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2020-2021学年1.3 集合的基本运算教案
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这是一份2020-2021学年1.3 集合的基本运算教案，共15页。教案主要包含了内容和内容解析，目标和目标解析，教学问题诊断分析，教学过程设计，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
单元教学设计：1.3集合的基本运算
一、内容和内容解析
1.内容
集合的并集与交集的概念；集合的全集与补集的概念；集合运算的自然语言、符号语言和图形语言间的转换．
本单元内容可分2课时完成：第1课时，并集和交集；第2课时，补集及其综合应用．
2.内容解析
本节是新人教A版高中数学必修1第1章第3节的内容．在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础．本节内容主要介绍集合的基本运算——并集、交集、补集，是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用．
基于以上分析，确定本单元教学的重点：集合的并集、交集和补集的运算．
二、目标和目标解析
1.目标
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)会通过类比实数间的运算，发现和提出需要研究的问题，体会研究数学新对象的基本方法；能从实例中抽象概括出并集和交集运算关系，体会从具体到抽象的数学思维过程．
(2)理解全集是相对于具体情境的概念，能根据需要借助于图形语言求给定子集的补集．
(3)在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言的转换，熟悉符号语言和图形语言的表达方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验．
三、教学问题诊断分析
集合是学生进入高中接触的第一个数学概念，而集合的并集、交集和补集运算是数学表达和交流的工具，是数学语言的基本组成部分，学生适应集合语言和抽象符号是有一定难度的．因此，教学过程中应结合生活中的实例和学生熟悉的数学对象，深化学生对集合运算的理解．
此外，集合运算的综合应用包括集合中含有参数的问题，是学生学习的难点所在，应在解题方向和关键点上对学生多做指导．
结合以上分析确定本节课的教学难点：集合基本运算的符号表述及识别，综合运算问题．
四、教学过程设计
1.3.1 并集与交集
(一) 并集概念的引入
复习回顾：上节课我们学习了集合间的基本关系：
1. 如果集合A中 元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集．
符号表示为 ．
2. 空集： 元素的集合，叫做空集．符号表示为： ．
规定：空集是任何集合的 ．
3. 任何一个集合是它本身的 ，即A⊆A．
师生活动：带领学生一起复习并补全知识点．
设计意图：复习与本节课内容相关的知识，为本节课的学习做好铺垫．
我们知道，实数有加法运算．类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
问题1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
（2）A={}，B={}，C={}；
（3）A={-1，0，1}，B={0，1，2}，C={-1，0，1，2}．
师生活动：教师引导学生说出：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.学生的描述也许不够准确，可能会说是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，教师一定要提醒学生如果集合A与B有公共元素（例如第3个例子），这样说就不够准确了．
设计意图：从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，并通过举反例说明的方式让学生体会数学语言的严谨性和简洁性．
(二) 并集概念的形成
我们发现，集合C就相当于是对集合A与B作“加法”，用集合的语言来说叫做“并集”，我们来看并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B=，可用Venn图表示．
A
B
A∪B
来看定义中的关键语句，“所有属于集合A或属于集合B的元素”，所谓“所有”指的是两个集合中的元素一个都不能少，所谓“或”指的是元素可以属于集合A也可以属于集合B．
之前的三个引例中，集合C是集合A与B的并集．显然，A与B的并集也是集合，就像实数相加之和仍然是实数一样．
试一试：你能用Venn图表达集合A与B的并集吗？
师生活动：学生思考，教师引导．
A∪B
A
1，3，5
B
2，4，6
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
A∪B
A
有理数
B
无理数
（2）A={}，B={}，C={}；
（3）A={-1，0，1}，B={0，1，2}，C={-1，0，1，2}．
A∪B
A
-1
B
2
0，1
设计意图：用图形语言去表示引例中的运算关系，体会定义中“所有”和“或”的含义，体会数学语言的严谨、简洁．至少有一个，可兼得．
(三) 并集概念的理解
问题2：请你根据对并集概念的理解回答下面问题：
（1）A∪A=_______ ； （2）A∪=________；
（3）A ______ A∪B； （4）B ______ A∪B．
师生活动：学生回答，教师纠正.
