2020-2021学年第三章 函数概念与性质本章综合与测试课时练习

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求函数的定义域
【例1】 (1)求函数y＝eq \r(5－x)＋eq \r(x－1)－eq \f(1,x2－9)的定义域．
(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
[解] (1)解不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5－x≥0，,x－1≥0，,x2－9≠0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤5，,x≥1，,x≠±3，))
故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．
(2)设矩形的一边长为x，则另一边长为eq \f(1,2)(a－2x)，
所以y＝x·eq \f(1,2)(a－2x)＝－x2＋eq \f(1,2)ax，定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(01．已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
2．实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
1．函数f(x)＝eq \f(3x2,\r(1－x))＋(3x－1)0的定义域是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
D [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,3x－1≠0，))得x<1且x≠eq \f(1,3)，故选D.]
求函数的解析式
【例2】 (1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则f(x)的解析式为______．
(2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)的解析式为________．
(1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)，x>0,0，x＝0,－\r(－x)－1，x<0))
(2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) [(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝eq \r(－x)＋1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即－f(x)＝eq \r(－x)＋1，∴f(x)＝－eq \r(－x)－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋\r(x)，x>0，,0，x＝0，,－\r(－x)－1，x<0.))
(2)令t＝eq \f(1＋x,x)＝eq \f(1,x)＋1，则t≠1.把x＝eq \f(1,t－1)代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(1＋x2,x2)＋eq \f(1,x)，得f(t)＝eq \f(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t－1)))2)＋eq \f(1,\f(1,t－1))
＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1.
所以所求函数的解析式为
f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．]
求函数解析式的题型与相应的解法
1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.
2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.
3含fx与f－x或fx与eq f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))，使用解方程组法.
4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式．
(1)eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2) [因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).]
(2)[解] 因为f(x)的对称轴为x＝－1，
所以－eq \f(b,2a)＝－1即b＝2a，
又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1，
由条件③知：a>0，且eq \f(4ac－b2,4a)＝0，
即b2＝4ac，由上可求得a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)，c＝eq \f(1,4)，
所以f(x)＝eq \f(1,4)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4).
函数的性质及应用
【例3】 已知函数f(x)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)是定义在(－1,1)上的奇函数，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5).
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．
[思路点拨] (1)用f(0)＝0及feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)求a，b的值；
(2)用单调性的定义求解．
[解] (1)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝\f(2,5)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝0，))
故f(x)＝eq \f(x,1＋x2).
(2)任取－1则f(x1)－f(x2)＝eq \f(x1,1＋x\\al(2,1))－eq \f(x2,1＋x\\al(2,2))＝eq \f(x1－x21－x1x2,1＋x\\al(2,1)1＋x\\al(2,2)).
∵－10,1＋xeq \\al(2,2)>0.
又－10，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
1．在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.
[解] 由f(t－1)＋f(t)<0得
f(t－1)<－f(t)＝f(－t)．
∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－12．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．
[解] 由题意可知，f(－x)＝f(x)，即eq \f(－ax＋b,1＋x2)＝eq \f(ax＋b,1＋x2)，∴a＝0，
又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(2,5)，∴b＝eq \f(1,2)，∴f(x)＝eq \f(1,2＋2x2).
巧用奇偶性及单调性解不等式
1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1fx2的形式.
2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.
函数的应用
【例4】 某通信公司为了配合客户的不同需要，现设计A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)
(1)若通话时间为2小时，则按方案A，B各付话费多少元？
(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
[思路点拨] 两种方案都是由线性函数组成的分段函数，结合图形可求出函数的解析式，然后再根据题意解题．
[解] 由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，
则fA(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(98，0≤x≤60，,\f(3,10)x＋80，x>60，))
fB(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(168，0≤x≤500，,\f(3,10)x＋18，x>500.))
(1)易知，通话2小时，两种方案的话费分别为116元，168元．
(2)因为fB(n＋1)－fB(n)＝eq \f(3,10)(n＋1)＋18－eq \f(3,10)n－18＝0.3，(n>500)，
所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．
(3)由图可知，当0≤x≤60时，有fA(x)当x>500时，fA(x)>fB(x)．
当60当60fA(x)；当eq \f(880,3)≤x≤500时，fA(x)>fB(x)．
即当通话时间在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(880,3)，＋∞))时，方案B才会比方案A优惠．
1．对于给出图象的应用性问题，首先我们可以根据函数图象用待定系数法求出解析式，然后再用函数解析式来解决问题，最后再转化成具体问题，作出解答．
2．对于借助函数图象表达题目信息的问题，读懂图象是解题的关键．
3．在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定该店经营的利润，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：
①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．
(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？求最大余额；
(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？
[解] 设该店月利润余额为L，则由题设得
L＝Q(P－14)×100－3 600－2 000，①
由销售图易得：
Q＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋50，14≤P≤20，,－\f(3,2)P＋40，20代入①式得
L＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2P＋50·P－14×100－5 600，14≤P≤20，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)P＋40))·P－14×100－5 600，20(1)当14≤P≤20时，Lmax＝450元，这时P＝19.5元，
当20故当P＝19.5元，月利润余额最大为450元．
(2)设可在n年内脱贫，依题意有
12n×450－50 000－58 000≥0.
解得n≥20.
即最早可望在20年后脱贫．