高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词课后练习题

1.5 全称量词与存在量词（精炼）

【题组一 全称命题判断】

1．（2020·全国高一）下列命题中是全称命题的是(　　)

A．圆有内接四边形             B．

C．          D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形

【答案】A

【解析】A命题即为所有的圆都有内接四边形，是全称命题．其余三命题均不为全称命题．
故选A．

2．（2020·全国高一课时练习）下列命题中全称命题的个数为(　　)

①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C

【解析】①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称命题，③含有“存在”，是特称命题．

3．（2019·全国高一课时练习）下列命题中，全称量词命题的个数为（）

①平行四边形的对角线互相平分；

②梯形有两条边的长度不相等；

③存在一个菱形，它的四条边不相等；

④高二（1）班绝大多数同学是团员．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】①可改写为“任意平行四边形的对角线互相平分”，为全称量词命题

②可改写为“任意梯形均有两条边的长度不相等”，为全称量词命题

③为存在量词命题

④可改写为“高二（1）班有的同学不是团员”，为存在量词命题

全称量词命题为：①②本题正确选项：

【题组二 特称命题的判断】

1．（2019·鱼台县第一中学高一月考）下列语句是存在量词命题的是（      ）

A．整数n是2和5的倍数 B．存在整数n，使n能被11整除

C．若,则 D．

【答案】B

【解析】对于A，无特称量词．  对于B，命题：存在整数n，使n能被11整除，含有特称量词”存在” ,故B是特称命题．对于C，无特称量词．对于D，无特称量词． 故选：B．

2．（2019·湖北十堰.高二期末（文））下列命题是特称命题的是（   ）

A．每个正方形都是矩形 B．有一个素数不是奇数

C．正数的平方必是正数 D．两个奇数之和为偶数

【答案】B

【解析】选项A，每个指所有，全称

选项C，正数的平方指所有正数的平方，全称

选项D，两个奇数之和指任意两个两个奇数之和，全称

选项B，有一个素数指存在一个素数，是特称命题.故选：B。

3．（多选）（2020·儋州市八一中学高一期中）已知下列命题其中正确的有（    ）

A．“实数都大于0”的否定是“实数都小于或等于0”

B．“三角形外角和为360度”是含有全称量词的真命题

C．“至少存在一个实数，使得”是含有存在量词的真命题

D．“能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题

【答案】BCD

【解析】对于A, “实数都大于0”的否定是“实数不都大于0”,故A错误.

对于B, “三角形外角和为360度”含有全称量词,且为真命题,所以B正确;

对于C, “至少存在一个实数，使得”含有存在量词,且为真命题,所以C正确;

对于D, “能被3整除的整数，其各位数字之和也能被3整除”是全称量词命题,所以D正确.综上可知,正确命题为BCD故答案为: BCD

4．（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.

（1）梯形的对角线相等；

（2）存在一个四边形有外接圆

（3）二次函数的图象都与x轴相交；

（4）存在一对实数x，y，使成立

【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题

【解析】（1）命题完整的表述应为“所有梯形的对角线都相等”，很显然是全称量词命题.

（2）命题中含有存在量词，为存在量词命题.

（3）命题完整的表述为“所有的二次函数的图象都与x轴相交”，故为全称量词命题.

（4）命题中含有存在量词，为存在量词命题.

【题组三 全称特称命题真假判断】

1．（2020·浙江高一课时练习）下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（    ）

A．斜三角形的内角是锐角或钝角          B．至少有一个实数，使

C．任一无理数的平方必是无理数          D．存在一个负数，使

【答案】B

【解析】选项A，C中的命题是全称命题,选项D中的命题是特称命题，但是假命题．只有B既是特称命题又是真命题,选B.

2．（2020·全国高一课时练习）判断下列命题的真假：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题；（5）真命题；（6）真命题

【解析】(1) 有或，故(1)为假命题.

(2) 无实数解，故(2)为假命题.

(3)当时有成立，故(3)为真命题.

(4)当时，故(4)为假命题.

(5)因为，故(5)为真命题.

(6)当时,满足，故(6)为真命题.

3．（2020·全国高一课时练习）用量词符号“”“”表述下列命题，并判断真假.

（1）对所有实数a，b，方程恰有一个解；

（2）一定有整数x，y，使得成立；

（3）所有的有理数x都能使是有理数

【答案】（1），恰有一个解；假命题.

（2），；真命题.

（3），是有理数；真命题.

【解析】（1），恰有一个解；假命题.

（2），；真命题.

（3），是有理数；真命题.

4．（2020·全国高一课时练习）判断下列命题的真假：

（1）存在两个无理数，它们的乘积是有理数；

（2）如果实数集的子集A是有限集，则A中的元素一定有最大值；

（3）没有一个无理数不是实数；

（4）如果一个四边形的对角线相等，则这个四边形是矩形；

（5）集合A是集合的子集；

（6）集合是集合A的子集．

【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）假命题；（5）真命题；（6）真命题

【解析】(1)如，故(1)为真命题.

(2)由元素的互异性可知，若为有限集,则必有最大元素，故(2)为真命题.