（1）A∪A= A； （2）A∪= A； （3）AA∪B； （4）BA∪B．
设计意图：培养学生回归定义的数学思维习惯．
问题3：若AB，则A∪B与B有什么关系？
师生活动：学生思考，教师引导．
B
A
如果AB，借助Venn图容易发现，A∪B= B．
第二个问题我们借助Venn图就解决了.
现在我们多想一步，反过来，如果A∪B= B，则必然有AB．
因此A∪B=B就等价于AB．
设计意图：训练学生利用已有知识解决问题的能力，培养学生借助直观图形解决抽象问题的意识．
小结：至此我们遇到了如下几种集合的具体关系，分别画出Venn图：
B
A
B
A
B
A
A∪B A∪B A∪B= B
我们发现，如果用一个Venn图来概括如上三种情况，那就应该是图2，图1和图3可以看成是图2的特殊情况．
设计意图：加深对并集的图形语言合理性的认识，培养观察和分析问题的能力．
(四) 并集概念的应用
例1：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．
师生活动：学生分析解答思路，教师给出解答示范．
解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．
追问：能否用Venn图表示结果？
师生活动：学生画图，教师给出解答示范．
A B
4,6 3,7
5,8
设计意图：让学生明确利用定义求并集的思路是把集合A与B中的所有元素集合在一起，公共元素在并集里只出现一次．通过画Venn图让学生再次认识到A∪B由只属于集合A的元素、只属于集合B的元素和既属于集合A又属于集合B的元素三部分组成，．
例2：设集合A={}，集合B={}，求A∪B．
师生活动：可以引导学生借助数轴直观表示求并集的过程，并给出解答示范．
借助数轴表示：
可得：A∪B={}∪{}={}．
追问：什么类型的集合可以用数轴做运算？
师生活动：学生回答，教师纠正．由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴．
设计意图：使学生意识到数轴是进行集合运算的重要工具．
(五) 交集概念的形成
问题4：观察下面的集合，集合A，B与集合C之间有什么关系？
（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
（2）A={}，
B={}，
C={}；
（3）A={}，
B={}，
C={}．
师生活动：学生描述，教师纠正．集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成，用集合的语言来说叫做“交集”．
追问：能否参照并集的定义（一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集）给出交集的定义？“既…又…”应该如何用数学语言来表达呢？
师生活动：学生回答，教师纠正．
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即
A∩B=，
可用Venn图表示．
设计意图：在并集学习的基础之上，从具体实例中抽象出交集的运算关系，再类比并集的定义得出交集定义．尽量搭建平台让学生经历观察、分析、抽象、类比的数学思维过程．
也就是说，之前的三个引例中，集合C是集合A与B的交集．
(六) 交集概念的理解
问题5：请你根据对交集概念的理解回答下面问题：
（1）A∩A=_______ ； （2）A∩=________；
（3）A∩B ______ A； （4）A∩B ______ B．
师生活动：学生回答，教师纠正.
（1）A∩A= A； （2）A∩=； （3）A∩B A； （4）A∩BB．
设计意图：培养学生回归定义的数学思维习惯．
问题6：若AB，则A∩B与A有什么关系？
B
A
师生活动：学生思考，教师引导．
如果AB，借助Venn图容易发现A∩B= A．
第二个问题我们借助Venn图就解决了.
