2020-2021学年河南省南阳市高一（上）12月月考数学试卷北师大版

这是一份2020-2021学年河南省南阳市高一（上）12月月考数学试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 底边长为2，高为4的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为△ABC，则△ABC的面积为( )
A.2B.2C.6D.4

2. 在区间(0,+∞)上，下列函数与函数f(x)=1x的单调性相同的是( )
A.y=4xB.y=x2−3xC.y=3xD.y=1−x

3. 在空间中，若直线a，b，c，满足a//b，且a与c共面，则b与c( )
A.一定是异面直线B.一定是相交直线
C.可能是平行直线D.不可能是相交直线

4. 设函数f(x)=3−x,x<0，2g(x),x>0，若f(x)是奇函数，则g(1)=（ ）
A.−4B.−2C.2D.4

5. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DC上靠近点D的三等分点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是( )

A.60∘B.45∘C.90∘D.30∘

6. 设α，β表示两个不同平面，m表示一条直线，下列命题正确的是( )
A.若m//α，α//β，则m//βB.若m//α，m//β，则α//β
C.若m⊂α，α//β，则m//βD.若m⊂α，m//β，则α//β

7. 已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=lg12f(x)的单调递增区间为( )

A.(−∞,−3]，[0,3]B.[−3,0]，[3,+∞)C.(−∞,−5)，[0,1)D.(−1,0]，(5,+∞)

8. 已知a=40.6,b=21.1,c=lg412，则( )
A.c
9. 如图，网格纸上小正方形的边长均为a，粗线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为48，则 a=( )

A.2B.2C.22D.4

10. 下列说法正确的个数是( )
(1) fx=lgaaxa>0,a≠1，gx=3x3表示同一函数；
(2)函数fx=1x−3+2x−4的定义域是(2,3)∪(3,+∞)；
(3)已知a=lg32，那么lg38−2lg36用a表示是a−2；
(4)若奇函数fx在0,+∞上是增函数，f−3=0，则xfx<0的解集为(−3,0)∪(0,3)；
(5)函数y=12−x2+x+2的单调递增区间是−1,12.
A.1B.2C.3D.5

11. 把直线y=x，y=−x，x=1围成的图形绕y轴旋转一圈，所得旋转体的体积为( )
A.π3B.2π3C.4π3D.2π

12. 设函数fx=|x2−x−2|, x≥a，ax−6，xA.[2,+∞)B.0,3C.[2,3]D.2,4
二、填空题

已知函数y=4ax−9−1（a>0且a≠1）恒过定点A(m,n)，则lgmn=________．

幂函数y=(m2−m−1)⋅x−5m−3在(0, +∞)上为减函数，则实数m的值为________．

如图P是二面角α−l−β内的点， PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B．若∠APB=80∘，则二面角α−l−β的大小为________.


已知长方体ABCD−A1B1C1D1的各棱的长度之和为32cm，若AB=2cm，则该长方体的体积的最大值为________.
三、解答题

计算下列各式的值：
(1)已知x12+x−12=3，计算x2+x−2−7x+x−1+x12+x−12；

(2)计算：(169)−12+10012lg9−lg2+ln4e3+lg98lg433.

已知A={x|−1(1)当m=1时，求A∪B；

(2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．



(1)已知某圆柱的体积为3π，侧面积为6π，求该圆柱的高与表面积；

(2)如图，l1//l2，l3 与l1，l2分别交于A，B两点，l4与l1，l2分别交于C，D两点，E∈AD，
证明：A，B，C，D，E五点共面.

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥CD，AB//CD，E，F分别为棱PC，CD的中点，AB=3，CD=6，AC=210．

(1)证明：平面PAD//平面BEF；

(2)若四棱锥P−ABCD的高为3，求该四棱锥的体积．

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x+x2.
(1)求x>0时，f(x)的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)=2a2+a有三个不同的解，求a的取值范围．

如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD//CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点.

