高级中学高一期中）已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设该扇形的半径为，弧长为，则，且，所以有，

所以，该扇形的面积为.故选：B.

5．（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】A

【解析】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，

设与所在扇形圆心角分别为，则 ，又，解得

故选:A

6．（2020·永昌县第四中学高一期末）    如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．

【答案】

【解析】∵120°＝π＝π，∴l＝6×π＝4π，∴的长为4π.

∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，

如图所示，作OD⊥AB，有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.

∴S弓形ACB＝S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.

∴弓形ACB的面积为12π－9.

【题组六 生活中实际】

1．（2020·全国高一课时练习）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．

【答案】－120°

【解析】将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为故答案为：

2．（2020·全国高一课时练习）已知α＝30°，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为________.

【答案】1110°

【解析】一个角为，其终边按逆时针方向旋转三周后的角的度数为：．

故答案为：．

3．（2020·全国高一课时练习）写出下列说法所表示的角.

（1）顺时针拧螺丝2圈；

（2）将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．

【答案】（1）－720°；（2）900°.

【解析】

（1）顺时针拧螺丝2圈，即旋转了，顺时针旋转得到的角为负角，故转过的角是；

（2）拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，时针拨慢2小时30分，是2.5周角，

角度数是；又分针是逆时针旋转，转过的角是．

4．（2020·浙江高一课时练习）在一昼夜中，钟表的时针和分针有几次重合？几次形成直角？时针、分针和秒针何时重合？请写出理由．

【答案】答案见解析.

【解析】时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，秒针每分钟走360°，

（1）一昼夜有（分钟），

时针和分针每重合一次间隔的时间为分钟，

所以一昼夜时针和分针重合（次）．

（2）假设时针不动，分针转一圈与时针两次形成直角，

但一昼夜时针转了两圈，则少了4次垂直，

于是时针和分针一共有（次）形成直角．

（3）秒针与分针每重合一次间隔的时间为分钟，

由和的“最小公倍数”为720，而720分钟=12小时，

所以一昼夜只有0:00与12:00这两个时刻“三针”重合．