高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课堂检测

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

【题组一 解无参数的一元二次不等式】

解下列不等式：

（1）；        （2）；

（3）；        （4）．

（5）x2＋3x－5＞0         （6）－2x2＋3x－2＜0；

（7）－2＜x2－3x≤10．

【答案】（1）或；（2）；（3）或；

（4）.(5)(6)R(7)[－2，1)∪(2，5]

【解析】（1）由题意，不等式，则不等式的解集为或；

（2）由题意，不等式，则不等式的解集为；

（3）由题意，不等式，则不等式的解集为或；

（4）由题意，不等式，则不等式的解集为；

（5）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为

（6）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R

（7）原不等式等价于，①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1

②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]

【题组二 解有参数的一元二次不等式】

1．（2020·安徽金安 六安一中高一期中（理））设函数．

（1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围；

（2）若，解关于的不等式．

【答案】（1）；（2）答案见解析．

【解析】（1）由题意得，对任意的成立，

即对任意的成立，

①当时，，显然不符合题意；

②当时，只需，即，

化简得，解得，

综上所述，.

（2）由得，

即，

①当时，，解集为；

②当时，，解集为；

③当时，，解集为．

2．（2020·宁夏兴庆.银川一中高一期末）解关于的不等式：.

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】原不等式移项得，即.

∵，∴

当时，

当时，

当时，

综上所述：

当时，解集为

当时，解集为

当时，解集为

3．（2019·四川仁寿一中高一月考）设，解关于的不等式．

【答案】详见解析

【解析】①时，恒成立．

②时，不等式可化为，即

而，此时不等式的解集为；

③当时，不等式可化为，即

而，此时不等式的解集为；

4．（2020·上海高三专题练习）解关于x的不等式：.

【答案】见解析

【解析】（1）当时,;

（2）当时,原不等式化为.

①当时,原不等式化为..

②当时,原不等式化为.

a.当时,；b.当时，；c.当时，.

综上所述：①当时,；

②当时,;

③当时,；

④当时,;

⑤当时,..

5．（2020·上海高一课时练习）解关于x的不等式：．

【答案】见解析

【解析】将不等式变形为.

当a <0或时，有a < a2，所以不等式的解集为或；

当a =0或时，a = a2=0，所以不等式的解集为且；

当0< a <1时，有a > a2，所以不等式的解集为或；

6（2020·浙江高一课时练习）解关于x的不等式：．

【答案】答案见解析.

【解析】当时，不等式化为，解得；

若，则原不等式可化为，，

当时，，解得或，

当时，不等式化为，解得且，

当时，，解得或；

若，则不等式可化为

当时，，解得，

当时，不等式可化为，其解集为，

当时，，解得．

综上，当时，不等式的解集为;

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为;

当时，不等式的解集为;

当时，不等式的解集为或;

当时，不等式的解集为且；

当时，不等式的解集为或．

7．（2020·上海高一课时练习）解下列含参数的不等式：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）原不等式等价于，

对应方程两根为，

比较两根的大小情况，可得

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

（2）当时，不等式化为．解得．

当时，方程的两根为，．

①时，分情况讨论：

时，；

时，；

时，．

②时，．

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

（3）．

①，即或时，

不等式的解集为；

②，即或时，

不等式的解集为；

③，即时，不等式的解集为.

【题组三 三个一元二次的关系】

1．（2020·全国高一开学考试）关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题,是方程的两根,可得,即,

所以不等式为,即,所以,故选：D

2．（2020·全国高一课时练习）若方程只有正根，则m的取值范围是（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】B

【解析】方程只有正根，则

当，即时，

当时，方程为时，，符合题意；

当时，方程为时，不符合题意.

故成立；

当，解得或，

则，解得.

综上得.

故选B.

3．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集                .

【答案】.

【解析】由题意，不等式的解集为，

所以与是方程的两个实数根，

由根与系数的关系得 解得

所以不等式，即为，

整理得，解得

即不等式的解集为.

4．（2020·上海高一开学考试）关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】D

【解析】因为关于的方程有两个不等的实根

且，即：且，

解得且.故选：D.

