数学人教A版 (2019)5.1 任意角和弧度制学案

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【新教材】5.1.2 弧度制（人教A版）1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．一、 预习导入阅读课本172-174页，填写。1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用_________作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的_________．(2)弧度制①定义：以_________作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于_________的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算          3.角度制与弧度制的转算      4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°________120°135°150°________360°弧度0____________________π____5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝________．(2)扇形面积公式：S＝________＝________．1．下列说法中错误的是(　　)A．1弧度的角是周角的B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制C．1弧度的角大于1度的角D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度2．(1)化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．3．半径为2，圆心角为的扇形的面积是________．4．－π是第________象限的角．题型一    角度制与弧度制的互化例1 　把下列弧度化成角度或角度化成弧度：(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′. 跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.题型二  用弧度制表示角的集合例2　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．①　　　　          　②题型三    扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为(　　)A.480 cm B.240 cm C2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.  1．下列说法中，错误的是（　　）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.的角是周角的，的角是周角的C.的角比的角要大D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关2．化为弧度是（    ）A． B． C． D．3．下列各角中，终边相同的角是     (    )A.和 B.和 C.和 D.和4．半径为，面积为的扇形中，弧所对的圆心角为（    ）A．2  B． C． D．10 5．与30角终边相同的角的集合是（     ）A．B．C．D．6．弧长为，圆心角为的扇形，其面积为____.7．如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.                                 答案小试牛刀1．A2．(1) 252°；(2) .3．4.三自主探究例1 　【答案】（1）－ rad；(2) 18°；(3) －240°；(4)  rad.【解析】(1)－450°＝－450× rad＝－ rad；(2) rad＝×°＝18°；(3)－ rad＝－×°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.跟踪训练一 1．【答案】（1） rad；（2）－ rad；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝ rad＝ rad.(2)－15°＝－ rad＝－ rad.(3) rad＝×180°＝105°.(4)－ rad＝－×180°＝－396°.例2　 【答案】（1）；  （2）；（3）.【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，  (1) (2).(3).跟踪训练二1．【答案】(1).(2). 【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以阴影部分内的角的集合为.(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝，M2＝.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2＝.例3【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．跟踪训练三1、【答案】C【解析】:80°=×80=,又r=6 cm,故弧长l=αr=×6=(cm).2、【答案】12π-9【解析】S扇形AOB=×62=12π,S△AOB=×6×6×sin 60°=9,故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9.当堂检测 1-5．DBCAD6.7．【答案】(1) {α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}；(2) {α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}；(3) {α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}；(4) {α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}.【解析】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}．(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为{α|－＋2kπ<α≤＋2kπ，k∈Z}．(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以满足条件的角的集合为{α|kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}．(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分．所以满足 条件的角的集合为{α|＋kπ<α<＋kπ，k∈Z}．