高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案

【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（人教A版）

1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;

2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题．

1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；

2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；

3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.

4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。

重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；

难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.

一、    预习导入

阅读课本215-218页，填写。

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝______________________________；

cos(α∓β)＝______________________________；

tan(α±β)＝______________________________.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝________________；

cos 2α＝________________＝________________＝________________；

tan 2α＝.

提醒：

1．必会结论

(1)降幂公式：cos2 α＝，sin2 α＝.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2 α，1－cos 2α＝2sin2 α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．

(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，

其中sin φ＝，cos φ＝ .

2．常见的配角技巧

2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．

1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)

(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)

(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)

(4)当α是第一象限角时，sin ＝ .(　　)

(5)半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　　)

(6)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)

2．sin 20°cos 10°－cos160°sin10°＝(　　)

A．－ B．

C．－ D．

3．若sin＝，则cos α＝(　　)

A．－ B．－

C． D．

4．设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为(　　)

A．－3 B．－1

C．1 D．3

题型一    给角求值

例1  利用和（差）角公式计算下列各式的值.

跟踪训练一

1.cos 50°=(　　)

A.cos 70°cos 20°-sin 70°sin 20°

B.cos 70°sin 20°-sin 70°cos 20°

C.cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°

D.cos 70°sin 20°+sin 70°cos 20°

2.coscos+cossin的值是(　　)

A.0       B. C. D.

3.　求值：(1)tan75°；(2).

题型二  给值求值

例2

例3

跟踪训练二

1.(1)已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cos β=,则sin(α+β)=　　　　　. 

(2)若sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=,且α∈,则tan =　　　　　. 

题型三  给值求角

例4已知tanα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，求α＋2β的值．

跟踪训练三

1.若tan α=,tan β=,且α∈,β∈,则α+β的大小等于(　　)

A. B. C. D.

题型四  二倍角公式应用

例5

跟踪训练四

1.　(1)已知α∈，sinα＝，则sin2α＝________，cos2α＝________，tan2α＝________；

(2)已知sin＝，0<x<，求cos2x的值．

1． －＝(　　)

A．4　 B．2

C．－2 D．－4

2．已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)

A．－ B．－

C． D．

3．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α－β)＝，则cos β＝(　　)

A． B．

C．或－ D．或

4.化简：＝________.

5．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

答案

小试牛刀

1．(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√　(6)×.

2．D.

3．C.

4. A.

自主探究

例1  【答案】（1）（2）0（3）.

跟踪训练一

1.【答案】C

【解析】　cos 50°=cos(70°-20°)=cos 70°cos 20°+sin 70°sin 20°.

2.【答案】C

【解析】coscos+cossin=coscos+sinsin=cos=cos.

3.【答案】（1）2＋；（2）1.

【解析】(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.

(2)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.

例2【答案】

跟踪训练二

1.【答案】（1）0；（2）

【解析】 (1)∵α为锐角,sin α=,∴cos α=.

∵β是第四象限角,cos β=,∴sin β=-.

∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==0.

(2)由已知得sin [(α-β)+β]=,即sin α=,又因为α∈,

所以cos α=-,于是tan α=-,

故tan.

例4【答案】.

【解析】　∵tanα＝<1且α为锐角，∴0<α<.

又∵sinβ＝<＝且β为锐角．

∴0<β<，∴0<α＋2β<.①

由sinβ＝，β为锐角，得cosβ＝，∴tanβ＝.

∴tan(α＋β)＝＝＝.

∴tan(α＋2β)＝＝＝1.②

由①②可得α＋2β＝.

跟踪训练三

1.【答案】.

【解析】由已知得tan(α+β)===1.

又因为α∈,β∈,

所以α+β∈(π,2π),于是α+β=.

例5【答案】见解析.

跟踪训练四

1.　【答案】（1）－，，－；（2）.

【解析】　(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－，

所以sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，

tan2α＝＝－，故填－，，－.

(2)因为x∈，所以－x∈，又因为sin＝，

所以cos＝，

所以cos2x＝sin＝2sincos＝2××＝.

当堂检测 

1-3.DAA

4. cos 2x

5．【答案】.

【解析】由cos β＝，β∈，得sin β＝，tan β＝2.

∴tan(α＋β)＝＝＝1.

∵α∈，β∈，∴＜α＋β＜，

∴α＋β＝.