(3)因为实数包含无理数，故(3)为真命题.

(4)如等腰梯形的对角线也相等，故(4)为假命题.

(5)因为，故(5)为真命题.

(6)因为，故(6)为真命题.

【题组四 命题的否定】

1．（2020·河南开封.高三二模（文））已知，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】因为，是全称命题，故为：，；故选：A．

2．（2020·浙江高一单元测试）命题“，”的否定形式是（   ）.

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【解析】命题的否定为:改为,改为,故否定形式为，,故选D.

3．（2020·全国高二课时练习）写出下列命题的否定，并判断其真假：

(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；

(2)p：有的素数是偶数；

(3)p：至少有一个实数x，使x2＋1＝0；

(4)p：∀x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析.

【解析】(1) p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除． p为真命题．

(2) p：所有的素数都不是偶数．因为2是素数也是偶数，故p为假命题．

(3) p：对任意的实数x，都有x2＋1≠0. p为真命题．

(4) p：∃x0，y0∈R，x02＋y02＋2x0－4y0＋5≠0.

【题组五 全称特称求参数】

1．（2020·定远县民族学校高二月考（理））命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，要使 “，使得”为真命题，

则对应的方程满足，解得，故选B.

2．（2020·江西省都昌县第一中学高二期中（文））已知命题：，，命题：，恒成立.若为假命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B．或

C．或 D．

【答案】B

【解析】当命题为真时，，解得；

当命题为真时，，解得，

当命题与命题均为真时，则有.

命题为假命题，则命题与命题至少有一个为假命题.

所以此时或.故选：B.

3．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是(  )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．故选B．

4．（2020·全国高一）命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】即，所以，解得，

只有D选项是其必要不充分条件.故选：D

5．（2020·全国高一课时练习）“，使得方程有两个不同的实数解”是真命题，则集合_________；

【答案】

【解析】方程有两个不同的实数解，当时，方程只有一个解，不符合条件，所以且，解得，所以答案为.

6．（2020·全国高一课时练习）“，都有恒成立”是真命题，则实数的取值范围是____________；

【答案】

【解析】因为，即的最小值为1，要使“恒成立”，只需，即，所以答案为“”.

7．（2020·浙江高一课时练习）命题，若“非p”为真命题，则m的取值范围是_________.

【答案】.

【解析】由题意知，命题为假，即恒成立，所以，所以，所以.

故答案为：.

8．（2019·凤阳县第二中学高三期中（文））若命题“p：,”是假命题,则实数a的取值范围是______．

【答案】

【解析】若命题“p：∀x∈R，ax2+2x+1＞0”是假命题，

则∃x∈R，ax2+2x+1≤0，

当a＝0时，y＝2x+1为一次函数，满足条件；

当a＜0时，y＝ax2+2x+1是开口朝下的二次函数，满足条件；

当a＞0时，y＝ax2+2x+1是开口朝上的二次函数，

则函数图象与x轴有交点，即△＝4﹣4a≥0，

解得：0＜a≤1

综上可得：实数a的取值范围是：

故答案为：

9．（2020·湖北高一期末）已知命题存在实数，使成立.

（1）若命题P为真命题，求实数a的取值范围；

（2）命题任意实数，使恒成立.如果p，q都是假命题，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）存在实数，使成立或，实数a的取值范围为；

（2）任意实数，使恒成立，，，，

由题p，q都是假命题，那它们的补集取交集，实数a的取值范围.

10．（2020·江西东湖.南昌二中高二月考（理））设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）或

【解析】（1）对于命题p：对任意，不等式恒成立，

而，有，，，

所以p为真时，实数m的取值范围是；

（2）命题q：存在，使得不等式成立，

只需，而，，，，

即命题q为真时，实数m的取值范围是，

依题意命题一真一假，

若p为假命题， q为真命题，则，得；

若q为假命题， p为真命题，则，得，

综上，或.

11．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期中（文））已知，：“，”，：“方程无实数解”.

（1）若为真命题，求实数的取值范围；

（2）若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.

【答案】（1）； （2）或.

【解析】（1）∵命题，为真命题，

∴，又∵，∴.

（2）若命题是真命题，∴，∴，

因为命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以两命题一真一假，

当命题为真，命题为假，，∴，

当命题为假，命题为真，，∴.

综上所述：或.

12．（2020·全国高一课时练习）已知集合，集合，如果命题“，使得”为假命题，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】命题“，使得”为假命题，则其否定命题“，”为真命题

当时，集合，符合

当时，因为，所以，

得对于恒成立

所以，则

综上，实数的取值范围为.

12．（2020·山西高二期末（理））已知,命题:对,不等式恒成立；命题，使得成立.

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）当时，若假，为真，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）∵对任意，不等式恒成立，

，即，即，解得，

因此，若为真命题时，实数的取值范围是；

（2），且存在，使得成立，，命题为真时，.

∵且为假，或为真，

∴、中一个是真命题，一个是假命题．

当真假时，则，解得；

当假真时，，即.

综上所述，的取值范围为.