现在我们多想一步，反过来，如果A∩B= A，则必然有AB；
因此A∩B= A等价于AB．
设计意图：训练学生利用已有知识解决问题的能力．培养学生回归定义的数学思维习惯和借助直观图形解决抽象问题的意识．
(七) 交集概念的应用
例3：立德中学开运动会，设
A={}，
B={}，
求A∩B．
师生活动：学生回答，教师纠正．
解：因为A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以，
A∩B={}．
设计意图：训练学生使用集合语言描述生活实例，加深学生对集合的关系和运算的理解．
例4：设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系．
师生活动：学生分析解答思路，教师给出解答示范．
解：平面内直线可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．
（1）直线，相交于一点P可表示为
∩={}；
（2）直线，平行可表示为
∩=；
（3）直线，重合可表示为
∩==．
设计意图：训练学生使用集合语言描述几何对象及其之间的关系，加深学生对集合的关系和运算的理解．
拓广探索：已知A={1，3，}，B={1，}，是否存在实数，使得A∪B=A？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
解：由A∪B=A可知，分析可知有以下两种情况：
（1）若，则，此时A中只有两个元素，不合题意，舍去．
（2）若，则或，
当时，A中只有两个元素，不合题意，舍去．
当时，A={1，3，4}，B={1，4}，符合题意，
综上，存在满足题意的实数，且．
设计意图：让学生体会集合元素的互异性是用来检验结果的重要依据．
(八)反馈练习
1．已知集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B有______个．
答案：4．
设计意图：考查学生对并集概念的理解．
2．已知A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是_____________．
答案：{2，4}．
设计意图：考查学生对Venn图表达集合关系的掌握情况．
3．已知集合A={1，3，}，B={1，}，A∩B= B，则=__________．
答案：0或3．
设计意图：考查学生对含参数的集合间关系问题的掌握情况．
(九) 小结与作业
小结：
（1）并集、交集：
A∪B={}；
A∩B={}；
（2）利用Venn图和数轴求并集、交集．
（3）常见结论：
A∪A=A； A∪=A； AA∪B； BA∪B；
A∩A=A； A∩=； A∩B A； A∩BB；
A∪B=B等价于AB； A∩B=A等价于AB．
作业：
教材12页—练习；14页—习题1.3 复习巩固．
1.3.2补集及其综合应用
(一) 概念的引入
引言：我们已经学习了并集和交集，今天我们来学习集合的第三种基本运算——补集．
在前面的课程中，我们学习了数学中一些常用数集的记法：
数学中一些常用数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
在学习过程中我们发现，数的范围是在不断扩充的，在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果.比如，这个方程在自然数范围内的解只有2，但是在整数的范围内就有2和-2两个解．
问题1：分别写出方程在自然数、有理数、实数范围内的解集．
师生活动：学生求解，教师给出解答示范．
在自然数范围内无解，即
；
在有理数范围内有一个解，即
；
在实数范围内有三个解：，，-，即
．
设计意图：让学生体验“在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果”这一事实，并通过教师的示范体会集合作为数学的语言和工具的重要性．
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．比如上例中研究对象的范围分别是自然数、有理数、实数．在数学上，我们把这样的范围称作“全集”．
(二) 概念的形成
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A.
问题2：请你用符号语言和图形语言分别表示补集的含义．
师生活动：学生回答，教师纠正．
∁U A
A
符号语言：∁U A=；
图形语言：
设计意图：让学生积累用符号语言和图形语言描述数学对象的经验，再次体会数学语言的简洁性和图形语言的直观性．
既然全集含有所研究问题中涉及的所有元素，那么显然集合A是全集U的子集．来看定义中的关键语句，“全集U中不属于集合A的所有元素”，所谓“所有”指的是符合条件的元素一个都不能少．
我们举一个补集的例子．如果把实数集R看作全集，则有理数集Q的补集：
∁R Q=．
设计意图：训练学生运用集合语言描述数学对象，体会补集的现实意义．
(三) 概念的理解
问题3：请你根据对补集概念的理解回答下面问题：
（1）A∪(∁U A)=? （2）A∩(∁U A)=? （3）∁U U=? （4）∁U=?
