高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质一课一练，共5页。
[合格基础练]
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”．
B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y”．
C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”．
D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”．
C [对于A，x应满足x≤2 000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．]
2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则( )
A．a＞b B．a＜b
C．a≥b D．a≤b
C [∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
∴a≥b.]
3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2b的值与－5的大小关系是( )
A．M＞－5 B．M＜－5
C．M＝－5 D．不能确定
A [M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.
故选A.]
4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为( )
A.eq \f(a＋m,b＋m)＜eq \f(a,b) B.eq \f(a＋m,b＋m)＞eq \f(a,b)
C.eq \f(a－m,b－m)＜eq \f(a,b) D.eq \f(a－m,b－m)＞eq \f(a,b)
B [糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故eq \f(a＋m,b＋m)＞eq \f(a,b).]
5．已知c＞1，且x＝eq \r(c＋1)－eq \r(c)，y＝eq \r(c)－eq \r(c－1)，则x，y之间的大小关系是( )
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
C [用作商法比较，由题意x，y＞0，
∵eq \f(x,y)＝eq \f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq \f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))＜1，∴x＜y.]
二、填空题
6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3>m2－m＋1 [∵m3－(m2－m＋1)
＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)
＝(m－1)(m2＋1)．
又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.]
三、解答题
9．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：
现在要在一天内至少运输2 000t粮食和1 500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
[解] 设需要安排x艘轮船和y架飞机．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(300x＋150y≥2 000，,250x＋100y≥1 500，,x∈N，,y∈N，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x∈N，,y∈N.))
10．x∈R且x≠－1，比较eq \f(1,1＋x)与1－x的大小．
[解] ∵eq \f(1,1＋x)－(1－x)＝eq \f(1－1－x2,1＋x)＝eq \f(x2,1＋x)，
当x＝0时，eq \f(1,1＋x)＝1－x；
当1＋x＜0，即x＜－1时，eq \f(x2,1＋x)＜0，∴eq \f(1,1＋x)＜1－x；
当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，eq \f(x2,1＋x)＞0，
∴eq \f(1,1＋x)＞1－x.
[等级过关练]
1．足球赛期间，某球迷俱乐部一行 56 人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少 3 辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐 5 人，车不够，每辆车坐 6 人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐 4 人，车不够，每辆车坐 5 人，有的车未坐满．则A队有出租车( )
A．11辆 B．10辆
C．9辆 D．8辆
B [设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＜56，,6x＞56，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜11\f(1,5),x＞9\f(1,3),x＜11,x＞8\f(1,5).))
∴9eq \f(1,3)＜x＜11.
而x为正整数，故x＝10.]
2．将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－5≥1,0＜x＜5)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－2x≥1,0＜x＜5))
C．2x－5≥1或5－2x≥1 D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－5|≥1,0＜x＜5))
D [由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m，因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－5－x|≥1，,0＜x＜5，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2x－5|≥1，,0＜x＜5.))]
3．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为________．
2≤d≤2eq \r(3) [最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2eq \r(3).故2≤d≤2eq \r(3).]
4．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．
20 330 [设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则eq \f(x,2)＋eq \f(50－x,3)≤20，解得x≤20.
由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，
当且仅当x＝20时，y取最大值330.
所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．]
5．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B地？
[解] 设A，B两地路程为2s，甲车走完A地到B地的路程所用时间为t1，则eq \f(t1,2)a＋eq \f(t1,2)b＝2s，t1＝eq \f(4s,a＋b)，
乙车走完A地到B地的路程所用的时间为t2，
则t2＝eq \f(s,a)＋eq \f(s,b).
又t1－t2＝eq \f(4s,a＋b)－eq \f(s,a)－eq \f(s,b)
＝eq \f(4sab－sba＋b－saa＋b,aba＋b)
＝eq \f(－sa－b2,aba＋b)＜0(∵a≠b，a＞0，b＞0，s＞0)，
∴t1＜t2，即甲车先到达B地．
效果方式种类
轮船运输量/t
飞机运输量/t
粮食
300
150
石油
250
100
产品种类
每件需要人员数
每件产值(万元/件)
A类
eq \f(1,2)
7.5
B类
eq \f(1,3)
6