人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第2课时习题

第2课时　对数函数及其性质的应用

比较对数值的大小

【例1】　比较下列各组值的大小：

(1)log5与log5；

(2)log2与log2；

(3)log23与log54.

[解]　(1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而<，所以log5<log5.

法二(中间值法)：因为log5<0，log5>0，

所以log5<log5.

(2)法一(单调性法)：由于log2＝，log2＝，

又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，

且>，所以0>log2>log2，

所以<，所以log2<log2.

法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logx及y＝logx的图象，由图易知：log2<log2.

(3)取中间值1，

因为log23>log22＝1＝log55>log54，

所以log23>log54.

比较对数值大小的常用方法

1同底数的利用对数函数的单调性.

2同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.

3底数和真数都不同，找中间量.

提醒：比较数的大小时先利用性质比较出与零或1的大小.

1．比较下列各组值的大小：

(1)log0.5，log0.6；

(2)log1.51.6，log1.51.4；

(3)log0.57，log0.67；

(4)log3π，log20.8.

[解]　(1)因为函数y＝logx是减函数，且0.5<0.6，所以log0.5>log0.6.

(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.

(3)因为0>log70.6>log70.5，

所以<，即log0.67<log0.57.

(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.

解对数不等式

【例2】　已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．

(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；

(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．

[思路点拨]　(1)直接由对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合．

(2)分a＞1和0＜a＜1求解不等式得答案．

[解]　(1)由解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．

(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，

①当a＞1时，不等式等价于

解得1<x≤；

②当0＜a＜1时，不等式等价于

解得≤x<3.

综上可得，当a＞1时，不等式的解集为；

当0＜a＜1时，不等式的解集为.

常见的对数不等式的三种类型

1形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；

2形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解；

3形如logax＞logbx的不等式，可利用图象求解.

2．(1)已知loga>1，求a的取值范围；

(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．

[解]　(1)由loga>1得loga>logaa.

①当a>1时，有a<，此时无解．

②当0<a<1时，有<a，从而<a<1.

所以a的取值范围是.

(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得解得x>1.

即x的取值范围是(1，＋∞)．

对数函数性质的综合应用

[探究问题]

1．类比y＝af(x)单调性的判断法，你能分析一下y＝log(2x－1)的单调性吗？

提示：形如y＝af(x)的单调性满足“同增异减”的原则，由于y＝log(2x－1)由函数y＝logt及t＝2x－1复合而成，且定义域为2x－1>0，即x>，结合“同增异减”可知，

y＝log(2x－1)的减区间为.

2．如何求形如y＝logaf(x)的值域？

提示：先求y＝f(x)的值域，注意f(x)>0，在此基础上，分a>1和0<a<1两种情况，借助y＝logax的单调性求函数y＝logaf(x)的值域．

【例3】　(1)已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为(　　)

A．(0,1)　　　　 B．(1,2)

C．(0,2)   D．[2，＋∞)

(2)函数f(x)＝log(x2＋2x＋3)的值域是________．

[思路点拨]　(1)结合对数函数及y＝2－ax的单调性，构造关于a的不等式组，解不等式组可得．

(2)先求真数的范围，再根据对数函数的单调性求解．

(1)B　(2)(－∞，－1]　[(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，

∴

即∴∴1＜a＜2.

(2)f(x)＝log(x2＋2x＋3)＝log[(x＋1)2＋2]，

因为(x＋1)2＋2≥2，

所以log[(x＋1)2＋2]≤log2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．]

1．已知对数型函数的单调性求参数的取值范围，要结合复合函数的单调性规律，注意函数的定义域求解；若是分段函数，则需注意两段函数最值的大小关系．

2．求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解．

1．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性，若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a>1和0<a<1两类分别求解．

2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．

1．思考辨析

(1)y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数．(　　)

(2)y＝logx2在(0，＋∞)上为增函数．(　　)

(3)ln x<1的解集为(－∞，e)．(　　)

(4)函数y＝log(x2＋1)的值域为[0，＋∞)．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则(　　)

A．a>c>b　　　　 B．b>c>a

C．c>b>a   D．c>a>b

D　[a＝log32<log33＝1；c＝log23>log22＝1，由对数函数的性质可知log52<log32，∴b<a<c，故选D.]

3．函数f(x)＝log2(1＋2x)的单调增区间是______．

　[易知函数f(x)的定义域为－，＋∞，又因为函数y＝log2x和y＝1＋2x都是增函数，所以f(x)的单调增区间是.]

4．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.

(1)求实数a的取值范围；

(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；

(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．

[解]　(1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．

(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，

∴

即解得<x<.

即不等式的解集为.

(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝＝5，解得a＝.