必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换精练

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课时同步练习(四十九)　简单的三角恒等变换(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．函数f(x)＝cos2，x∈R，则f(x)(　　)A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数D　[原式＝＝(1－sin 2x)＝－sin 2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．]2．已知＝，则的值为(　　)A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－B　[∵·＝＝＝－1且＝，∴＝－.]3．在△ABC中，若cos A＝，则sin2＋cos 2A＝(　　)A．－　　 B.C．－   D.A　[sin2＋cos 2A＝＋2cos2A－1＝＋2cos2A－1＝－.]4．已知tan 2α＝，α∈，函数f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2sin α，且对任意的实数x，不等式f(x)≥0恒成立，则sin的值为(　　)A．－   B．－C．－   D．－A　[由tan 2α＝，即＝，得tan α＝或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x＋α)－sin(x－α)－2tan α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－，cos α＝，所以sin＝sin αcos－cos αsin＝－，故选A.]5．已知f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调减区间分别为(　　)A．2π，   B．π，C．2π，   D．π，B　[∵f(x)＝1－cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得f(x)的单调减区间为＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，得f(x)的一个单调减区间，故选B.]二、填空题6．有以下四个关于三角函数的命题：①∃x0∈R，sin2＋cos2＝；②∃x0，y0∈R，sin(x0－y0)＝sin x0－sin y0；③∀x∈[0，π]，＝sin x；④sin x＝cos y⇒x＋y＝.其中假命题的序号为________．①④　[因为sin2＋cos2＝1≠，所以①为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以②为真命题；因为＝＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以③为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以④为假命题．]7．化简下列各式：(1)＜α＜，则＝________.(2)α为第三象限角，则－＝________.(1)sin α－cos α　(2)0　[(1)∵α∈，∴sin α＞cos α，∴＝＝＝＝sin α－cos α.(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴－＝－＝－＝0.]8．函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．[－5,3]　[f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2(sin x－1)2＋3.当sin x＝1时，f(x)取得最大值3，当sin x＝－1时，f(x)取得最小值－5，所以函数f(x)的值域为[－5,3]．]三、解答题9．求证：tan－tan＝.[证明]　法一：(由左推右)tan－tan＝－＝＝＝＝＝.法二：(由右推左)＝＝＝－＝tan－tan.10．已知函数f(x)＝2cos2，g(x)＝2.(1)求证：f＝g(x)；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．[解]　(1)证明过程如下：f(x)＝2cos2＝1＋cos x，g(x)＝2＝1＋2sincos＝1＋sin x，∵f＝1＋cos＝1＋sin x，∴f＝g(x)，命题得证．(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x＝＝cos，∵x∈[0，π]，∴≤x＋≤，当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，当π≤x＋≤，即≤x≤π时，h(x)递增．∴函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，可知当x＝时，函数h(x)取到最小值．[等级过关练]1．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　)A．b＞a＞c　　 B．a＞b＞cC．a＞c＞b   D．c＞b＞aA　[∵a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，∴b＞a＞c.]2．设α∈，β∈，且＝，则(　　)A．2α＋β＝   B．2α－β＝C．α＋2β＝   D．α－2β＝B　[由题意得sin α－sin αsin β＝cos αcos β，sin α＝cos(α－β)，∴cos＝cos(α－β)．∵－α∈，α－β∈，∴－α＝α－β或－α＋α－β＝0(舍去)，∴2α－β＝.]3．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是(　　)A．1   B．2C.＋1   D.＋2B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＝sin x＋cos x＝2sin.∵0≤x<，∴≤x＋<，∴当x＋＝时，f(x)取到最大值2.]4．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.±　[由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，又θ是第二象限角，得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－＝－，由cos2 ＝得cos2 ＝.又是第一、三象限角，所以cos ＝±.]5．如图所示，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y＝x(x≥0)交于点Q，与x轴交于点M.记∠MOP＝α，且α∈.(1)若sin α＝，求cos∠POQ；(2)求△OPQ面积的最大值．[解]　(1)由题意知∠QOM＝，因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝，所以cos∠POQ＝cos＝coscos α＋sinsin α＝.(2)由三角函数定义，得P(cos α，sin α)，从而Q(cos α，cos α)，所以S△POQ＝|cos α||cos α－sin α|＝|cos2α－sin αcos α|＝＝≤＝＋.因为α∈，所以当α＝－时，等号成立，所以△OPQ面积的最大值为＋.