(1)求证：DE=DA；

(2)求证：平面BDM⊥平面ECA．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省南阳市高一（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
斜二测画法画直观图
三角形的面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据斜二测画法的特点，
可得△ABC的面积为12×2×(4×12)×22=2.
故选A.
2.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)=1x在区间(0,+∞)上为减函数，选项中只有y=1−x满足题意．
故选D．
3.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ a//b，且a与c共面，
∴ b与c可能是异面直线，故A错误；
b与c可能是相交直线，故B，D错误；
当a//b//c 时，满足 a//b ，a与c共面，故b与c可能是平行直线，故C正确.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
分段函数的应用
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
根据函数f(x)是奇函数，先求出当x<0时的解析式，进而可求出g(2)的值．
【解答】
解：设x>0，则−x<0，
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(x)=−f(−x)=−(3+x)=−x−3，
∴ g(1)=12f(1)=12×(−4)=−2．
故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
作出异面直线所成角的平面角，通过解三角形求解即可.
【解答】
解：依次作线段AA1，AB上靠近点A的三等分点G，H，连接A1B，BC1，如图，
则GH//EF.
又GH//A1B，
则EF//A1B，
所以∠C1A1B是异面直线EF与A1C1所成角.
在△A1BC1中，A1B=BC1=A1C1，
所以△A1BC1是等边三角形，
所以∠C1A1B=60∘.
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若m//α，α//β，则m//β或m⊂β，A不正确；
若m//α，m//β，则α//β或α与β相交，B不正确；
若m⊂α，α//β ,可得m与β没有公共点，即m//β，C正确；
若m⊂α，m//β,则α//β 或α与β相交，D不正确.
故选C.
7.
【答案】
C
【考点】
对数函数的定义域
复合函数的单调性
【解析】
直接由图象得到函数f(x)增区间，再由复合函数的单调性得到使函数g(x)=f(lg14x)单调递减的x的范围．
【解答】
解：因为y=lg12x在(0,+∞)上为减函数，
所以只要求f(x)的单调递减区间，且f(x)>0.
由图可知，g(x)=lg12f(x)的单调递增区间为(−∞,−5)，[0,1).
故选C.
8.
【答案】
A
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为a=21.2>21.1=b>2,c=lg412所以 c故选A.
9.
【答案】
B
【考点】
由三视图还原实物图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由三视图可知，该几何体由一个正方体截去四分之一而得，
其体积为34×(2a)2=48，则a=2.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
函数的定义域及其求法
函数的单调性及单调区间
对数的运算性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)，fx=x，gx=x，定义域、值域和对应关系都相同，所以两个函数是同一函数，该项正确；
(2)，因为fx=1x−3+2x−4，所以x−3≠02x−4≥0，解得x≥2且x≠3，该项错误；
(3)，lg38−2lg36=lg323−2lg32×3
=3lg32−2lg32+lg33=lg32−2=a−2，该项正确；
(4)，∵ fx是奇函数且在0,+∞上是增函数，f−3=0，
∴ fx在−∞,0上是增函数且f3=0.
由xfx<0得x>0，fx<0，或x<0，fx>0，
即−3(5)，令y=−x2+x+2， −1≤x≤2，单调递减区间是12,2，
即函数y=12−x2+x+2的单调递增区间是12,2，该项错误.
综上所述，正确的个数有3个.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
由题意知该旋转体是一个圆柱体内挖掉两个全等的圆锥，
结合题意求出旋转体的体积为．
【解答】
解：由题意知，
该旋转体为底面半径是1，高为2的圆柱，挖掉两个底面半径为1，高为1的圆锥，
则所得旋转体的体积为V=V圆柱−2V圆锥=π⋅12⋅2−2⋅13⋅π⋅12⋅1=4π3．
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
解：画出函数y=|x2−x−2|的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数 x=|x2−x−2|,x≥a,ax−6,,x【解答】
解：画出函数y=|x2−x−2|的图象如下图所示，
结合图象可得，要使函数 x=|x2−x−2|，x≥a，ax−6，x需满足a≥2，a2−a−2≥a2−6，