师生活动：学生回答，教师纠正．
（1）A∪(∁U A)=U； （2）A∩(∁U A)=； （3）∁U U=； （4）∁U=U．
问题4：图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
A
B
U
A
B
U
（1）(∁U A)∩(∁U B)； （2）(∁U A)∪(∁U B)．
师生活动：学生动手画图，教师纠正．
A
U
B
A
U
B
（1）(∁U A)∩(∁U B)； （2）(∁U A)∪(∁U B)．
追问：还能如何表示图中阴影部分？
师生活动：学生通过Venn图不难发现：
（1）中阴影部分还能表示为∁U (A∪B)，（2）中阴影部分还能表示为∁U (A∩B)，即
(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)；
(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)．
设计意图：让学生体会图形直观在解决抽象数学问题时的重要价值，提升直观想象的核心素养．
(四) 概念的应用
例5：设全集U=，A=，B=，
求A∩B，∁U (A∪B)．
师生活动：学生回答，教师纠正．
解：根据三角形的分类可知
A∩B=，
A∪B=，
∁U (A∪B)=．
设计意图：引导学生用集合语言描述学生熟悉的数学对象之间的关系，有助于深化学生对集合运算的理解．
综合应用1：设U=，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁U A， (∁U A)∩(∁U B)．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
解：根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以∁U A={4，5，6，7，8}，
又因为∁U B={1，2，7，8}，
所以(∁U A)∩(∁U B)={4，5，6，7，8}∩{1，2，7，8}={7，8}．
另外，如果借助于Venn图我们理解了这个结论，
(∁U A)∩(∁U B)=∁U (A∪B)，`
我们还可以先化简再计算．
设计意图：使学生明确集合综合运算的解题思路是按照小括号优先的原则逐步计算．对于元素可以逐个列举的集合，可以直接观察或借助于Venn图写出结果．
综合应用2：已知A={}，B={}，求(∁R A)∩B．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
解：因为A={}，
0 1 2
所以∁R A={}，
借助数轴：
分析可知(∁R A)∩B={}．
设计意图：使学生明确，对于元素是连续实数的集合，可以借助数轴分析，并逐步计算，注意端点的取舍．
综合应用3：已知A={}，B={}，若A∩B=，求实数的取值范围．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
1 5
解：
借助数轴：
分析可知：
解得，
所以，的取值范围是．
设计意图：明确元素连续的集合间的关系问题如果含参数，仍然需借助数轴解决．需要注意两点：（1）大括号等同于“且”、“同时成立”，所以两不等式解集需取交集；（2）注意边界是否能取“＝”
变式：已知A={}，B={}，若A∪B=，求实数的取值范围．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
1 5
解：
借助数轴：
分析可知：
解得，
所以，的取值范围是．
设计意图：明确含参数的集合间的关系问题需根据不同的题设条件，借助数轴分析解决，端点处需特殊考虑．
(五) 反馈练习
1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=_____________；
答案：{3，4，5}；
设计意图：考查补集的求法．
2. 已知A={}，B={}，则∁R (A∩B)=__________；
答案：{}；
设计意图：考查集合运算的综合应用掌握情况．
A
U
B
3.正确表示图中阴影部分的是（ ）．
（A）∁U A∪B （B）(∁U A)∪(∁U B)
（C）∁U( A∪B) （D）∁U(A∩B)
答案：C．
设计意图：考查集合运算符号与Venn图的识别．
(六) 小结与作业
本课小结：
（1）全集、补集：
∁U A={}；
（2）常见结论：
A∪(∁U A)=U； A∩(∁U A)=；
∁U U=； ∁U=U．
（3）集合运算的综合应用：
①不含参数的问题：
根据集合的类型，借助于Venn图或数轴逐步计算；
②含参数的问题：
根据集合的类型，借助于Venn图或数轴分析解决，注意端点处需特殊考虑．
本节总结：
另外，每学完一章或一节，我们可以对所学知识进行总结．这是我以结构图的形式对集合运算知识方面的总结，大家还可以对方法和典型习题进行总结．也可以根据自己的情况，去探索适合自己的学习和总结方法．
∁U A=．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．
A∩B=．
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集．
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
A∪B=．
集合的基本运算
并集
交集
补集
定义
Venn图
记作
定义
Venn图
记作
定义
Venn图
记作
作业：教材P14—习题1.3 综合运用、拓广探索．
五、目标检测设计
1、集合A={0，2}，B={1，}，若A∪B={0，1，2，4}，求实数的值．
设计意图：考查学生对并集概念的理解．
2、已知集合A={}，B={}，求A∩B．
设计意图：考查学生对数轴法求交集问题的掌握情况．
3、设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，
