2021年高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第2单元《一元二次函数、方程与不等式》(强化篇）（原卷版）

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第2单元 一元二次函数、方程与不等式（强化篇） 基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】  基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．技巧六：整体代换 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件． 总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．五．二次函数的性质【基础知识】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝；最值为：f（）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．②根与系数的关系．若△≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝，x1•x2＝；③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】    含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】  （1） 当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）  （2） 当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．  （3） 当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；  ②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．七．一元二次方程根与系数的关系【基础知识】    一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝． 习题演练一．选择题（共12小题）1．关于x的不等式的解集为，且：，则a=（　　）A． B． C． D．2．已知a，b为非零实数，且，则下列命题成立的是（    ）A． B． C． D．3．若，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．4．两个正实数，满足，，成等差数列，则不等式恒成立时实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．设，，，则的最小值为（   ）A． B． C． D．6．已知，则的最小值为（    ）.A．9 B． C．5 D．7．若，，，则的最大值为（    ）A． B． C． D．8．已知正实数满足，则的最小值为（    ）A．10 B．11 C．13 D．219．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（   ）A． B．C． D．10．已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<611．若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（　　）A． B． C．1 D．412．若、、均大于0，且，则的最大值为（    ）A． B． C． D．二．填空题（共6小题）13．已知正数满足：，则的最小值是_____________．14对于实数x，y，若，，则的最大值为           .15．设，，是三个正实数，且，则的最大值为______.16．已知正实数，满足，则的最小值是______.17．设,则的最大值为 ________．18．已知实数x，y满足，，且，则的最小值为________．三．解析题（共6小题）19．已知，不等式的解集是．（1）求的值；（2）若存在实数解，求实数的取值范围．20．已知，且．（1）求证：；（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．22．设函数,（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若，求的最小值．（3）若 求不等式的解集.23．已知函数．(1)若，解不等式；(2)若对于，函数值恒成立，求实数的取值范围.24．已知函数．(1)求函数在区间上的最大值；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.