2020-2021学年河南省南阳市高一（上）12月联考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（上）12月联考数学试卷北师大版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列是旋转体的是（ ）
A.正方体B.平行六面体C.正棱台D.球

2. 函数fx=1x−1+lg2x+1的定义域是( )
A.−1,1∪1,+∞B.−1,+∞C.−1,1D.1,+∞

3. 现有水平放置的按“斜二测画法”得到的直观图，其为边长是1的正△ABC，则原△ABC的面积为（ ）
A.616B.68C.64D.62

4. 在正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点（如图），则异面直线EF与BD所成角的大小为（ ）

A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

5. 已知a=lg232，b=212，c=lg223，则a，b，c的大小关系是( )
A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

6. 设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列条件中能推出m⊥n的是（ ）
A.m⊥α,n//β,α⊥βB.m⊥α,n⊥β,α//βC.m⊂α,n⊥β,α//βD.m⊂α,n//β,α⊥β

7. 已知fx=x+1+1,x>−1,ex+x,x≤−1,则不等式fx+1x−1>f1的解集是（ ）
A.0,+∞B.1,+∞C.0,1D.0,1∪1,+∞

8. 已知圆锥的底面周长为2π，母线长为3，则该圆锥的内切球的体积为( )
A.2π3B.3π3C.4π3D.2π

9. 如图，在四棱锥S−ABCD中，SB⊥底面ABCD．底面ABCD为梯形，AB⊥AD，AB//CD，AB=1，AD=3，CD=2．若点E是线段AD上的动点，则满足∠SEC=90∘的点E的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

10. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.22B.32C.4D.5

11. 已知函数f(x)=|lg2x|,x∈(0,2]，3−x,x∈(2,+∞)，若方程fx=k有三个实数根x1,x2,x3，则x1x2x3的取值范围是( )
A.2,3B.1,2C.0,2D.0,1

12. 若正三棱锥A−BCD的侧棱长为8，底面边长为4，E，F分别为AC，AD上的动点（如图），则截面△BEF的周长最小值为（ ）

A.63B.82C.10D.11
二、填空题

一个球的表面积是36π，则这个球的体积为________.

在三棱锥P−ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O．若PA=PB=PC，则点O是△ABC的________心（填内、外、重、垂之一）

已知方程ex+x=2的根为α，方程lnx+x=2的根为β，则α+β=________.

已知正三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为40π，则正三棱柱ABC−A1B1C1的侧面积的最大值为________.
三、解答题

若一个圆台的母线长为10cm，高为8cm，下底面面积为64πcm2，请求出截得此圆台的圆锥的母线长是多少．

已知函数fx=lg2x−p+lg23−x，p∈R.
(1)求函数fx的定义域；

(2)当p=1时，求fx的值域．

如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点.

(1)求证：直线BD1//平面PAC;

(2)直线PB1⊥平面PAC．

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AD，AB // CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC．

(1)求证：平面ABE⊥平面BEF；

(2)设PA=a，若三棱锥B−PED的体积V∈[2515，21515]，求实数a的取值范围．

在如图所示的五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60∘， EA=ED=AB=2EF=2，EF//AB，M为BC的中点．

(1)求证：FM//平面BDE．

(2)若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．

已知函数fx=lnx2+1+x.
(1)判断函数fx的奇偶性及单调性（单调性不要求证明）；

(2)若fm>2，求m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（上）12月联考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：只有球是旋转体.
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由x−1≠0，x+1>0,
解得x∈(−1,1)∪(1,+∞).
故选A.
3.
【答案】
D
【考点】
平面图形的直观图
斜二测画法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：直观图△ABC是边长为1的正三角形，故面积为34，
因为平面图形的面积与直观图的面积的比是22，
所以原△ABC的面积为34×22=62.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：取CD中点G，连接EG，FG，ED，AE,
设正四面体边长为a，则EG=FG=12a，AE=ED=32a，
则EF2=ED2−FD2=a22，
又EG2+FG2=EG2=a22，
则EGF=90∘，
则∠FEG=45∘，
∵ EG//BD，
∴ EF与BD所成角即为EF与EG所成角，即为∠FEG=45∘.
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a=lg232a.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于选项A，m，n的位置关系是平行或相交或异面，所以选项A错误；
对于选项B：结论为m//n，所以选项B错误；
对于选项C：若n⊥β,α//β，则n⊥α，又m⊂α，所以m⊥n，所以选项C正确；
对于选项D：m，n的位置关系是平行或相交或异面，所以选项D错误．
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：显然fx是单调增函数，因此有x+1x−1>1，解之得x>0且x≠1．
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
球的表面积和体积
多面体的内切球问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：圆锥的轴截面所在的等腰三角形内切圆即为内切球的大圆，
可得大圆的半径R=22，
则内切球的体积=4πR33=2π3.
故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
直线与平面垂直的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：连接BE，
∵ SB⊥底面ABCD，∠SEC=90∘，
∴ BE⊥CE．
故问题转化为在梯形ABCD中，点E是线段AD上的动点，求满足BE⊥CE的点E的个数．
设AE=x，则DE=3−x，
∵ AB⊥AD，AB // CD，AB=1，AD=3，CD=2，
∴ 根据勾股定理10=1+x2+4+(3−x)2，
∴ x2−3x+2=0，
∴ x=1或2，
∴ 满足BE⊥CE的点E的个数为2，
∴ 满足∠SEC=90∘的点E的个数是2．
故选B．
10.
【答案】
D
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将三视图还原实物图，该几何体为边长为1的正方体切去四个三棱锥所有成：
则表面积为1+12+4×12+4×12×22×322=5.
故选D.
11.
【答案】
A
【考点】
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：不妨设x10,即x>p,x0,即x>p,x0，即函数fx的定义域为R．
∵ f−x=lnx2+1−x，
∴ fx+f−x=lnx2+1−xx2+1+x=ln1=0，
∴ fx为奇函数．
fx为定义在R上的增函数．
(2)不妨设ft=2，则f−t=−2.
∵ lnt2+1+t=2，即t2+1+t=e2①，
同样的：lnt2+1−t=−2，得t2+1−t=e−2 ②．
①−②得， t=e2−e−22.
由fm>2，即fm>ft，
因为fx为定义在R上的增函数，故m>t，
即m>e2−e−22 .
【考点】
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
函数单调性的性质
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ x2+1>x2=|x|，
∴ x2+1+x>0，即函数fx的定义域为R．
∵ f−x=lnx2+1−x，
∴ fx+f−x=lnx2+1−xx2+1+x=ln1=0，
∴ fx为奇函数．
fx为定义在R上的增函数．
(2)不妨设ft=2，则f−t=−2.
∵ lnt2+1+t=2，即t2+1+t=e2①，
同样的：lnt2+1−t=−2，得t2+1−t=e−2 ②．
①−②得， t=e2−e−22.
由fm>2，即fm>ft，
因为fx为定义在R上的增函数，故m>t，
即m>e2−e−22 .