数学人教A版 (2019)3.3 幂函数随堂练习题

这是一份数学人教A版 (2019)3.3 幂函数随堂练习题，共6页。

[合格基础练]
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
A [∵幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \r(2)，即α＝－eq \f(1,2)，∴k＋α＝eq \f(1,2).]
2.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A．①y＝xeq \s\up5(\f(1,3))，②y＝x2，③y＝xeq \s\up5(\f(1,2))，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq \s\up5(\f(1,2))，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq \s\up5(\f(1,2))，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝xeq \s\up5(\f(1,2))，③y＝x2，④y＝x－1
B [因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B正确．]
3．幂函数的图象过点(3, eq \r(3))，则它的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
B [设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3, eq \r(3))，所以f(3)＝3α＝eq \r(3)＝3eq \s\up5(\f(1,2))，解得α＝eq \f(1,2)，所以f(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]
4．设α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－1，1，\f(1,2)，3))，则使函数y＝xα的定义域是R，且为奇函数的所有α的值是( )
A．1,3 B．－1,1
C．－1,3 D．－1,1,3
A [当α＝－1时，y＝x－1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且为奇函数；当α＝eq \f(1,2)时，函数y＝xeq \s\up5(\f(1,2))的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y＝x3的定义域是R且为奇函数．故选A.]
5．幂函数f(x)＝xα的图象过点(2,4)，那么函数f(x)的单调递增区间是( )
A．(－2，＋∞) B．[－1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，－2)
C [由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f(x)＝x2.
所以二次函数f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)．]
二、填空题
6．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,3)))，则f(6)＝________.
eq \f(1,36) [依题意eq \f(1,3)＝(eq \r(3))m＝3eq \s\up5(eq \f(m,2))，所以eq \f(m,2)＝－1，m＝－2，
所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝eq \f(1,36).]
7．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x2m－3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________.
－1 [∵f(x)＝(m2－m－1)x2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m＝－1时，f(x)＝x－5，符合题意．
综上可知，m＝－1.]
8．若幂函数y＝xeq \s\up5(eq \f(m,n))(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．
①m，n是奇数且eq \f(m,n)<1；②m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)>1；③m是偶数，n是奇数，且eq \f(m,n)<1；④m，n是偶数，且eq \f(m,n)>1.
③ [由题图知，函数y＝xeq \s\up5(eq \f(m,n))为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以eq \f(m,n)<1，选③.]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xeq \s\up5(m2＋m－1)，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
[解] (1)若函数f(x)为正比例函数，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq \r(2).
10．已知幂函数y＝f(x)经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,8))).
(1)试求函数解析式；
(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．
[解] (1)由题意，得f(2)＝2α＝eq \f(1,8)，即α＝－3，故函数解析式为f(x)＝x－3.
(2)∵f(x)＝x－3＝eq \f(1,x3)，∴要使函数有意义，则x≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，
∴该幂函数为奇函数．
当x＞0时，根据幂函数的性质可知f(x)＝x－3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
[等级过关练]
1．函数y＝x－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的最大值是( )
A.eq \f(1,4) B．－1
C．4 D．－4
C [函数y＝x－2在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上为减函数，所以当x＝eq \f(1,2)时有最大值4.]
2．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；
④f(x)＝eq \r(x)；⑤f(x)＝eq \f(1,x).其中满足条件feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A [①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(fx1＋fx2,2)；
②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))④函数f(x)＝eq \r(x)的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2)；
⑤在第一象限，函数f(x)＝eq \f(1,x)的图象是一条凹形曲线，
故当x1>x2>0时，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))故仅有函数f(x)＝eq \r(x)满足当x1>x2>0时，
feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(fx1＋fx2,2).故选A.]
3．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于________．
1 [∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜eq \f(5,3)，又m∈N，∴m＝0,1；∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，故m＝1.]
4．已知幂函数f(x)＝xeq \s\up5(\f(1,2))，若f(10－2a)3易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
又f(10－2a)所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋1≥0，,10－2a≥0，,a＋1>10－2a，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥－1，,a≤5，,a>3，))
所以35．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，函数g(x)＝(x－2)f(x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤1))，求函数g(x)的最大值与最小值．
[解] 因为f(x)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2)))，所以eq \f(1,2)＝2α，
所以α＝－1，所以f(x)＝x－1，
所以g(x)＝(x－2)·x－1＝eq \f(x－2,x)＝1－eq \f(2,x).
又g(x)＝1－eq \f(2,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))上是增函数，
所以g(x)min＝geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝－3，
g(x)max＝g(1)＝－1.