求A∩(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)．
设计意图：考查综合应用问题的掌握情况．
4、设集合A={}，B={}，若A∪B=B，求的取值范围．
设计意图：考查含参数的集合间关系问题的掌握情况．
单元教学设计：1.3集合的基本运算
一、内容和内容解析
1.内容
集合的并集与交集的概念；集合的全集与补集的概念；集合运算的自然语言、符号语言和图形语言间的转换．
本单元内容可分2课时完成：第1课时，并集和交集；第2课时，补集及其综合应用．
2.内容解析
本节是新人教A版高中数学必修1第1章第3节的内容．在此之前，学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系，这为学习本节内容打下了基础．本节内容主要介绍集合的基本运算——并集、交集、补集，是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用．
基于以上分析，确定本单元教学的重点：集合的并集、交集和补集的运算．
二、目标和目标解析
1.目标
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．
(3)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
(1)会通过类比实数间的运算，发现和提出需要研究的问题，体会研究数学新对象的基本方法；能从实例中抽象概括出并集和交集运算关系，体会从具体到抽象的数学思维过程．
(2)理解全集是相对于具体情境的概念，能根据需要借助于图形语言求给定子集的补集．
(3)在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言的转换，熟悉符号语言和图形语言的表达方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学抽象经验．
三、教学问题诊断分析
集合是学生进入高中接触的第一个数学概念，而集合的并集、交集和补集运算是数学表达和交流的工具，是数学语言的基本组成部分，学生适应集合语言和抽象符号是有一定难度的．因此，教学过程中应结合生活中的实例和学生熟悉的数学对象，深化学生对集合运算的理解．
此外，集合运算的综合应用包括集合中含有参数的问题，是学生学习的难点所在，应在解题方向和关键点上对学生多做指导．
结合以上分析确定本节课的教学难点：集合基本运算的符号表述及识别，综合运算问题．
四、教学过程设计
1.3.1 并集与交集
(一) 并集概念的引入
复习回顾：上节课我们学习了集合间的基本关系：
1. 如果集合A中 元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集．
符号表示为 ．
2. 空集： 元素的集合，叫做空集．符号表示为： ．
规定：空集是任何集合的 ．
3. 任何一个集合是它本身的 ，即A⊆A．
师生活动：带领学生一起复习并补全知识点．
设计意图：复习与本节课内容相关的知识，为本节课的学习做好铺垫．
我们知道，实数有加法运算．类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
问题1：观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
（2）A={}，B={}，C={}；
（3）A={-1，0，1}，B={0，1，2}，C={-1，0，1，2}．
师生活动：教师引导学生说出：集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.学生的描述也许不够准确，可能会说是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，教师一定要提醒学生如果集合A与B有公共元素（例如第3个例子），这样说就不够准确了．
设计意图：从多个具体的实例中抽象概括出共同特征，形成较为抽象的数学语言，并通过举反例说明的方式让学生体会数学语言的严谨性和简洁性．
(二) 并集概念的形成
我们发现，集合C就相当于是对集合A与B作“加法”，用集合的语言来说叫做“并集”，我们来看并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B=，可用Venn图表示．
A
B
A∪B
来看定义中的关键语句，“所有属于集合A或属于集合B的元素”，所谓“所有”指的是两个集合中的元素一个都不能少，所谓“或”指的是元素可以属于集合A也可以属于集合B．
之前的三个引例中，集合C是集合A与B的并集．显然，A与B的并集也是集合，就像实数相加之和仍然是实数一样．
试一试：你能用Venn图表达集合A与B的并集吗？
师生活动：学生思考，教师引导．
A∪B
A
1，3，5
B
2，4，6
（1）A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2，3，4，5，6}；
A∪B
A
有理数
B
无理数
（2）A={}，B={}，C={}；
（3）A={-1，0，1}，B={0，1，2}，C={-1，0，1，2}．
A∪B
A
-1
B
2
0，1
设计意图：用图形语言去表示引例中的运算关系，体会定义中“所有”和“或”的含义，体会数学语言的严谨、简洁．至少有一个，可兼得．
(三) 并集概念的理解
问题2：请你根据对并集概念的理解回答下面问题：
（1）A∪A=_______ ； （2）A∪=________；
（3）A ______ A∪B； （4）B ______ A∪B．
师生活动：学生回答，教师纠正.
（1）A∪A= A； （2）A∪= A； （3）AA∪B； （4）BA∪B．
设计意图：培养学生回归定义的数学思维习惯．
问题3：若AB，则A∪B与B有什么关系？
师生活动：学生思考，教师引导．
B
A
如果AB，借助Venn图容易发现，A∪B= B．
第二个问题我们借助Venn图就解决了.
