人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换教学设计，共8页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。

本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、半角等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。
课程目标
1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用;
2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题．
数学学科素养
1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式；
2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；
3.数学运算：运用公式解决基本三角函数式求值问题.
4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。.
重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系；
难点：求值过程中角的范围分析及角的变换.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
我们在初中时就知道 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由此我们能否得到 SKIPIF 1 < 0 大家可以猜想，是不是等于 SKIPIF 1 < 0 呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本215-218页，思考并完成以下问题
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？
2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β；
cs(α∓β)＝cs_αcs_β±sin_αsin_β；
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcs_α；
cs 2α＝cs2_α－sin2_α＝2cs2_α－1＝1－2sin2_α；
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
提醒：
1．必会结论
(1)降幂公式：cs2 α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2 α＝eq \f(1－cs 2α,2).
(2)升幂公式：1＋cs 2α＝2cs2 α，1－cs 2α＝2sin2 α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan α·tan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，
其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)) .
2．常见的配角技巧
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
四、典例分析、举一反三
题型一 给角求值
例1 利用和（差）角公式计算下列各式的值.
SKIPIF 1 < 0
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2）0（3） SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
解题技巧：（利用公式求值问题）
在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值.
跟踪训练一
1.cs 50°=( )
A.cs 70°cs 20°-sin 70°sin 20°
B.cs 70°sin 20°-sin 70°cs 20°
C.cs 70°cs 20°+sin 70°sin 20°
D.cs 70°sin 20°+sin 70°cs 20°
【答案】C
【解析】 cs 50°=cs(70°-20°)=cs 70°cs 20°+sin 70°sin 20°.
2.cscs+cssin的值是( )
A.0 B.C.D.
【答案】C
【解析】cscs+cssin=cscs+sinsin=cs=cs.
3. 求值：(1)tan75°；(2)eq \f(\r(3)－tan15°,1＋\r(3)tan15°).
【答案】（1）2＋eq \r(3)；（2）1.
【解析】(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq \f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq \f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq \r(3).
(2)原式＝eq \f(tan60°－tan15°,1＋tan60°tan15°)＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.
题型二 给值求值
例2 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
例3 SKIPIF 1 < 0
【答案】见解析.
SKIPIF 1 < 0
解题技巧：(给值求值的解题策略)
(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有:
①α=(α-β)+β;②α=;③2α=(α+β)+(α-β);
④2β=(α+β)-(α-β).
跟踪训练二
1.(1)已知α为锐角,sin α=,β是第四象限角,cs β=,则sin(α+β)= .
(2)若sin(α-β)cs β+cs(α-β)sin β=,且α∈,则tan = .
【答案】（1）0；（2）
【解析】 (1)∵α为锐角,sin α=,∴cs α=.
∵β是第四象限角,cs β=,∴sin β=-.
∴sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β==0.
(2)由已知得sin [(α-β)+β]=,即sin α=,又因为α∈,
所以cs α=-,于是tan α=-,
故tan.
题型三 给值求角
例4已知tanα＝eq \f(1,7)，sinβ＝eq \f(\r(10),10)，且α，β为锐角，求α＋2β的值．
【答案】eq \f(π,4).
【解析】 ∵tanα＝eq \f(1,7)<1且α为锐角，∴0<α又∵sinβ＝eq \f(\r(10),10)∴0<β由sinβ＝eq \f(\r(10),10)，β为锐角，得csβ＝eq \f(3\r(10),10)，∴tanβ＝eq \f(1,3).
∴tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq \f(\f(1,7)＋\f(1,3),1－\f(1,7)×\f(1,3))＝eq \f(1,2).
∴tan(α＋2β)＝eq \f(tanα＋β＋tanβ,1－tanα＋βtanβ)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.②
由①②可得α＋2β＝eq \f(π,4).
解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤)
(1)给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角．
(2)选取函数的原则．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好．

跟踪训练三
1.若tan α=,tan β=,且α∈,β∈,则α+β的大小等于( )
A.B.
C.D.
【答案】B .
【解析】由已知得tan(α+β)=
==1.
又因为α∈,β∈,
所以α+β∈(π,2π),于是α+β=.
题型四 二倍角公式应用
例5 SKIPIF 1 < 0
【答案】见解析.
SKIPIF 1 < 0
解题技巧：(二倍角公式应用)
应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
跟踪训练四
1. (1)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，则sin2α＝________，cs2α＝________，tan2α＝________；
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，0【答案】（1）－eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，－eq \f(4,3)；（2）eq \f(120,169).
【解析】 (1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，所以csα＝－eq \f(2\r(5),5)，
所以sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，
cs2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2＝eq \f(3,5)，
tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)＝－eq \f(4,3)，故填－eq \f(4,5)，eq \f(3,5)，－eq \f(4,3).
(2)因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，所以eq \f(π,4)－x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，又因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(5,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝eq \f(12,13)，
所以cs2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2x))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝2×eq \f(5,13)×eq \f(12,13)＝eq \f(120,169).
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
七、作业
课本228页习题5.5.
本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。