2021年高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第3单元《函数概念与性质》(基础篇）（原卷版）

第3单元 函数概念与性质（基础篇）

基础知识讲解

1．分段函数的解析式求法及其图象的作法

【基础知识】

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．

【技巧方法】

求解函数解析式的几种常用方法

1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；

2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；

3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；

另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．

2．函数单调性的性质与判断

【基础知识】

     一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，

 当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．

    若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

【技巧方法】

   证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．

   利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．

第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．

第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．

第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．

第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．

第六步：明确规范地表述结论

3．复合函数的单调性

【基础知识】

     复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．

【技巧方法】

    求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：

（1）确定定义域；

（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；

（3）分别确定两基本初等函数的单调性；

（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．

4．奇函数、偶函数

【奇函数】

     如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝

﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．

【技巧方法】

①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；

②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x

那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x     

【偶函数】

      如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有

f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．

【技巧方法】

①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？

②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．

5．函数奇偶性的性质与判断

【基础知识】

①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．

【技巧方法】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．

6.函数解析式的求解及常用方法

【基础知识】

通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．

【技巧方法】

求解函数解析式的几种常用方法主要有

1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．

7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【基础知识】

1.幂函数定义：

一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．

（1）指数是常数；

（2）底数是自变量；

（3）函数式前的系数都是1；

（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．

8.幂函数的性质

【基础知识】

所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．

（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）（0，0）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；

c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；

d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．

（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、图象都通过点（1，1）；

b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；

c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．

（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：

a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．

9.五个常用幂函数的图象和性质

（1）y＝x；  （2）y＝x2；  （3）y＝x3；   （4）y＝；   （5）y＝x﹣1

10.幂函数的奇偶性

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．

（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．

（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．

（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．

11．函数最值的应用

【基础知识】

    函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．

【技巧方法】

    这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．

12．根据实际问题选择函数类型

【基础知识】

1．实际问题的函数刻画

在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．

【技巧方法】

常用到的五种函数模型：

①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．

②反比例函数模型：y＝（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．

③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．

④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．

⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．

在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．

习题演练

一．选择题（共12小题）

1．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

2．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．若函数为奇函数，则实数的值为（　　）

A． B． C． D．

4．已知，则的值为（    ）

A．15 B．7

C．31 D．17

5．设函数,则（    ）

A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减

C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减

6．若函数，是定义在上的减函数，则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．幂函数在上为增函数，则实数的值为（    ）

A．0 B．1 C．1或2 D．2

8．已知函数，则

A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数

C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数

9．下列函数中，满足“对任意，，当时，都有”的是（    ）

A． B． C． D．

10．已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．一元二次方程的两根均大于2，则实数m的取值范围是（    ）

A．  B．

C． D．

12．设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则t的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二．填空题（共6小题）

13．设函数，则________.

14．已知正实数，满足，则的最小值为__________

15．函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则__________．

16．设偶函数满足，则满足的实数的取值范围为________．

17．已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____

18．函数零点的个数为_____________.

三．解析题（共6小题）

19．已知函数，试解答下列问题：

（1）求的值； 

（2）求方程=的解．

20．（1）已知是一次函数，且，求的解析式；

（2）已知函数，求的解析式．

21．函数对任意的都有,并且时，恒有.

(1).求证：在R上是增函数；

(2).若解不等式

22．已知定义在上的奇函数，当时，.

（1）当时，解方程；

（2）求在区间上的解析式.

23．已知幂函数的图像过点.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数在是单调函数，求实数的取值范围.

24．暑假期间，某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营，推出如下收费标准：若夏令营人数不超过30，则每位同学需交费用600元；若夏令营人数超过30，则营员每多1人，每人交费额减少10元（即：营员31人时，每人交费590元，营员32人时，每人交费580元，以此类推），直到达到满额70人为止.

（1）写出夏令营每位同学需交费用（单位：元）与夏令营人数之间的函数关系式；

（2）当夏令营人数为多少时，旅行社可以获得最大收入？最大收入是多少？