高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用同步练习题，共7页。
[合格基础练]
一、选择题
1．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
D [依题意是求函数s＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))的周期，T＝eq \f(2π,2π)＝1，故选D.]
2．函数f(x)的部分图象如图所示，则下列选项正确的是( )
A．f(x)＝x＋sin x
B．f(x)＝eq \f(cs x,x)
C．f(x)＝xcs x
D．f(x)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3π,2)))
C [观察图象知函数为奇函数，排除D项；又函数在x＝0处有意义，排除B项；取x＝eq \f(π,2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝0，A项不合适，故选C.]
3．下表是某市近30年来月平均气温(℃)的数据统计表：
则适合这组数据的函数模型是( )
A．y＝acseq \f(πx,6)
B．y＝acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acseq \f(x－1π,6)＋k(a＞0，k＞0)
D．y＝acseq \f(πx,6)－3
C [当x＝1时图象处于最低点，且易知a＝eq \f(－5.9＋22.8,2)＞0.故选C.]
4．如图，为一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮自点A开始1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq \f(15,2π)，A＝3
C．ω＝eq \f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq \f(15,2π)，A＝5
A [由题目可知最大值为5，∴5＝A×1＋2⇒A＝3.
T＝15，则ω＝eq \f(2π,15).故选A.]
5．如图是函数y＝sin x(0≤x≤π)的图象，A(x，y)是图象上任意一点，过点A作x轴的平行线，交其图象于另一点B(A，B可重合)．设线段AB的长为f(x)，则函数f(x)的图象是( )
A [当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝π－2x；当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝2x－π，故选A.]
二、填空题
6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
20．5 [由题意可知A＝eq \f(28－18,2)＝5，a＝eq \f(28＋18,2)＝23.从而y＝5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×4))＋23＝20.5.]
7．如图是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．
y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))) [由题图可设y＝Asin(ωt＋φ)，则A＝2，
又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝eq \f(2π,0.8)＝eq \f(5,2)π，
所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)πt＋φ))，
将点(0.1,2)代入y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋φ))中，
得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1，
所以φ＋eq \f(π,4)＝2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
即φ＝2kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，
令k＝0，得φ＝eq \f(π,4)，
所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)t＋\f(π,4))).]
8．一种波的波形为函数y＝－sineq \f(π,2)x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________．
7 [函数y＝－sineq \f(π,2)x的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7.]
三、解答题
9．已知某地一天从4时到16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．
(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？
[解] (1)由函数易知，当x＝14时函数取最大值，即最高温度为30 ℃；当x＝6时函数取最小值，即最低温度为10 ℃.所以，最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝15，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝－eq \f(1,2).
而x∈[4,16]，所以x＝eq \f(26,3).
令10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20＝25，
可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＝eq \f(1,2)，而x∈[4,16]，
所以x＝eq \f(34,3).故该细菌的存活时间为eq \f(34,3)－eq \f(26,3)＝eq \f(8,3)小时．
10．如图所示，摩天轮的半径为40 m，O点距地面的高度为50 m，摩天轮作匀速转动，每2 min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点．
(1)试确定在时刻t min时P点距离地面的高度；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70 m.
[解] 建立如图所示的平面直角坐标系
(1)设φ(0≤φ≤2π)是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP在t min内转过的角为eq \f(2π,2)t，即πt∴以Ox为始边，OP为终边的角为(πt＋φ)，即P点纵坐标为40sin(πt＋φ)，∴P点距地面的高度为z＝50＋40sin(πt＋φ)，(0≤φ≤2π)，
由题可知，φ＝eq \f(π,2)，∴z＝50＋40sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(πt＋\f(π,2)))＝50＋40csπt.
(2)当50＋40csπt≥70时，解之得，2k－eq \f(1,3)≤t≤2k＋eq \f(1,3)，持续时间为eq \f(2,3)min.
即在摩天轮转动一圈内，有eq \f(2,3)minP点距离地面超过70 m.
[等级过关练]
1．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10]
C．[10,15] D．[15,20]
C [当10≤t≤15时，有eq \f(3,2)π