高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习

课时同步练习(三十二)　函数的零点与方程的解

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)

A．2　　　　　　 B．－2

C．±2   D．3

C　[因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.]

2．函数f(x)＝2x－的零点所在的区间是(　　)

A．(1，＋∞)   B.

C.   D.

B　[由f(x)＝2x－，得

f＝2－2<0，f(1)＝2－1＝1>0，

∴f·f(1)<0.

∴零点所在区间为.]

3．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　)

A.，0   B．－2,0

C.   D．0

D　[当x≤1时，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0；当x>1时，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝，不成立，所以函数的零点为0，故选D.]

4．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上的零点(　　)

A．至多有一个   B．有一个或两个

C．有且仅有一个   D．一个也没有

C　[若a＝0，则f(x)＝ax2＋bx＋c是一次函数，由已知f(1)·f(2)<0，得只有一个零点；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若有两个零点，则应有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．故仅有一个零点．]

5．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(b，c)和(c，＋∞)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(a，b)和(b，c)内   D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

C　[∵a<b<c，

∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，

f(b)＝(b－c)(b－a)<0，

f(c)＝(c－a)(c－b)>0，

∴f(x)的零点分别位于(a，b)和(b，c)内．]

二、填空题

6．函数f(x)＝的零点是________．

1　[令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.]

7．设x0是方程ln x＋x＝4的根，且x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.

2　[令f(x)＝ln x＋x－4，

且f(x)在(0，＋∞)上递增，

∵f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3－1>0，

∴f(x)在(2,3)内有解，∴k＝2.]

8．奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝________.

图(1)　　　　　　　图(2)

10　[由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，g＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，f＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7.又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3.所以m＋n＝10.]

三、解答题

9．判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．

[解]　法一(图象法)：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．

在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点．

法二(判定定理法)：由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，

f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，

∴f(1)·f(2)<0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点，

又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．

10．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个负零点，求实数a的取值范围．

[解]　①当a＝0时，由f(x)＝－x－1＝0得x＝－1，符合题意；

②当a>0时，函数f(x)＝ax2－x－1为开口向上的抛物线，且f(0)＝－1<0，对称轴x＝>0，所以f(x)必有一个负实根，符合题意；

③当a<0时，x＝<0，f(0)＝－1<0，所以Δ＝1＋4a＝0，即a＝－，

此时f(x)＝－x2－x－1＝－2＝0，

所以x＝－2，符合题意．综上所述，a的取值范围是a≥0或a＝－.

[等级过关练]

1．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)

A．－1和   B．1和－

C.和   D．－和

B　[∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，

∴即∴g(x)＝6x2－5x－1，

∴g(x)的零点为1和－，故选B.]

2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)   B．[0，＋∞)

C．[－1，＋∞)   D．[1，＋∞)

C　[函数g(x)＝f(x)＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f(x)＝－x－a有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f(x)的图象，如图所示，

由图可知，－a≤1，解得a≥－1，故选C.]

3．若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．

(0,4)　[由|x2－4x|－a＝0，得a＝|x2－4x|，作出函数y＝|x2－4x|的图象，则由图象可知，要使方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则0＜a＜4.]

4．已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________．

a＜b＜c　[画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示，

观察图象可知，函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log3x＋2，h(x)＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.]

5．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.

(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；

(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．

[解]　(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.

(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．

需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.

故b的取值范围为(4，＋∞).