现在我们多想一步，反过来，如果A∪B= B，则必然有AB．
因此A∪B=B就等价于AB．
设计意图：训练学生利用已有知识解决问题的能力，培养学生借助直观图形解决抽象问题的意识．
小结：至此我们遇到了如下几种集合的具体关系，分别画出Venn图：
B
A
B
A
B
A
A∪B A∪B A∪B= B
我们发现，如果用一个Venn图来概括如上三种情况，那就应该是图2，图1和图3可以看成是图2的特殊情况．
设计意图：加深对并集的图形语言合理性的认识，培养观察和分析问题的能力．
(四) 并集概念的应用
例1：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．
师生活动：学生分析解答思路，教师给出解答示范．
解：A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．
追问：能否用Venn图表示结果？
师生活动：学生画图，教师给出解答示范．
A B
4,6 3,7
5,8
设计意图：让学生明确利用定义求并集的思路是把集合A与B中的所有元素集合在一起，公共元素在并集里只出现一次．通过画Venn图让学生再次认识到A∪B由只属于集合A的元素、只属于集合B的元素和既属于集合A又属于集合B的元素三部分组成，．
例2：设集合A={}，集合B={}，求A∪B．
师生活动：可以引导学生借助数轴直观表示求并集的过程，并给出解答示范．
借助数轴表示：
可得：A∪B={}∪{}={}．
追问：什么类型的集合可以用数轴做运算？
师生活动：学生回答，教师纠正．由不等式给出的集合，研究包含关系或进行运算，常用数轴．
设计意图：使学生意识到数轴是进行集合运算的重要工具．
(五) 交集概念的形成
问题4：观察下面的集合，集合A，B与集合C之间有什么关系？
（1）A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，C={8}；
（2）A={}，
B={}，
C={}；
（3）A={}，
B={}，
C={}．
师生活动：学生描述，教师纠正．集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成，用集合的语言来说叫做“交集”．
追问：能否参照并集的定义（一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集）给出交集的定义？“既…又…”应该如何用数学语言来表达呢？
师生活动：学生回答，教师纠正．
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B（读作“A交B”），即
A∩B=，
可用Venn图表示．
设计意图：在并集学习的基础之上，从具体实例中抽象出交集的运算关系，再类比并集的定义得出交集定义．尽量搭建平台让学生经历观察、分析、抽象、类比的数学思维过程．
也就是说，之前的三个引例中，集合C是集合A与B的交集．
(六) 交集概念的理解
问题5：请你根据对交集概念的理解回答下面问题：
（1）A∩A=_______ ； （2）A∩=________；
（3）A∩B ______ A； （4）A∩B ______ B．
师生活动：学生回答，教师纠正.
（1）A∩A= A； （2）A∩=； （3）A∩B A； （4）A∩BB．
设计意图：培养学生回归定义的数学思维习惯．
问题6：若AB，则A∩B与A有什么关系？
B
A
师生活动：学生思考，教师引导．
如果AB，借助Venn图容易发现A∩B= A．
第二个问题我们借助Venn图就解决了.
