2021年人教版高中数学必修第一册专题强化训练(四)《指数函数与对数函数》(含答案详解)

专题强化训练(四)　指数函数与对数函数

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下列运算正确的是(　　)

A.7＝m7·n(m>0，n>0)

B.＝

C.＝(x＋y)(x>0，y>0)

D.＝

D　[7＝m7·n－7(m>0，n>0)，故A错；＝＝，故B错；与不同，故C错．故选D.]

2．函数y＝lg|x－1|的图象是(　　)

A　  　　 B　　    C　     　D

A　[因为当x＝1时函数无意义，故排除选项B、D，

又当x＝0时，y＝lg 1＝0，故排除选项C.]

3．函数y＝的值域是(　　)

A．[0，＋∞)　　　 B．[0,4]

C．[0,4)   D．(0,4)

C　[由4x>0可知16－4x<16，故的值域为[0,4)．]

4．设函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，则x0所在区间是(　　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2,3)   D．(3,4)

B　[函数y＝x2与y＝x－2的图象交点为(x0，y0)，x0是方程x2＝x－2的解，也是函数f(x)＝x2－x－2的零点．∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(2)＝22－1＝3＞0，f(1)＝1－2＝－1＜0，∴f(1)·f(2)＜0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内．故选B.]

5．当0<x≤时，logax>8x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.   B.

C．(1，)   D．(，2)

B　[∵logax>8x，∴logax>0，而0<x≤，∴0<a<1，作出y＝8x与y＝logax的大致图象如图所示，则只需满足loga>8＝2＝logaa2，解得a>，∴<a<1，故选B.]

二、填空题

6．函数y＝2＋ax－2(a>0且a≠1)的图象恒过定点，它的坐标为________．

(2,3)　[当x－2＝0时，y＝2＋a0＝2＋1＝3，∴图象恒过定点(2,3)．]

7．若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.

1　[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，

∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]

8．下列命题：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②任取x>0，均有x>x；

③在同一坐标系中，y＝log2x与y＝logx的图象关于x轴对称；

④y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．

其中正确的命题的序号是________．

②③　[①可举偶函数y＝x－2，则它的图象与y轴不相交，故①错；

②n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上递增，则任取x>0，均有x>x，故②对；

③由于y＝logx＝－log2x，则在同一坐标系中，y＝log2x与y＝logx的图象关于x轴对称，故③对；

④可举x1＝－1，x2＝1，则y1＝－1，y2＝1，不满足减函数的性质，故y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不是减函数．故④错．]

三、解答题

9．计算下列各式：

(1)log3＋lg 25＋lg 4＋7log72＋(－9.8)0；

(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.

[解]　(1)原式＝log33＋lg(25×4)＋2＋1

＝＋lg 102＋3＝＋2＋3

＝.

(2)原式＝log3[32×(33)2]＋(log26－log23)＋log43×log342＝log338＋log2＋2＝8＋1＋2＝11.

10．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8，m)和(9,3)．

(1)求实数m的值；

(2)若函数g(x)＝af(x)(a>0，a≠1)在区间[16,36]上的最大值等于最小值的两倍，求实数a的值．

[解]　(1)设f(x)＝xα，依题意可得9α＝3，

∴α＝，f(x)＝x，

∴m＝f(8)＝8＝2.

(2)g(x)＝a，∵x∈[16,36]，

∴∈[4,6]，

当0<a<1时，g(x)max＝a4，g(x)min＝a6，

由题意得a4＝2a6，解得a＝；

当a>1时，g(x)max＝a6，g(x)min＝a4，

由题意得a6＝2a4，解得a＝.

综上，所求实数a的值为或.

[等级过关练]

1．二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝x的图象可能是(　　)

A　    　B　  　    　C　       　D

A　[整体看出0<<1，故二次函数的对称轴满足－<－<0，结合图象，选A.]

2．函数f(x)＝在x∈R上单调递减，则a的范围是(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

B　[若函数f(x)＝在x∈R上单调递减，

则解得≤a≤，故选B.]

3．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

－　[当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0<a<1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.]

4．已知函数y＝log2，下列说法：

①关于原点对称；②关于y轴对称；③过原点．其中正确的是________．

①③　[由于函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称，又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，故函数为奇函数，故其图象关于原点对称，①正确；因为当x＝0时，y＝0，所以③正确．]

5．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．求k的值及f(x)的解析式．

[解]　设隔热层厚度为x cm，

由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.

而建造费用为C1(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．