5．（2019·山东济宁.高一月考）已知，关于的一元二次不等式的解集为（   ）

A．，或 B．

C．，或 D．

【答案】B

【解析】依题意可化为，由于，故不等式的解集为.故选B.

6．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于的不等式的解集为.

（1）求的值；

（2）求关于的不等式的解集．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）关于的不等式的解集为，

∴，且﹣1和2是方程的两实数根，

由根与系数的关系知，，解得；

（2）由（1）知，时，

不等式为，

∴不等式的解集是.

7．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知关于x的不等式

（1）若不等式的解集是，求k的值；

（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；

（3）若不等式的解集为，求k的取值范围．

【答案】（1）（2）（3）

【解析】(1)∵不等式的解集是,

∴且-3和-2是方程的实数根,

由根与系数的关系,得,所以；

(2)不等式的解集是R,所以,解得

(3)不等式的解集为,得,解得

8．（2020·全国高一课时练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程的两根分别为，且满足，求k的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由题意方程有两个不相等的实数根，

则满足，

解得，即实数k的取值范围是；

（2）由（1）可知，

又由一元二次方程中根与系数的关系，可得，

因为，所以，整理得，

解得（舍去）或，所以.

9（2020·浙江高一课时练习）已知关于x的不等式．

（1）若不等式的解集是或，求k的值．

（2）若不等式的解集是，求k的值．

（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．

（4）若不等式的解集是，求k的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．

【解析】（1）由不等式的解集为或可知，

且与是方程的两根，，解得．

（2）由不等式的解集为可知，解得．

（3）依题意知解得．

（4）依题意知解得．

【题组四 一元二次恒成立问题】

1．（2020·全国高一课时练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【解析】，且，所以原不等式等价于，不等式恒成立，则，由，当且仅当时,，所以正确答案为．

2．（2020·全国高一课时练习）对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________.

【答案】{0}

【解析】由题意知＝(m－4)2－4(4－2m)= m2≤0，得m＝0.故答案为：.

3．（2020·江西高一期末）对任意实数x，不等式恒成立，则k的取值范围是______．

【答案】

【解析】∵对任意实数x恒成立，的系数

∴，解得：，∴k的取值范围是：．

故答案为：．

4．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为__________________.

【答案】

【解析】当时，，满足题意；

当时，

则，即

解得：，

综上：.

故答案为：.

5．（2019·天津河西 高二期中）已知函数=.

（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；

（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）；（3）.

【解析】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2，

 由韦达定理，可得

 此时等价于，

即，解得或

所以不等式的解集是或；

（2）对于任意的，不等式恒成立，

也即  对任意的恒成立，

因为二次函数开口向上，最大值在或处取得，

所以只需满足，解得：，据此可得；

综上可得，实数a的取值范围是：.

（3）若方程在有解，

可得到在有实数根.

参数分离得，则，

结合二次函数的性质可得，

所以，也即.

综上可得，实数a的取值范围是：.

6．（2020·浙江宁波.高一期末）已知集合．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】（Ⅰ）由题意可知，

和是方程的两个根，

所以由韦达定理得，

故实数.

（Ⅱ）由，原不等式可化为，

所以在上恒成立，

令，

因为，

所以，

所以不等式恒成立等价于，故由，

解得：，

故实数的取值范围为：.

【题组五 实际运用题】

1．（2019·全国高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（    ）.

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设该厂每天获得的利润为元，

则，，，

根据题意，可得，解得，

故当，且时，每天获得的利润不利于1300元.故选B.

2．（2019·辽宁沙河口 辽师大附中高三月考（文））某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(    )

A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间

【答案】C

【解析】设销售价定为每件元,利润为

则

依题意,得

即,解得

所以每件销售价应定为12元到16元之间

故选:C

3．（2020·沙坪坝 重庆八中高一期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（）.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？

【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于且小于.

【解析】（1）依题得.

当且仅当，即时，上时等号成立，

（千辆/时）.

当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；

（2）由条件得，因为，

所以整理得，即，解得.

如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.

4．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．

（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；

（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？

【答案】（1），；（2）．

【解析】（1）由题意得：，，

整理得：，

（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，

即，．

解得，所以投入成本增加的比例应在范围内．