现在我们多想一步，反过来，如果A∩B= A，则必然有AB；
因此A∩B= A等价于AB．
设计意图：训练学生利用已有知识解决问题的能力．培养学生回归定义的数学思维习惯和借助直观图形解决抽象问题的意识．
(七) 交集概念的应用
例3：立德中学开运动会，设
A={}，
B={}，
求A∩B．
师生活动：学生回答，教师纠正．
解：因为A∩B就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合．所以，
A∩B={}．
设计意图：训练学生使用集合语言描述生活实例，加深学生对集合的关系和运算的理解．
例4：设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系．
师生活动：学生分析解答思路，教师给出解答示范．
解：平面内直线可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．
（1）直线，相交于一点P可表示为
∩={}；
（2）直线，平行可表示为
∩=；
（3）直线，重合可表示为
∩==．
设计意图：训练学生使用集合语言描述几何对象及其之间的关系，加深学生对集合的关系和运算的理解．
拓广探索：已知A={1，3，}，B={1，}，是否存在实数，使得A∪B=A？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
解：由A∪B=A可知，分析可知有以下两种情况：
（1）若，则，此时A中只有两个元素，不合题意，舍去．
（2）若，则或，
当时，A中只有两个元素，不合题意，舍去．
当时，A={1，3，4}，B={1，4}，符合题意，
综上，存在满足题意的实数，且．
设计意图：让学生体会集合元素的互异性是用来检验结果的重要依据．
(八)反馈练习
1．已知集合A={1，2}，则满足A∪B={1，2，3}的集合B有______个．
答案：4．
设计意图：考查学生对并集概念的理解．
2．已知A={1，3，5，7，9}，B={1，2，3，4，5}，则图中阴影部分表示的集合是_____________．
答案：{2，4}．
设计意图：考查学生对Venn图表达集合关系的掌握情况．
3．已知集合A={1，3，}，B={1，}，A∩B= B，则=__________．
答案：0或3．
设计意图：考查学生对含参数的集合间关系问题的掌握情况．
(九) 小结与作业
小结：
（1）并集、交集：
A∪B={}；
A∩B={}；
（2）利用Venn图和数轴求并集、交集．
（3）常见结论：
A∪A=A； A∪=A； AA∪B； BA∪B；
A∩A=A； A∩=； A∩B A； A∩BB；
A∪B=B等价于AB； A∩B=A等价于AB．
作业：
教材12页—练习；14页—习题1.3 复习巩固．
1.3.2补集及其综合应用
(一) 概念的引入
引言：我们已经学习了并集和交集，今天我们来学习集合的第三种基本运算——补集．
在前面的课程中，我们学习了数学中一些常用数集的记法：
数学中一些常用数集及其记法
全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；
全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合称为实数集，记作R．
在学习过程中我们发现，数的范围是在不断扩充的，在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果.比如，这个方程在自然数范围内的解只有2，但是在整数的范围内就有2和-2两个解．
问题1：分别写出方程在自然数、有理数、实数范围内的解集．
师生活动：学生求解，教师给出解答示范．
在自然数范围内无解，即
；
在有理数范围内有一个解，即
；
在实数范围内有三个解：，，-，即
．
设计意图：让学生体验“在不同的范围研究同一个问题，可能有不同的结果”这一事实，并通过教师的示范体会集合作为数学的语言和工具的重要性．
在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．比如上例中研究对象的范围分别是自然数、有理数、实数．在数学上，我们把这样的范围称作“全集”．
(二) 概念的形成
一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A.
问题2：请你用符号语言和图形语言分别表示补集的含义．
师生活动：学生回答，教师纠正．
∁U A
A
符号语言：∁U A=；
图形语言：
设计意图：让学生积累用符号语言和图形语言描述数学对象的经验，再次体会数学语言的简洁性和图形语言的直观性．
既然全集含有所研究问题中涉及的所有元素，那么显然集合A是全集U的子集．来看定义中的关键语句，“全集U中不属于集合A的所有元素”，所谓“所有”指的是符合条件的元素一个都不能少．
我们举一个补集的例子．如果把实数集R看作全集，则有理数集Q的补集：
∁R Q=．
设计意图：训练学生运用集合语言描述数学对象，体会补集的现实意义．
(三) 概念的理解
问题3：请你根据对补集概念的理解回答下面问题：
（1）A∪(∁U A)=? （2）A∩(∁U A)=? （3）∁U U=? （4）∁U=?