解得2≤x≤4，
所以实数a取值范围是2,4.
故选D.
二、填空题
【答案】
12
【考点】
对数的运算性质
指数函数的图象
指数函数的性质
【解析】
本题考查指数函数的性质和对数式的化简．
【解答】
解：由于函数y=ax（a>0且a≠1）恒过定点(0,1)，
故函数y=4ax−9−1（a>0且a≠1）恒过定点(9,3)，
所以m=9，n=3，所以lgmn=lg93=12．
故答案为：12．
【答案】
2
【考点】
幂函数的性质
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】
利用幂函数的定义及幂函数的性质列出不等式组，求出m的值．
【解答】
解：由题意知m2−m−1=1，−5m−3<0，
∴ m=2．
故答案为：2.
【答案】
100∘
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
如图所示，平面PAB与l相交于点O，连接OA，OB．由于PA⊥α于点A，可得PA⊥l．同理可得PB⊥l．可得l⊥平面PAOB．可得∠AOB是二面角α−l−β的平面角，即可得出．．
【解答】
解：如图所示，平面PAB与l相交于点O，连接OA，OB，
∵ PA⊥α于点A，
∴ PA⊥l，同理可得PB⊥l，
又PA∩PB=P，
∴ l⊥平面PAOB，
∴ l⊥OA，l⊥OB，
∴ ∠AOB是二面角a−l−β的平面角．
∵ ∠APB=80∘，
∴ ∠AOB=100∘.
故答案为：100∘.
【答案】
18cm3
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
棱柱的结构特征
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
可设AD=x,AA1=y，由题意得出x+y=6，可得出y=6−x，可得出该长方体的体积为V=−2x−32+18，然后利用二次函数的性质可得出该长方体体积的最大值．
【解答】
解：设AD=x，AA1=y，
则4x+y+2=32，所以x+y=6，
所以该长方体的体积V=2xy=2x6−x=−2x−32+18．
当x=3时，该长方体的体积取得最大值，且最大值为18cm3.
故答案为：18cm3.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ x12+x−12=3，
∴ x+x−1+2=9，即x+x−1=7，
∴ x2+x−2+2=49，即x2+x−2=47，
∴ x2+x−2−7x+x−1+x12+x−12=47−77+3=4.
(2)原式=34+100(lg32)+34+3lg22lg3⋅13lg32lg2
=34+(32)2+34+32×16
=4.
【考点】
有理数指数幂的化简求值
根式与分数指数幂的互化及其化简运算
【解析】
①推导出x+x−1=7，从而x2+x−2=47，由此可计算x+x2+x−2−7；
②根据分数指数幂的定义及对数运算法则进行计算即可．
【解答】
解：(1)∵ x12+x−12=3，
∴ x+x−1+2=9，即x+x−1=7，
∴ x2+x−2+2=49，即x2+x−2=47，
∴ x2+x−2−7x+x−1+x12+x−12=47−77+3=4.
(2)原式=34+100(lg32)+34+3lg22lg3⋅13lg32lg2
=34+(32)2+34+32×16
=4.
【答案】
解：(1)当m=1时，B={x|1≤x<4}，
∴ A∪B={x|−1(2)∵ A={x|−1∴ ∁RA={x|x≤−1或x>3}，
∵ B⊆∁RA，B={x|m≤x<1+3m}
当B≠⌀时，m<1+3m，
∴ m>−12，
又1+3m≤−1或m>3，
∴ m>3，
当B=⌀时，m≥1+3m，
∴ m≤−12.
综上所述，m的取值范围是(−∞，−12]∪(3，+∞).
【考点】
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
补集及其运算
【解析】
(1)当m=1时，B={x|1≤x<4}，即可求A∪B；
(2)求出∁UA={x|x≤−1或x>3}，利用B⊆∁UA，即可求实数m的取值范围．
【解答】
解：(1)当m=1时，B={x|1≤x<4}，
∴ A∪B={x|−1(2)∵ A={x|−1∴ ∁RA={x|x≤−1或x>3}，
∵ B⊆∁RA，B={x|m≤x<1+3m}
当B≠⌀时，m<1+3m，
∴ m>−12，
又1+3m≤−1或m>3，
∴ m>3，
当B=⌀时，m≥1+3m，
∴ m≤−12.
综上所述，m的取值范围是(−∞，−12]∪(3，+∞).
【答案】
(1)解：设圆柱的底面半径为r，高为ℎ，则
πr2ℎ=3π，2πrℎ=6π，
解得r=1，ℎ=3，
故该圆柱的表面积为6π+2πr2=8π.
(2)证明：∵ l1//l2，
∴ l1,l2可以确定一个平面α.
∵ A∈l1，D∈l2，
∴ A∈α，D∈α，
∴ AD∈α，又E∈AD，
∴ E∈α.
∵ C∈l1,B∈l2，
∴ C∈α，B∈α，
从而A,B,C,D,E五点都在平面α内，即A,B,C,D,E五点共面.
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
平面的基本性质及推论
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：设圆柱的底面半径为r，高为ℎ，则
πr2ℎ=3π，2πrℎ=6π，
解得r=1，ℎ=3，
故该圆柱的表面积为6π+2πr2=8π.
(2)证明：∵ l1//l2，
∴ l1,l2可以确定一个平面α.
∵ A∈l1，D∈l2，
∴ A∈α，D∈α，
∴ AD∈α，又E∈AD，
