数学必修 第一册4.2 指数函数测试题

课时同步练习(二十六)　指数函数的性质的应用

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．设a＝40.9，b＝80.48，c＝－1.5，则(　　)

A．c>a>b　　　　　 B．b>a>c

C．a>b>c   D．a>c>b

D　[a＝40.9＝21.8，b＝80.48＝21.44，c＝－1.5＝21.5，因为函数y＝2x在R上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以21.8>21.5>21.44，即a>c>b.]

2．若2a＋1<3－2a，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1，＋∞)   B.

C．(－∞，1)   D.

B　[∵函数y＝x在R上为减函数，∴2a＋1>3－2a，∴a>.]

3．若函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.∪(1，＋∞)   D.

A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f(x)＝3(2a－1)x＋3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f(x)＝3(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是，选A.]

4．已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)

A．是奇函数，且在R上是增函数

B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数

D．是偶函数，且在R上是减函数

A　[因为f(x)＝3x－x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．

又y＝3x在R上是增函数，y＝x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－x在R上是增函数．]

5．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0,1]上的最大值是(　　)

A．6   B．1

C．3   D.

C　[函数y＝ax在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0,1]上是单调递增函数，故x＝1时，ymax＝3.]

二、填空题

6．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．

m<n　[∵a＝∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n.]

7．若－1<x<0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．

b<a<c　[因为－1<x<0，所以由指数函数图象和性质可得：2x<1,2－x>1,0.2x>1，又因为0.5x<0.2x，所以b<a<c.]

8．函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为________．

[0，＋∞)　[由于底数∈(0,1)，所以函数f(x)＝1－x2的单调性与y＝1－x2的单调性相反，f(x)＝1－x2的单调递增区间就是y＝1－x2的单调递减区间．由y＝1－x2的图象(图略)可知：当x≤0时，y＝1－x2是增函数；当x≥0时，y＝1－x2是减函数，所以函数f(x)＝1－x2的单调递增区间为[0，＋∞)．]

三、解答题

9．求下列函数的单调区间：

(1)y＝a－x2＋3x＋2(a>1)；(2)y＝2|x－1|.

[解]　(1)设u＝－x2＋3x＋2＝－2＋，易知u在上是增函数，在上是减函数，

∴a>1时，y＝au在上是增函数，在上是减函数．

(2)当x∈(1，＋∞)时，函数y＝2x－1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数，

∴y＝2x－1为增函数；

当x∈(－∞，1)时，函数y＝21－x.

而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数，

∴y＝21－x为减函数．

故函数y＝2|x－1|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．

10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．

(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在R上为增函数；

(2)若f(x)为奇函数，求a的值；

(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．

[解]　(1)证明：∵f(x)的定义域为R，任取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝.

∵x1<x2，

∴2x1－2x2<0，(1＋2x1)(1＋2x2)>0，

∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

∴不论a为何实数，f(x)在R上为增函数．

(2)∵f(x)在x∈R上为奇函数，

∴f(0)＝0，即a－＝0，解得a＝.

(3)由(2)知，f(x)＝－，

由(1)知，f(x)为增函数，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．

∵f(1)＝－＝，

∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.

[等级过关练]

1．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是(　　)

A．(－∞，2]　　　　 B．[2，＋∞)

C. [－2，＋∞)   D．(－∞，－2]

B　[∵f(1)＝a|2－4|＝a2＝，

∴a＝，a＝－(舍去)．

∴f(x)＝|2x－4|.

∴f(x)的单调递减区间为[2，＋∞)．]

2．设函数f(x)＝若f＝4，则b＝(　　)

A．1   B.

C.   D.

D　[f＝f＝f.当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍去)．当－b≥1，即b≤时，2＝4＝22，解得b＝.]

3．已知函数f(x)＝为奇函数，则m的值等于________．

1　[由题意可知，f(0)＝＝＝0，

∴m＝1.]

4．已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．

　[∵a2＋a＋2＝2＋>1，

∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数，

∴x>1－x，即x>.]

5．已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；

(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．

[解]　(1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，

令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，

y＝x在R上是减函数，

∴f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，

即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝h(x)，由于f(x)有最大值3，

所以h(x)应有最小值－1.

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，a的值为1.