师生活动：学生回答，教师纠正．
（1）A∪(∁U A)=U； （2）A∩(∁U A)=； （3）∁U U=； （4）∁U=U．
问题4：图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
A
B
U
A
B
U
（1）(∁U A)∩(∁U B)； （2）(∁U A)∪(∁U B)．
师生活动：学生动手画图，教师纠正．
A
U
B
A
U
B
（1）(∁U A)∩(∁U B)； （2）(∁U A)∪(∁U B)．
追问：还能如何表示图中阴影部分？
师生活动：学生通过Venn图不难发现：
（1）中阴影部分还能表示为∁U (A∪B)，（2）中阴影部分还能表示为∁U (A∩B)，即
(∁U A)∩(∁U B)=∁U(A∪B)；
(∁U A)∪(∁U B)=∁U(A∩B)．
设计意图：让学生体会图形直观在解决抽象数学问题时的重要价值，提升直观想象的核心素养．
(四) 概念的应用
例5：设全集U=，A=，B=，
求A∩B，∁U (A∪B)．
师生活动：学生回答，教师纠正．
解：根据三角形的分类可知
A∩B=，
A∪B=，
∁U (A∪B)=．
设计意图：引导学生用集合语言描述学生熟悉的数学对象之间的关系，有助于深化学生对集合运算的理解．
综合应用1：设U=，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求∁U A， (∁U A)∩(∁U B)．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
解：根据题意可知，U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
所以∁U A={4，5，6，7，8}，
又因为∁U B={1，2，7，8}，
所以(∁U A)∩(∁U B)={4，5，6，7，8}∩{1，2，7，8}={7，8}．
另外，如果借助于Venn图我们理解了这个结论，
(∁U A)∩(∁U B)=∁U (A∪B)，`
我们还可以先化简再计算．
设计意图：使学生明确集合综合运算的解题思路是按照小括号优先的原则逐步计算．对于元素可以逐个列举的集合，可以直接观察或借助于Venn图写出结果．
综合应用2：已知A={}，B={}，求(∁R A)∩B．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
解：因为A={}，
0 1 2
所以∁R A={}，
借助数轴：
分析可知(∁R A)∩B={}．
设计意图：使学生明确，对于元素是连续实数的集合，可以借助数轴分析，并逐步计算，注意端点的取舍．
综合应用3：已知A={}，B={}，若A∩B=，求实数的取值范围．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
1 5
解：
借助数轴：
分析可知：
解得，
所以，的取值范围是．
设计意图：明确元素连续的集合间的关系问题如果含参数，仍然需借助数轴解决．需要注意两点：（1）大括号等同于“且”、“同时成立”，所以两不等式解集需取交集；（2）注意边界是否能取“＝”
变式：已知A={}，B={}，若A∪B=，求实数的取值范围．
师生活动：学生解答，教师给出解题示范．
1 5
解：
借助数轴：
分析可知：
解得，
所以，的取值范围是．
设计意图：明确含参数的集合间的关系问题需根据不同的题设条件，借助数轴分析解决，端点处需特殊考虑．
(五) 反馈练习
1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=_____________；
答案：{3，4，5}；
设计意图：考查补集的求法．
2. 已知A={}，B={}，则∁R (A∩B)=__________；
答案：{}；
设计意图：考查集合运算的综合应用掌握情况．
A
U
B
3.正确表示图中阴影部分的是（ ）．
（A）∁U A∪B （B）(∁U A)∪(∁U B)
（C）∁U( A∪B) （D）∁U(A∩B)
答案：C．
设计意图：考查集合运算符号与Venn图的识别．
(六) 小结与作业
本课小结：
（1）全集、补集：
∁U A={}；
（2）常见结论：
A∪(∁U A)=U； A∩(∁U A)=；
∁U U=； ∁U=U．
（3）集合运算的综合应用：
①不含参数的问题：
根据集合的类型，借助于Venn图或数轴逐步计算；
②含参数的问题：
根据集合的类型，借助于Venn图或数轴分析解决，注意端点处需特殊考虑．
本节总结：
另外，每学完一章或一节，我们可以对所学知识进行总结．这是我以结构图的形式对集合运算知识方面的总结，大家还可以对方法和典型习题进行总结．也可以根据自己的情况，去探索适合自己的学习和总结方法．
∁U A=．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集．
A∩B=．
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集．
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．
A∪B=．
集合的基本运算
并集
交集
补集
定义
Venn图
记作
定义
Venn图
记作
定义
Venn图
记作
作业：教材P14—习题1.3 综合运用、拓广探索．
五、目标检测设计
1、集合A={0，2}，B={1，}，若A∪B={0，1，2，4}，求实数的值．
设计意图：考查学生对并集概念的理解．
2、已知集合A={}，B={}，求A∩B．
设计意图：考查学生对数轴法求交集问题的掌握情况．
3、设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}，
求A∩(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)．
设计意图：考查综合应用问题的掌握情况．
4、设集合A={}，B={}，若A∪B=B，求的取值范围．
设计意图：考查含参数的集合间关系问题的掌握情况．
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