∴ E∈α.
∵ C∈l1,B∈l2，
∴ C∈α，B∈α，
从而A,B,C,D,E五点都在平面α内，即A,B,C,D,E五点共面.
【答案】
(1)证明：因为F为CD的中点，且CD=2AB，
所以DF=AB.
因为AB//CD，所以AB//DF，
所以四边形ABFD为平行四边形，
所以BF//AD.
又BF⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，
∴ BF//平面PAD．
在△PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，
所以EF//PD．
又EF⊄平面PAD， PD⊂平面PAD，
所以EF//平面PAD.
又EF∩BF=F，
所以平面PAD//平面BEF．
(2)解：因为AD⊥CD，AC=210，解得AD=2，
四边形ABCD的面积为12×2×3+6=9，
故四棱锥P−ABCD的体积为13×3×9=9.
【考点】
平面与平面平行的判定
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
（1）因为F为CD的中点，且CD=2AB，所以DF=AB因为AB//CD，所以AB//DF，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF//ADQBF⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，∴ BF//平面PAD．在△PDC中，因为E、F分别为PC、CD的中点，所以EF//PD．EF⊂平面PAD， PD⊂平面PAD，∴ EF//平面PAD．EF∩BF=F所以平面PAD//平面BEF．
答案未提供解析。
【解答】
(1)证明：因为F为CD的中点，且CD=2AB，
所以DF=AB.
因为AB//CD，所以AB//DF，
所以四边形ABFD为平行四边形，
所以BF//AD.
又BF⊄平面PAD， AD⊂平面PAD，
∴ BF//平面PAD．
在△PDC中，因为E，F分别为PC，CD的中点，
所以EF//PD．
又EF⊄平面PAD， PD⊂平面PAD，
所以EF//平面PAD.
又EF∩BF=F，
所以平面PAD//平面BEF．
(2)解：因为AD⊥CD，AC=210，解得AD=2，
四边形ABCD的面积为12×2×3+6=9，
故四棱锥P−ABCD的体积为13×3×9=9.
【答案】
解：(1)任取x>0，则−x<0，
∴ f(−x)=−2x+(−x)2=x2−2x．
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(x)=−f(−x)=2x−x2．
故x>0时，f(x)=2x−x2．
(2)作出f(x)的图象，
∵ 方程f(x)=2a2+a有三个不同的解，
∴ −1<2a2+a<1．
∴ −1【考点】
函数解析式的求解及常用方法
根的存在性及根的个数判断
【解析】
（1）任取x>0，则−x<0，结合当x≤0时，f(x)=2x+x2，f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)=−f(−x)，可得x>0时，f(x)的解析式；
（2）由（1）可得y=f(x)有极大值1，极小值−1，进而可构造关于a的不等式，解不等式可得答案．
【解答】
解：(1)任取x>0，则−x<0，
∴ f(−x)=−2x+(−x)2=x2−2x．
∵ f(x)是奇函数，
∴ f(x)=−f(−x)=2x−x2．
故x>0时，f(x)=2x−x2．
(2)作出f(x)的图象，
∵ 方程f(x)=2a2+a有三个不同的解，
∴ −1<2a2+a<1．
∴ −1【答案】
证明：(1)取EC的中点F，连接DF．
因为CE⊥平面ABC，所以CE⊥BC，
易知DF//BC，所以CE⊥DF，
因为BD//CE，所以BD⊥平面ABC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF=12CE=DB，DF=BC=AB，
所以Rt△EFD≅Rt△DBA，故DE=DA.
(2)取AC的中点N，连接MN，BN，则MN=//CF.
因为BD=//CF，所以MN=//BD，所以N∈平面 BDM．
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.
又因为AC⊥BN，EC∩AC=C，
所以BN⊥平面ECA．
又因为BN在平面BDM内，
所以平面BDM⊥平面ECA．
【考点】
直线与平面垂直的性质
平面与平面垂直的判定
【解析】
（1）取AC中点N，连接MN、BN，欲证DE=DA，根据三角形的中线又是高的三角形是等腰三角形，而M为AE中点，只需证明DM⊥AE即可；
（2）欲证平面BDM⊥平面AEC，根据面面垂直的判定定理可知在平面BDM内一直线与平面AEC垂直，而根据题意可得DM⊥平面AEC．
【解答】
证明：(1)取EC的中点F，连接DF．
因为CE⊥平面ABC，所以CE⊥BC，
易知DF//BC，所以CE⊥DF，
因为BD//CE，所以BD⊥平面ABC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF=12CE=DB，DF=BC=AB，
所以Rt△EFD≅Rt△DBA，故DE=DA.
(2)取AC的中点N，连接MN，BN，则MN=//CF.
因为BD=//CF，所以MN=//BD，所以N∈平面 BDM．
因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN.
又因为AC⊥BN，EC∩AC=C，
所以BN⊥平面ECA．
又因为BN在平面BDM内，
所以平面BDM⊥平面ECA．