高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式课后测评

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[合格基础练]
一、选择题
1．不等式eq \f(1＋x,1－x)≥0的解集为( )
A．{x|－1C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1B [原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－1≤0，,x－1≠0，))
∴－1≤x<1.]
2．不等式eq \f(x－22x－3,x＋1)<0的解集为( )
A．{x|－1B．{x|1C．{x|2D．{x|－1A [原不等式⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1x－3<0，,x－2≠0，))
∴－13．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>a2，,x－4<2a))有解，则实数a的取值范围是( )
A．－1＜a＜3 B．a＜－1或a＞3
C．－3＜a＜1 D．a＜－3或a＞1
A [由题意得，a2＋1∴只须4＋2a>a2＋1，即a2－2a－3<0，
∴－14．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数的条件是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ>0)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0,Δ<0))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ>0)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0))
D [二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为全体实数等价于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交点，故需要eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0,Δ<0)).]
5．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．－1C．－eq \f(1,2)C [∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－eq \f(1,2)二、填空题
6．当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．
m≤－5 [设y＝x2＋mx＋4，要使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))解得m≤－5.]
7．若0＜a＜1，则不等式(a－x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＞0的解集是________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜x＜\f(1,a))))) [原不等式为(x－a)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))＜0，
由0＜a＜1，得a＜eq \f(1,a)，∴a＜x＜eq \f(1,a).]
8．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少eq \f(5,2)t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
3≤t≤5 [设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－\f(5,2)t))×t%＝60(8t－t2)．
令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.]
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?
[解] (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2，,\f(6,1－a)＝－3，))解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>eq \f(3,2)，
∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2))))).
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则Δ＝b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；
(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
[解] (1)设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至eq \f(k,x－0.4)＋a，电力部门的收益为
y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,x－0.4)＋a))(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．
(2)依题意，有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，,0.55≤x≤0.75.))
整理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－1.1x＋0.3≥0，,0.55≤x≤0.75.))
解此不等式，得0.60≤x≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.
[等级过关练]
1．下列选项中，使不等式xA．x＜－1 B．－1＜x＜0
C．0＜x＜1 D．x＞1
A [法一：取x＝－2，知符合x法二：由题知，不等式等价于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x2))<0，即eq \f(x2－1x3－1,x2)<0，从而eq \f(x－12x＋1x2＋x＋1,x2)<0，解得x<－1，选A.]
2．若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．－3＜k＜0 B．－3≤k＜0
C．－3≤k≤0 D．－3＜k≤0
D [当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＜0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))＜0，))解得－3＜k＜0.
综上，满足不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3＜k≤0.]
3．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．
{x|0＜x＜2} [不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2，故不等式的解集为{x|0＜x＜2}．]
4．不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数k的取值范围为________．
－8≤λ≤4 [因为x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
所以x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，
即x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.]
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且不等式ax2＋bx＋c＞－2x的解集为{x|1＜x＜3}．
(1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的函数式；
(2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求a的取值范围．
[解] (1)∵ax2＋bx＋c＋2x＞0的解集为(1,3)，
∴ax2＋(b＋2)x＋c＝a(x－1)(x－3)且a＜0，
ax2＋bx＋c＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①
又∵ax2＋bx＋c＋6a＝0化简为ax2－(2＋4a)x＋9a＝0，
有两个相等的实根，
∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a×9a＝0，
即5a2－4a－1＝0，解得a＝－eq \f(1,5)或a＝1(舍去)．
将a＝－eq \f(1,5)代入①得y＝－eq \f(1,5)x2－eq \f(6,5)x－eq \f(3,5).
(2)由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1＋2a,a)))2－eq \f(a2＋4a＋1,a)及a＜0，
可得y的最大值为－eq \f(a2＋4a＋1,a)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(a2＋4a＋1,a)＞0，,a＜0))解得a＜－2－eq \r(3)或－2＋eq \r(3)＜a＜0，
故当y的最大值为正数时，实数a的取值范围是a＜－2－eq \r(3)或－2＋eq \r(3)＜a＜0.

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